Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 3

Ta có: $H$ là trung điểm của $BC$ (vì $AH$ là đường trung tuyến) nên $BH = \dfrac{1}{2}BC = 6\,cm$.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $AHB$ ta có:

$\begin{array}{l}A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\ \Rightarrow AH = 8\,cm\end{array}$

Lại có: (chứng minh câu a)

$\Rightarrow \dfrac{{EH}}{{HB}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow EH = \dfrac{{HB.AH}}{{AB}} = \dfrac{{6.8}}{{10}} = 4,8\,cm$.

Vậy $HE = 4,8\,cm.$

Theo câu trước ta có: $EF//BC$ nên $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$ (hai góc đồng vị) và $EH = 4,8\,cm$.

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ ta có:

$\widehat {EAF}\,chung$

$\widehat {AEF} = \widehat {ABC}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AEF \backsim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right).$

$\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{EF}}{{BC}}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho $\Delta AEH$ ta có: $AE = \sqrt {A{H^2} - E{H^2}}  = \sqrt {{8^2} - 4,{8^2}}  = 6,4\,\,cm.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{6,4}}{{10}} = \dfrac{{16}}{{25}}.\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{AE}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}\\ \Rightarrow {S_{\Delta AEF}} = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}.{S_{\Delta ABC}}\\ = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}.\dfrac{1}{2}.AH.BC\\ = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}.\dfrac{1}{2}.8.12\\ = 19,6608\,\,c{m^2}.\end{array}$.

Vậy ${S_{\Delta AEF}} \approx 20\,c{m^2}.$

Chiều rộng khu vườn là: $\dfrac{1}{3} \times 75 = 25m$.

Diện tích khu vườn là: $25 \times 75 = 1875{m^2}$

Đáp số: $1875\,{m^2}.$

Ta có:

$\left( {1,2 + 3,7} \right) < x < \left( {2,1 + 3,2} \right)$

Hay $4,9 < x < 5,3$.

Nên chỉ có $x = 5$ thỏa mãn.

Theo giả thiết ta có: $a + b + c = 1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{{a + b + c}}{a} + \dfrac{{a + b + c}}{b} + \dfrac{{a + b + c}}{c}\\ = 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{b} + 1 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + 1\\ = 3 + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c}} \right)\\ \ge 3 + 2.\sqrt {\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}}  + 2.\sqrt {\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{b}}  + 2.\sqrt {\dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{c}} \\ \ge 3 + 2.1 + 2.1 + 2.1 = 9\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}.$

Vậy $P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9$ hay giá trị nhỏ nhất của $P$ là $9$ khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = {x^2}y + 2y\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = y\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^3} + 3x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\left( {do\;\;{x^2} + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^3} + 2x + x - 5}}{{{x^2} + 2}}\\ \Leftrightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\left( * \right)\;.\end{array}$

Để $y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}} \right) \in \mathbb{Z}$

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)} \right]\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 25} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2 - 27} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 27\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\end{array}$.

Hay $\left( {{x^2} + 2} \right) \in Ư\left( {27} \right)$

Mà ${x^2} + 2 \ge 2\;\;\forall x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{x^2} + 2} \right) \in \left\{ {3;\;9;\;27} \right\}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2 = 3\\{x^2} + 2 = 9\\{x^2} + 2 = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\;\;\left( {tm} \right)\\{x^2} = 7\;\;\left( {ktm} \right)\\{x^2} = 25\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\\x =  - 1\;\\x = 5\\x =  - 5\end{array} \right.$

+) Với $x = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = 1 + \dfrac{{1 - 5}}{{1 + 2}} =  - \dfrac{1}{3}\;\;\left( {ktm} \right)$

+) Với $x =  - 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y =  - 1 + \dfrac{{ - 1 - 5}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2}} =  - 3\;\;\left( {tm} \right)$ 

+) Với $x = 5 \Rightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} = 5 + \dfrac{0}{{27}} = 5\;\;\left( {tm} \right)$

+) Với $x =  - 5 \Rightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} =  - 5 + \dfrac{{ - 5 - 5}}{{27}} =  - \dfrac{{145}}{{27}}\;\;\left( {ktm} \right)$

Vậy có hai cặp số nguyên $\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 3} \right);\;\left( {5;\;5} \right)} \right\}$ thỏa mãn phương trình.

Điều kiện: $x \ne 3.$

Ta có: $\left| {x - 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + 2\\x =  - 1 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,(ktm)\\x = 1\,\,\,(tm)\end{array} \right.$

Thay $x = 1$ vào biểu thức $A$ ta có: $\dfrac{1}{{1 - 3}} = \dfrac{1}{{ - 2}} =  - \dfrac{1}{2}$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ tại $x$ thỏa mãn $\left| {x - 2} \right| = 1$ là $\dfrac{{ - 1}}{2}$.

Điều kiện: $x \ne 0,\,\,x \ne 3;\,\,x \ne  \pm 5.$

$B:A = \left( {\dfrac{{2x}}{{x + 5}} - \dfrac{{{x^2} - 15x}}{{{x^2} - 25}}} \right):\dfrac{x}{{x - 3}}$$= \left[ {\dfrac{{2x\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - 15x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}} \right].\dfrac{{x - 3}}{x}$$= \dfrac{{2x\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 15x} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}$$= \dfrac{{2{x^2} - 10x - {x^2} + 15x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}$$= \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}$$= \dfrac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}$$= \dfrac{x}{{x - 5}}.\dfrac{{x - 3}}{x} = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}$.

