Các hàm số lượng giác

Bước 1:

Ta có: \(y = 3\sin x + 4\cos x - 1 \) \(\Leftrightarrow y + 1 = 3\sin x + 4\cos x\)

\(\Rightarrow{\left( {y + 1} \right)^2}= {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} \)

Bước 2:

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \({\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \) . Với $a=3, c=\sin x, b=4, d=\cos x$

Khi đó \({\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)\( = \left( {{3^2} + {4^2}} \right).1 = 25 \) \(\Rightarrow  - 5 \le y + 1 \le 5 \Leftrightarrow  - 6 \le y \le 4\)

Bước 3:

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{3} = \dfrac{{\cos x}}{4} \)\(\Leftrightarrow \tan x = \dfrac{3}{4}\) \( \Leftrightarrow x = \arctan \dfrac{3}{4} + k\pi \)

Bước 1:

Ta có

\(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x \) \(={\sin ^2}x +{\cos ^2}x + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x\) \(= 1 + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x \) \(= 1 + 3\sin 2x + 1 + \cos 2x \) \(= 2 + 3\sin 2x + \cos 2x\)

Bước 2:

$\Rightarrow y - 2 = 3\sin 2x + \cos 2x $$\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} $ 

Bước 3:

$ {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} = {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki  với $a=3;b=1;c=\sin 2x;d=\cos 2x$$ {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$ $\le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10.1=10$

$\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \le 10$

$\Rightarrow  - \sqrt {10}  \le y - 2 \le \sqrt {10}  $ $\Rightarrow 2 - \sqrt {10}  \le y \le 2 + \sqrt {10}$

Bước 4:

Dấu “=” xảy ra

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{3} = \dfrac{{\cos 2x}}{1} \)\(\Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{\cos 2x}=3\Leftrightarrow  \tan 2x = 3\) \( \Leftrightarrow 2x = \arctan 3 + k\pi  \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{{\arctan 3}}{2} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

ĐKXĐ: \(5\sin 4x - 6\cos 4x + 2m - 1 \ge 0,\forall x \)\(\Leftrightarrow 2m \ge  - 5\sin 4x + 6\cos 4x + 1,\forall x\)

\( \Rightarrow 2m \ge \max f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = 6\cos 4x - 5\sin 4x + 1\)

\(f\left( x \right) = \sqrt {{6^2} + {5^2}} .\left( {\dfrac{6}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\sin 4x} \right)\)

\(f(x) = \sqrt {61} \left( {\dfrac{6}{{\sqrt {61} }}\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}\sin 4x} \right) + 1 = \sqrt {61} \sin \left( {\alpha  - 4x} \right) + 1\) với $\sin \alpha  = \dfrac{6}{{\sqrt {61} }},\cos \alpha  = \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}$.

\( \Rightarrow f(x) \le \sqrt {61}  + 1 \Rightarrow \max f(x) = \sqrt {61}  + 1 \Rightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {61}  + 1}}{2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)^2} \ge \left[ {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 5\\ \Rightarrow  - \sqrt 5  \le 2\sin 2x - \cos 2x \le \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2\sin 2x - \cos 2x + 4 \ge 4 - \sqrt 5  > 0\end{array}\)

=> Hàm số luôn xác định trên $\mathbb{R}$

Bước 1:

Ta có \(y = \dfrac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}}\)\( \Leftrightarrow 2y.\sin 2x - y.\cos 2x + 4y\)\( = \sin 2x + 2\cos 2x + 3\)

\( \Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x = 3 - 4y\)

\( \Rightarrow [\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x]^2 = (3 - 4y)^2\)  (*)

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left[ {\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x} \right]^2}\)

\(\le \left[ {{{\left( {2y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\)\( = {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)

Bước 3:

Kết hợp với (*), ta được \({\left( {3 - 4y} \right)^2} \le {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 9 - 24y + 16{y^2}\)\( \le \left( {4{y^2} - 4y + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 16{y^2} - 24y + 9 \le 5{y^2} + 5\)

\( \Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{11} \le y \le 2\)

\( \Rightarrow\min y = \dfrac{2}{{11}};\max y = 2\)

Đặt \(t = 3.\sin x + 4.\cos x\), theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

$\begin{array}{l}
{t^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}\\
\le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= 25.1 = 25\\
\Rightarrow {t^2} \le 25 \Rightarrow - 5 \le t \le 5
\end{array}$

Xét hàm số \(y = 3{t^2} + 4t + 1 \) trên \([-5;5]\).

