Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}}  = 24$

+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{24}}{{26}} = \dfrac{{12}}{{13}} \Rightarrow \widehat B \approx 67^\circ$

Vậy $AC = 24;\widehat C \approx 67^\circ$.

Theo các câu trước ta có $AN \approx 2,79$ nên ${S_{ABC}} = \dfrac{{AN.BC}}{2} = 12,555\,c{m^2}$.

Theo câu trước ta có $AN \approx 2,79$;

Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $\sin C = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AC = \dfrac{{AN}}{{\sin C}} \approx 4,87$

Đặt $BN = x\,\left( {0 < x < 9} \right)$$\Rightarrow NC = 9 - x$

Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có $AN = BN.\tan B = x.\tan 50^\circ$

Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $AN = CN.\tan B = \left( {9 - x} \right).\tan 35^\circ$

Nên $x\tan 50^\circ  = \left( {9 - x} \right)\tan 35^\circ  \Rightarrow x \approx 3,33$ (thoả mãn)

Khi đó $AN = BN.\tan B = 3,33.\tan 40^\circ  \approx 2,79$

Đặt $BN = x\,\left( {0 < x < 9} \right)$$\Rightarrow NC = 9 - x$

Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có $AN = BN.\tan B = x.\tan 50^\circ$

Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $AN = CN.\tan B = \left( {9 - x} \right).\tan 35^\circ$

Nên $x\tan 50^\circ  = \left( {9 - x} \right)\tan 35^\circ  \Rightarrow x \approx 3,33$ (thoả mãn)

Khi đó $AN = BN.\tan B = 3,33.\tan 40^\circ  \approx 2,79$

 Kẻ đường cao $AH$.

Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 12.\dfrac{1}{2} = 6$$AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 12.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3$.

 Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông $AHC$ ta có:

$H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = 117$. Suy ra $HC = 3\sqrt {13}$. Vậy $BC = CH + HB = 3\sqrt {13}  + 6$.

Kẻ đường cao $AD$.

Xét tam giác vuông $ACD$, có $AD = AC.\sin C = 4,5.\sin 35^\circ  \approx 2,58\,cm$; $CD = AC.\cos C = 4,5.\cos 35^\circ  \approx 3,69\,cm$

Xét tam giác vuông $ABD$, có $BD = AD.\cot B \approx 2,58.\cot 70^\circ  \approx 0,94\,cm$

Suy ra $BC = BD + DC = 0,94 + 3,69 = 4,63$

Do đó ${S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,97$$c{m^2}$.

Vì $\widehat A = \widehat D = {90^0} \Rightarrow AD{\rm{//}}BC$ hay $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$

Kẻ $BE \bot DC$ tại $E$.

Tứ giác $ABED$ có ba góc vuông $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ$ nên $ABED$ là hình chữ nhật

Suy ra $DE = AB = 6\,\,cm;BE = AD = 8\,cm$

Xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $\widehat {BCE} = 45^\circ$ nên tam giác $BEC$ vuông cân tại $E$ $\Rightarrow EC = BE = 8cm \Rightarrow DC = DE + EC = 6 + 8 = 14cm$

Do đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \dfrac{{\left( {6 + 14} \right)8}}{2} = 80\,\,c{m^2}$.

Ta có $\sin P = \dfrac{{MN}}{{MP}} \Rightarrow MN = MP.\sin P$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = a,AC = b,AB = c.$ Ta có :

+) Theo định lý Py-ta-go ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ nên C đúng

+) Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có

$b = a.\sin B = a.\cos C$; $c = a.\sin C = a.\cos B$; $b = c.\tan B = c.\cot C$; $c = b.\tan C = b.\cot B$.

Nên A,D đúng.

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ có

$\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ  = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}$; $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$

Vậy $AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$.

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ có

+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ  \approx 7,71$

+) $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow \widehat C = 180^\circ  - 40^\circ  - 90^\circ  = 50^\circ$

Vậy $AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ$.

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9 (cm)$

+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{9}{{15}} = \dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat B \approx 36^\circ 52'$

Vậy $AC = 9 (cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'$.

Xét tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)$

+) $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'$

Vậy $BC = \sqrt {74}(cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

Kẻ đường cao $AH$.

Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8$$AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3$.

 Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông $AHC$ ta có:

$H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4$. Suy ra $HC = 2$. Vậy $BC = CH + HB = 2 + 8 = 10$.

Kẻ đường cao $AD$.

Xét tam giác vuông $ACD$, có $AD = AC.\sin C = 3,5.\sin 50^\circ  \approx 2,68\,cm$; $CD = AC.\cos C = 3,5.\cos 50^\circ  \approx 2,25\,\,cm$

Xét tam giác vuông $ABD$, có $BD = AD.\cot B \approx 2,68.\cot 60^\circ  \approx 1,55\,\,cm$

Suy ra $BC = BD + CD = 3,8$

Do đó ${S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,09$$c{m^2}$.

Vì $\widehat A = \widehat D = {90^0} \Rightarrow AD{\rm{//}}BC$ hay $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$

Kẻ $BE \bot DC$ tại $E$.

Tứ giác $ABED$ có ba góc vuông $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ$ nên $ABED$ là hình chữ nhật

Suy ra $DE = AB = 4\,\,cm;BE = AD = 3\,cm$

Xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $EC = BE.\cot 40^\circ=3.\cot40^0$ $\Rightarrow DC = DE + EC =4+3.\cot40^0$

Do đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}$$=\dfrac{(4+4+3.\cot40^0).3}{2}$

$\approx 17,36\,\,c{m^2}$.

Xét $\Delta DEI$ vuông tại $I$  ta có:  $EI = ED.\sin D = 7.\sin {40^0}$$\approx 4,5\,\,cm.$

Xét $\Delta EIF$ vuông tại $I$  ta có: 

$EI = EF.\sin F \Leftrightarrow EF = \dfrac{{EI}}{{\sin F}} \approx \dfrac{{4,5}}{{\sin {{58}^0}}} \approx 5,3\,cm.$

Đặt $BN = x\,\left( {0 < x < 11} \right)$$\Rightarrow NC = 11 - x$

Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có $AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ$

Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $AN = CN.\tan C = \left( {11 - x} \right).\tan 30^\circ$

Nên $x\tan 40^\circ  = \left( {11 - x} \right)\tan 30^\circ$

$\Rightarrow x \approx 4,48$ (thoả mãn)

Khi đó $AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ  \approx 3,76(cm).$