Góc nội tiếp

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AD\) (chứa điểm \(B\) ); \(\widehat {ABD}\)  là góc nội tiếp chắn cung $AD$ (chứa điểm  \(C\) ) nên \(\widehat {ACD} + \widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}.360^\circ  = 180^\circ \)

Lại có \(\widehat {ACD} + \widehat {ACI} = 180^\circ \)  nên \(\widehat {ACI} = \widehat {IBD}\) .

Tương tự ta có \(\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\) .

Xét $\Delta IAC$ và \(\Delta IDB\) có \(\widehat I\) chung và \(\widehat {ACI} = \widehat {IBD}\) (câu trước) nên $\Delta IAC\backsim\Delta IDB$ (g-g)

\( \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{ID}} = \dfrac{{IC}}{{IB}} \Rightarrow IA.IB = IC.ID\) .

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACM}\)  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACM} = 90^\circ \) .

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AC\)  và \(\widehat {CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CM\)

Nên \(\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{AC}\) ;

\(\widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{CM}\)

Lại có sđ \(\overparen{AC}+\) sđ \(\overparen{CM}= 180^\circ \)  nên \(\widehat {ABC} + \widehat {CAM} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ABH} = 90^\circ \)  nên  \(\widehat {ABH} = \widehat {CAM}\) .

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ANM}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ANM} = 90^\circ \) hay \(AN \bot NM\) mà \(BC \bot AN \Rightarrow NM{\rm{//}}BC\)

Lại có \(\widehat {BAN} = \widehat {CAM}\)  (cmt)

nên cung $BN = $cung $CM$ \( \Rightarrow BN = CM\)

Từ đó tứ giác \(BNMC\) có \(NM{\rm{//}}BC\); \(BN = CM\) nên \(BNMC\) là hình thang cân.

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AEB} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau \(AB = AC\) )

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB\) có \(\widehat A\) chung và \(\widehat {AEB} = \widehat {ABC}\) (cmt) nên \(\Delta ABD\backsim\Delta AEB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AE.AD\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACF} = 90^\circ ;\widehat {ABF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(CF \bot AC;BF \bot AB\)  mà $BD \bot AC;CE \bot AB$\( \Rightarrow BD{\rm{//}}CF;CE{\rm{//}}BF\)

$ \Rightarrow BHCF$ là hình bình hành

\( \Rightarrow BH = CF;BF = CH\) .

Xét hai tam giác vuông \(\Delta EBH\) và \(\Delta ECA\) có \(\widehat {EBH} = \widehat {ECA}\)  (cùng phụ với \(\widehat {BAC}\) )

Nên $\Delta EBH\backsim\Delta ECA\left( {g - g} \right) $

$\Rightarrow \dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{EH}}{{EA}} $

$\Rightarrow EB.EA = EC.EH$.

Tứ giác \(BHCF\) là hình bình hành có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(M\) cũng là trung điểm của \(HF\)

Khi đó \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(AHF\) nên \(AH = 2.OM\).

Xét \(\left( O \right)\) có $\widehat {BDA} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(BD \bot EA\) mà \(D\) là trung điểm \(EA\)

Nên \(\Delta BEA\) có \(BD\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên \(\Delta BAE\) cân tại \(B\) .

Xét \(\left( O \right)\) có $\widehat {BKA} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(AK \bot BE\)

Mà \(OD\) là đường trung bình của tam giác \(ABE\)  nên \(OD{\rm{//}}EB\)  từ đó $OD \bot AK.$

Nên A, B, C  đúng.

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) ); \(\widehat {ABD} = 90^\circ \)  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên \(\Delta ACH = \Delta ADB\left( {g - g} \right)\) $ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH.AD = AC.AB$.

Kẻ đường kính \(AD\), theo kết quả câu trước, ta có \(AH.AD = AB.AC\) \( \Rightarrow AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{9.12}}{4} = 27 \Rightarrow R = 13,5cm\) .

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có  \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)

Mà  \(\widehat {ACB} = {45^0} \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow \Delta AOB\) vuông cân tại \(O\).

Theo định lý Pytago ta có

$\begin{array}{l}A{O^2} + O{B^2} = A{B^2}\\2A{O^2} = A{B^2}\\AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}$ 

Vậy bán kính đường tròn là \(R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)