Hàm số \(y = 3{t^2} + 4t + 1 \) là hàm bậc hai có:

$\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{3} \in \left[ { - 5;5} \right]\\
y\left( { - \frac{2}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\\
y\left( { - 5} \right) = 56\\
y\left( 5 \right) = 96
\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \min y =  - \dfrac{1}{3}\) khi \(t=- \dfrac{1}{3}\)

\(\max y = 96\) khi \(t=5\).

Đặt \(y = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}}\)\( = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\left( {1 + \cos 2x} \right) + 1}}\)\( = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}\)

\( \Leftrightarrow y.\sin 2x + 2y.\cos 2x + 3y = 3.\sin 2x + \cos 2x\)\( \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x =  - 3y\)  (*)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left[ {\left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x} \right]^2} \le {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2}\)

Kết hợp với (*), ta được \(9{y^2} \le \left( {y - 3} \right){\,^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow y \le \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)\( \Rightarrow \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)

Để bất phương trình \(y \le m + 1;x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m + 1 \ge \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)\( \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {65}  - 9}}{4}\)

Ta có: \(y = \cos 2x + \cos x = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\).

Đặt \(\cos {\mkern 1mu} x = t,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Hàm số trở thành \(y = 2{t^2} + t - 1\). Đây là 1 parabol có bề lõm hướng lên, có hoành độ đỉnh \(x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{1}{4}\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có: \(M = 2,\,\,m =  - \dfrac{9}{8}\),

Vậy \(M + m = 2 - \dfrac{9}{8} = \dfrac{7}{8}\).

Ta vẽ đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\), đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt (điểm màu đỏ), do đó có 6 giá trị \(x \in \left[ {0;5\pi } \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị bằng 0.

Ta có đồ thị hàm số \(y = \left| {\tan x} \right|\) như sau:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

- Hàm số \(y = \left| {\tan x} \right|\) nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\), do đó đáp án A và D sai.

- Đặt \(f\left( x \right) = \left| {\tan x} \right|\), \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

   \(f\left( { - x} \right) = \left| {\tan \left( { - x} \right)} \right| = \left| { - \tan x} \right| = \left| {\tan x} \right| = f\left( x \right)\), do đó hàm số đã cho là hàm chẵn trên tập xác định. Do đó đáp án B đúng.

- Do là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy chứ không đối xứng qua tâm O, do đó đáp án C sai.

Ta có: \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nên tập giá trị của hàm số là \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\), do đó loại đáp án C.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right]\).

- Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

- Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{{3\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right)\).

Ta có: \( - 2 \le 2\sin 2x \le 2\) nên loại đáp án A và B.

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2\sin 0 = 0\), do đó đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = 2\sin 2x\) đi qua điểm (0;0). Loại đáp án D.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(2\pi \) và kết hợp với các đáp án ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\).

- Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số \(y = 1 - \sin x\) nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

- Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số \(y = 1 - \sin x\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).

Do đó chỉ có đáp án D là sai.

Xét đáp án A:

\(y = \dfrac{{\sin x + \tan x}}{{{{\cos }^2}x}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\sin \left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( { - x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \sin x - \tan x}}{{{{\left[ {\cos \left( { - x} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {\sin x + \tan x} \right)}}{{{{\left[ {\cos x} \right]}^2}}}\\ =  - \dfrac{{\sin x + \tan x}}{{{{\cos }^2}x}} =  - f\left( x \right)\end{array}\)

=> Hàm số này là hàm số lẻ

Xét đáp án B:

\(y = \tan x - \cot x\) có

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l}\sin x \ne 0;\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x.\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

=>TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) - \left[ {\cot \left( { - x} \right)} \right]\\ =  - \tan x - \left( { - \cot x} \right) =  - \tan x + \cot x\\ =  - \left( {\tan x - \cot x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array}\)

=> Hàm số này là hàm số lẻ

Xét đáp án C:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin 2x + \cos 2x\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

Chọn \(x = \dfrac{\pi }{8} \in D\) \( \Rightarrow  - x =  - \dfrac{\pi }{8} \in D\).

