Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Theo câu trước ta có $AN \approx 3,76$;

Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $\sin C = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AC = \dfrac{{AN}}{{\sin C}} = 7,52$

Theo kết quả các câu trước ta có $AN \approx 3,76$ nên ${S_{ABC}} = \dfrac{{AN.BC}}{2} = 20,68\,c{m^2}$.

Vì $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$$\Rightarrow \angle C = \angle B = {65^0}$

Ta có $\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}$(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C = {180^0} - {2.65^0} = {50^0}$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin A = \dfrac{{CH}}{{AC}}$ $\Leftrightarrow \sin {50^0} = \dfrac{{3,6}}{{AC}}$$\Rightarrow AC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{50}^0}}} \approx 4,7$

Vì $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$$\Rightarrow AC = AB \approx 4,7$

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin B = \dfrac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow \sin {65^0} = \dfrac{{3,6}}{{BC}}$$\Rightarrow BC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{65}^0}}} \approx 3,97$

Ta có: $BC = BH + CH = 9 + 16 = 25$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:

$A{B^2} = BH.BC$$\Leftrightarrow A{B^2} = 9.25 \Rightarrow AB = 15$

$A{C^2} = CH.BC$$\Leftrightarrow A{C^2} = 16.25 \Rightarrow AC = 20$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có

$\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{25}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'$

$\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{15}}{{25}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle C \approx {36^0}52'$

Giả sử $BC = AH = a.$ 

Vì $\Delta ABC$ là tam giác cân nên $AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

$\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow HB = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có:  $tan\angle B = \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{a}{2}}} = 2$ $\Rightarrow \angle B \approx {63^0}26'$

Vì $\Delta ABC$ là tam giác cân$\Rightarrow \angle C = \angle B \approx {63^0}26'$

Ta có $\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C \approx {180^0} - {2.63^0}26' \approx {53^0}8'$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $\Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0}$

Vì $BD$ là tia phân giác $B$

$\Rightarrow \angle ABD = \angle DBC = \dfrac{1}{2}\angle B = \dfrac{{{{45}^0}}}{2} = 22,{5^0}$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có 

$AD = AB.\tan \angle ABD = a.\tan 22,{5^0}$

Ta có: $AD + DC = AC$$\Rightarrow DC = AC - AD = a - a\tan 22,{5^0}$

Kẻ $BE \bot DC,\,\,\,E \in CD.$

Xét tứ giác $ABED$ có $\angle A = \angle D = \angle E = {90^0}$

$\Rightarrow ABED$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = ED = 2\\AD = BE = 1,2\end{array} \right.$

Xét $\Delta BCE$ vuông tại $E$ ta có: $EC = BE.cot\angle C = 1,2.cot{50^0}$

$\Rightarrow DC = DE + EC = 2 + 1,2.\cot {50^0}$ 

$\Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right)AD}}{2}$$= \dfrac{{\left( {2 + 2 + 1,2.\cot {{50}^0}} \right).1,2}}{2} \approx 3\,\,\,\,\left( {đvdt} \right).$

Áp dụng định lý Pitago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow BC = 5\,\,cm.$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}}$$= \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm.$ 

Ta có: $\cos \angle ACB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB = BC.\sin \alpha  = a.\sin \alpha \\AC = BC.cos\alpha  = a.cos\alpha \end{array} \right.$

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}a.\sin \alpha .a.cos\alpha$$= \dfrac{1}{2}{a^2}.\sin \alpha .cos\alpha$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}}{2}$$= \dfrac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có: $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC \le \dfrac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) = \dfrac{1}{4}B{C^2} = \dfrac{1}{4}{a^2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow AC = AB$$\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông cân  $\Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0}$ hay $\alpha  = {45^0}$.

Vậy ${S_{ABCmax}} = \dfrac{1}{4}{a^2}$ khi $\alpha  = {45^0}.$