Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}}  = 24\)

+) \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{24}}{{26}} = \dfrac{{12}}{{13}} \Rightarrow \widehat B \approx 67^\circ \)

Vậy \(AC = 24;\widehat C \approx 67^\circ \).

Theo các câu trước ta có \(AN \approx 2,79\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{AN.BC}}{2} = 12,555\,c{m^2}\).

Theo câu trước ta có \(AN \approx 2,79\);

Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(\sin C = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AC = \dfrac{{AN}}{{\sin C}} \approx 4,87\)

Đặt \(BN = x\,\left( {0 < x < 9} \right)\)\( \Rightarrow NC = 9 - x\)

Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có \(AN = BN.\tan B = x.\tan 50^\circ \)

Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(AN = CN.\tan B = \left( {9 - x} \right).\tan 35^\circ \)

Nên \(x\tan 50^\circ  = \left( {9 - x} \right)\tan 35^\circ  \Rightarrow x \approx 3,33\) (thoả mãn)

Khi đó \(AN = BN.\tan B = 3,33.\tan 40^\circ  \approx 2,79\)

Đặt \(BN = x\,\left( {0 < x < 9} \right)\)\( \Rightarrow NC = 9 - x\)

Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có \(AN = BN.\tan B = x.\tan 50^\circ \)

Xét tam giác \(ACN\) vuông tại \(N\) có \(AN = CN.\tan B = \left( {9 - x} \right).\tan 35^\circ \)

Nên \(x\tan 50^\circ  = \left( {9 - x} \right)\tan 35^\circ  \Rightarrow x \approx 3,33\) (thoả mãn)

Khi đó \(AN = BN.\tan B = 3,33.\tan 40^\circ  \approx 2,79\)

 Kẻ đường cao \(AH\).

Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 12.\dfrac{1}{2} = 6\)\(AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 12.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \).

 Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có:

\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = 117\). Suy ra \(HC = 3\sqrt {13} \). Vậy \(BC = CH + HB = 3\sqrt {13}  + 6\).

Kẻ đường cao \(AD\).

Xét tam giác vuông \(ACD\), có \(AD = AC.\sin C = 4,5.\sin 35^\circ  \approx 2,58\,cm\); \(CD = AC.\cos C = 4,5.\cos 35^\circ  \approx 3,69\,cm\)

Xét tam giác vuông \(ABD\), có \(BD = AD.\cot B \approx 2,58.\cot 70^\circ  \approx 0,94\,cm\)

Suy ra \(BC = BD + DC = 0,94 + 3,69 = 4,63\)

Do đó \({S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,97\)\(c{m^2}\).

Vì \(\widehat A = \widehat D = {90^0} \Rightarrow AD{\rm{//}}BC\) hay \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,D\)

Kẻ \(BE \bot DC\) tại \(E\).

Tứ giác \(ABED\) có ba góc vuông \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên \(ABED\) là hình chữ nhật

Suy ra \(DE = AB = 6\,\,cm;BE = AD = 8\,cm\)

Xét tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {BCE} = 45^\circ \) nên tam giác \(BEC\) vuông cân tại \(E\) \( \Rightarrow EC = BE = 8cm \Rightarrow DC = DE + EC = 6 + 8 = 14cm\)

Do đó \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \dfrac{{\left( {6 + 14} \right)8}}{2} = 80\,\,c{m^2}\).

Ta có $\sin P = \dfrac{{MN}}{{MP}} \Rightarrow MN = MP.\sin P$.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,AC = b,AB = c.\) Ta có :

+) Theo định lý Py-ta-go ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ nên C đúng

+) Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có

\(b = a.\sin B = a.\cos C\); \(c = a.\sin C = a.\cos B\); \(b = c.\tan B = c.\cot C\); \(c = b.\tan C = b.\cot B\).

Nên A,D đúng.

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

$\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ  = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}$; $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$

Vậy $AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}$.

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ  \approx 7,71$

+) $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow \widehat C = 180^\circ  - 40^\circ  - 90^\circ  = 50^\circ $

Vậy $AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ $.

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  = 9 (cm)$

+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{9}{{15}} = \dfrac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat B \approx 36^\circ 52'$

Vậy $AC = 9 (cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'$.

Xét tam giác  \(ABC\) vuông tại \(A\) có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)$

+) $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'$

Vậy $BC = \sqrt {74}(cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

Kẻ đường cao \(AH\).

Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8\)\(AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \).

 Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông \(AHC\) ta có:

\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4\). Suy ra \(HC = 2\). Vậy \(BC = CH + HB = 2 + 8 = 10\).

Kẻ đường cao \(AD\).

Xét tam giác vuông \(ACD\), có $AD = AC.\sin C = 3,5.\sin 50^\circ  \approx 2,68\,cm$; $CD = AC.\cos C = 3,5.\cos 50^\circ  \approx 2,25\,\,cm$

Xét tam giác vuông \(ABD\), có $BD = AD.\cot B \approx 2,68.\cot 60^\circ  \approx 1,55\,\,cm$

Suy ra $BC = BD + CD = 3,8$

Do đó ${S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,09$$c{m^2}$.

Vì $\widehat A = \widehat D = {90^0} \Rightarrow AD{\rm{//}}BC$ hay $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$

Kẻ $BE \bot DC$ tại $E$.

Tứ giác $ABED$ có ba góc vuông $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ $ nên $ABED$ là hình chữ nhật

Suy ra $DE = AB = 4\,\,cm;BE = AD = 3\,cm$

Xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$ có $EC = BE.\cot 40^\circ=3.\cot40^0 $ $\Rightarrow DC = DE + EC =4+3.\cot40^0$

Do đó ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}$\(=\dfrac{(4+4+3.\cot40^0).3}{2}\)

$\approx 17,36\,\,c{m^2}$.

Xét \(\Delta DEI\) vuông tại \(I\)  ta có:  \(EI = ED.\sin D = 7.\sin {40^0}\)\( \approx 4,5\,\,cm.\)

Xét \(\Delta EIF\) vuông tại \(I\)  ta có: 

\(EI = EF.\sin F \Leftrightarrow EF = \dfrac{{EI}}{{\sin F}} \approx \dfrac{{4,5}}{{\sin {{58}^0}}} \approx 5,3\,cm.\)

Đặt $BN = x\,\left( {0 < x < 11} \right)$$ \Rightarrow NC = 11 - x$

Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có $AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ $

Xét tam giác $ACN$ vuông tại $N$ có $AN = CN.\tan C = \left( {11 - x} \right).\tan 30^\circ $

Nên $x\tan 40^\circ  = \left( {11 - x} \right)\tan 30^\circ $

$\Rightarrow x \approx 4,48 $ (thoả mãn)

Khi đó $AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ  \approx 3,76(cm).$