Cho ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Theo giả thiết ta có: \(a + b + c = 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{{a + b + c}}{a} + \dfrac{{a + b + c}}{b} + \dfrac{{a + b + c}}{c}\\ = 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{b} + 1 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + 1\\ = 3 + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c}} \right)\\ \ge 3 + 2.\sqrt {\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} + 2.\sqrt {\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{b}} + 2.\sqrt {\dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{c}} \\ \ge 3 + 2.1 + 2.1 + 2.1 = 9\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}.\)
Vậy \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9\) hay giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(9\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}.\)
Hướng dẫn giải:
- Áp dụng giả thiết ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\) để thay thế vào tử số của các phân số ở vế phải.
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\left( {\forall a,b \ge 0} \right)\).