Vậy $Q = B:A = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}$.

Theo câu trước ta có: $Q = B:A = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}$ với $x \ne 0,\,\,x \ne 3;\,\,x \ne  \pm 5.$

Để $Q = 3$ thì $\dfrac{{x - 3}}{{x - 5}} = 3 \Rightarrow x - 3 = 3\left( {x - 5} \right)$

$\Leftrightarrow x - 3 = 3x - 15 \Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6\left( {tm} \right)$.

Ta có: $Q = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}} = \dfrac{{x - 5 + 2}}{{x - 5}}$$= 1 + \dfrac{2}{{x - 5}}$

Do đó để $Q > 1$ thì $1 + \dfrac{2}{{x - 5}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x - 5}} > 0$$\Leftrightarrow x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > 5\,\,\,(tmdk)$

Vậy với $x > 5$ thì $Q > 1$.

Thể tích khối kim loại là: $1 \times 1 \times 1 = 1{m^3} = 1000d{m^3}$.

Khối lượng khối kim loại là: $1000 \times 5 = 5000kg = 5$ tấn.

Đáp số: $5$tấn.

Chiều cao của hình bình hành là: $\dfrac{3}{4} \times 120 = 90\,m$.

Diện tích hình bình hành là: $90 \times 120 = 10800\,{m^2}$.

$1{m^2}$ thu hoạch được số kg lúa là: $1250:500 = 2,5\,kg$.

Thửa ruộng thu hoạch được số kg lúa là: $10800 \times 2,5 = 27000\,kg$.

Đổi: $270000kg = 27$ tấn. Nên thửa ruộng thu hoạch được $27$ tấn lúa.

Đáp số: $27$ tấn.

Chiều cao tam giác là: $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{3}{7}\,cm$.

Diện tích tam giác là: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{7} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{{15}}{{98}}\,c{m^2}$.

Đáp số: $\dfrac{{15}}{{98}}\,c{m^2}.$

Diện tích hình vuông bằng $16\,c{m^2}$ nên cạnh hình vuông bằng $4\,cm$ (vì $4 \times 4 = 16$).

Suy ra: $AB = AD = BC = DC = 4cm$.

Độ dài $AE$ là: $AB:2 = 4:2 = 2cm$.

Độ dài $AF$ là: $AD:2 = 4:2 = 2\,cm$.

Diện tích tam giác $AEF$ là: $\dfrac{1}{2} \times AE \times AF = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2c{m^2}$.

Diện tích tam giác $BDC$ là: $\dfrac{1}{2} \times CD \times CB = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8c{m^2}$.

Diện tích hình thang $EBDF$ là: ${S_{ABCD}} - {S_{AEF}} - {S_{BDC}}$$= 16 - 2 - 8 = 6\,c{m^2}.$

Đáp số: $6\,c{m^2}.$

Nhận thấy hai tam giác $ABN$ và $ABC$ có chung chiều cao hạ từ đỉnh $B$.

Mà $AN = \dfrac{1}{4} \times AC$ nên ${S_{{\rm{ABN}}}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}{\rm{ }}$.

Nhận thấy hai tam giác $AMN$ và $ABN$ có chung chiều cao hạ từ đỉnh $N$ mà $AM = \dfrac{1}{4} \times AB$ nên ${{\rm{S}}_{{\rm{AMN}}}} = \dfrac{1}{4} \times {\rm{ }}{{\rm{S}}_{{\rm{ABN}}}}$.

Do đó: ${S_{AMN}} = \dfrac{1}{4} \times {S_{ABN}}$$= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times {S_{ABC}} = \dfrac{1}{{16}} \times {\rm{ }}{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}$$= \dfrac{1}{{16}}.160 = 10\,c{m^2}.$

Đáp số: ${S_{AMN}} = 10\,c{m^2}$.

Lấy F là trung điểm của AB, nối $EF$, $FC$.

Hình chữ nhật ABCD được phân thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau và bằng diện tích tam giác $ADE$.

Vậy diện tích tam giác $ADE$ là: $3600:4 = 900\,\left( {c{m^2}} \right)$.

Đáp số: $900\,c{m^2}$.

Ta thấy trong $4$  số tự nhiên liên tiếp cần tìm thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là $0;{\rm{ }}5$ vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số $0$ (trái với bài toán)
Do đó $4$ số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là $1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4$  hoặc $6,{\rm{ }}7,{\rm{ }}8,{\rm{ }}9$.
Ta có:
$24024 > 10000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10$
$24024 < 160000 = 20 \times 20 \times 20 \times 20$
Nên bốn số phải tìm phải là số có hai chữ số và có chữ số hàng chục là $1.$

Nếu 4 số phải tìm là $11;{\rm{ 1}}2;{\rm{ 1}}3;{\rm{ 1}}4$ thì: $11 \times 12 \times 13 \times 14 = 24024$ (đúng)

Nếu 4 số phải tìm là $6;{\rm{ }}7;{\rm{ }}8;{\rm{ }}9$ thì: $16 \times 17 \times 18 \times 19 = 93024 > 24024$ (loại)

Vậy 4 số phải tìm là $11;{\rm{ 12}};{\rm{ 13}};{\rm{ 14}}.$