Góc nội tiếp

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ABC}$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$  và $\widehat {CAM}$ là góc nội tiếp chắn cung $CM$

Nên $\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}$ số đo cung $AC$ ; $\widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}$ số đo cung $CM$

Lại có số đo cung $AC +$ số đo cung $CM = 180^\circ$  nên $\widehat {ABC} + \widehat {CAM} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$

Mà $\widehat {ABC} + \widehat {HAB} = 90^\circ$  nên  $\widehat {BAH} = \widehat {CAM}$  (1).

Lại có $\Delta OAC$ cân tại $O$ (do $OA = OC =$ bán kính) nên $\widehat {OCA} = \widehat {OAC}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {OCA} = \widehat {BAH}$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ABM}$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABM} = 90^\circ$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ABM}$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABM} = 90^\circ$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AB = AC$ )

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BDE$ có $\widehat {ADC} = \widehat {BDE}$ (đối đỉnh) và $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (cmt) nên $\Delta ADC\backsim\Delta BDE\left( {g - g} \right)$$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{DC}}{{DE}} \Rightarrow DA.DE = DB.DC$

Tứ giác $BHCF$ là hình bình hành (theo câu trước) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cũng là trung điểm của $HF$ hay $HM = \dfrac{{HF}}{2}$

Khi đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $AHF$ nên $AH//OM$.

Xét tam giác $ABC$ có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm tam giác $ABC \Rightarrow AH \bot BC$ mà $AH//OM \Rightarrow OM \bot BC$ .

Đáp án D sai vì $OM \bot BC$ mà $BC$ cắt $BF$ nên $OM$ không thể vuông với $BF.$

Xét hai tam giác vuông $\Delta HDC$  và $\Delta ADB$ có $\widehat {EBH} = \widehat {ECA}$  (cùng phụ với $\widehat {BAC}$ )

Nên $\Delta HDC\backsim\Delta ADB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{DH}}{{DA}} = \dfrac{{DC}}{{DB}} \Rightarrow DH.DB = DA.DC$.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACF} = 90^\circ ;\widehat {ABF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $CF \bot AC;BF \bot AB$  mà $BD \bot AC;CE \bot AB$$\Rightarrow BD{\rm{//}}CF;CE{\rm{//}}BF$ $\Rightarrow BHCF$ là hình bình hành

$\Rightarrow BH = CF.$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACF} = 90^\circ ;\widehat {ABF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $CF \bot AC;BF \bot AB$  mà $BD \bot AC;CE \bot AB$$\Rightarrow BD{\rm{//}}CF;CE{\rm{//}}BF$ $\Rightarrow BHCF$ là hình bình hành

$\Rightarrow BH = CF.$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BKA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $AK \bot BE$

Mà $OD$ là đường trung bình của tam giác $ABE$  nên $OD{\rm{//}}EB$  từ đó $BE = 2OD = 2R$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BDA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $BD \bot EA$ mà $D$ là trung điểm $EA$

Nên $\Delta BEA$ có $BD$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta BAE$ cân tại $B$ .

Suy ra $\widehat {BEA} = \widehat {BAD} = 50^\circ .$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BDA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $BD \bot EA$ mà $D$ là trung điểm $EA$

Nên $\Delta BEA$ có $BD$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta BAE$ cân tại $B$ .

Suy ra $\widehat {BEA} = \widehat {BAD} = 50^\circ .$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ); $\widehat {ABD} = 90^\circ$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $\Delta ACH \backsim \Delta ADB\left( {g - g} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH.AD = AC.AB$.

Suy ra $AH.AD = 3.5 = 15c{m^2}$ .

Kẻ đường kính $AD$

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ); $\widehat {ABD} = 90^\circ$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $\Delta ACH \backsim \Delta ADB\left( {g - g} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH.AD = AC.AB$$\Rightarrow AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{12.15}}{6} = 30$ .

Vậy đường kính của đường tròn là $30cm$.

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACD}$ là góc nội tiếp chắn cung $AD$ (chứa điểm $B$ ); $\widehat {ABD}$  là góc nội tiếp chắn cung $AD$ (chứa điểm  $C$ ) nên $\widehat {ACD} + \widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}.360^\circ  = 180^\circ$

Lại có $\widehat {ACD} + \widehat {ACI} = 180^\circ$  nên $\widehat {ACI} = \widehat {IBD}$ .

Tương tự ta có $\widehat {IAC} = \widehat {IDB}$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACM}$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACM} = 90^\circ$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACF} = 90^\circ ;\widehat {ABF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $CF \bot AC;BF \bot AB$  mà $BD \bot AC;CE \bot AB$$\Rightarrow BD{\rm{//}}CF;CE{\rm{//}}BF$

$\Rightarrow BHCF$ là hình bình hành

$\Rightarrow BH = CF;BF = CH$ .

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BDA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $BD \bot EA$ mà $D$ là trung điểm $EA$

Nên $\Delta BEA$ có $BD$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta BAE$ cân tại $B$ .

Hình $1$ góc $\widehat {BOA}$ là góc ở tâm .

Hình $3$ có $1$ cạnh không phải là dây của đường tròn.

Hình $4$ đỉnh $B$ không nằm trên đường tròn.

Hình $2$ góc $\widehat {BCA}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ 

Trong một đường tròn:

Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ$) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

Trong một đường tròn:

+  Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+  Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Như vậy hai góc nội tiếp bằng nhau có thể cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau .

Phương án A, B, C đúng và D sai