Ta có: \(f\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) = 3\sqrt 2 ,\,\,f\left( { - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 2\sqrt 2 \).

Vì \(f\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) \ne f\left( { - \dfrac{\pi }{8}} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin 2x + \cos 2x\) là hàm không chẵn.

Vì \(f\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) \ne -f\left( { - \dfrac{\pi }{8}} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin 2x + \cos 2x\) là hàm không lẻ.

Xét đáp án D:

Do \( - 1 \le \sin 3x \le 1\forall x \Rightarrow \)\({\sin ^2}3x \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - {\sin ^2}3x \ge  - 1 \Rightarrow  - {\sin ^2}3x + 2 \ge  - 1 + 2\\ \Rightarrow 2 - {\sin ^2}3x \ge 1 > 0\forall x\end{array}\)

Do đó hàm số xác định với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 - {{\sin }^2}\left[ {3.\left( { - x} \right)} \right]} \\ = \sqrt {2 - {{\left[ {\sin \left( { - 3x} \right)} \right]}^2}}  = \sqrt {2 - {{\left( { - \sin 3x} \right)}^2}} \\ = \sqrt {2 - {{\left( {\sin 3x} \right)}^2}}  = \sqrt {2 - {{\sin }^2}3x}  = f\left( x \right)\end{array}\)

=> Hàm số này là hàm số chẵn.

Xét đáp án A:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)\( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

\(\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right|.\sin \left( { - x} \right) = x.\left( { - \sin x} \right)\\ =  - x.\sin x =  - y\left( x \right)\end{array}\)

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án B:

\(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\) => ĐKXĐ: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

=> TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)\( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

\(\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right){\cos ^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)\\ = \left( { - \sin x} \right){\left[ {\cos \left( { - x} \right)} \right]^2} + \left( { - \tan x} \right)\\ =  - \sin x.{\left( {\cos x} \right)^2} - \tan x\\=  - \sin x{\cos ^2}x - \tan x\\ =  - \left( {\sin x.{{\cos }^2}x + \tan x} \right) =  - y\left( x \right)\end{array}\)

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án C:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)\( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

\(y\left( { - x} \right) = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}\left( { - x} \right) + 2019}}{{\cos \left( { - x} \right)}}\)\( = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}x + 2019}}{{\cos x}} = y\left( { - x} \right).\)

Do đó hàm số \(y = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}x + 2019}}{{\cos x}}\) là hàm số chẵn và nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Xét đáp án D:

Theo lý thuyết về hàm số \(y = \tan x\) thì đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

(I): Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ là \(2\pi \) nên I sai.

(II): Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R}\) nên II sai.

Tập hợp bài đưa ra là tập xác định của hàm số.

(III): Ta có hàm số \(y = \cos x\) có

$y(-x)=\cos (-x)=\cos x=y(x)$

=> \(y\left( x \right) = y\left( { - x} \right)\) nên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung nên III đúng.

(IV): Hàm số \(y = \cot x\) luôn nghịch biến trên \(\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\) 

Với $k=-1$ thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {-\pi;0 } \right)\) nên IV đúng.

Bước 1:

Ta có \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x\)\( = 1 + \cos 2x + \sin 2x\)

Bước 2:

\( \Rightarrow \dfrac{y}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \dfrac{\pi }{4}\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Bước 3:

Ta có \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Hay \(\dfrac{y}{{\sqrt 2 }} \ge  - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2 \)

Bước 4:

Dấu = xảy ra khi \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} =  - \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bước 5:

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(1 - \sqrt 2 \).

Bước 1:

Ta có \(y = \sqrt {8\cos x - 6\sin x - {{\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)}^2} - 2m} \)

Hàm số trên có tập xác định R khi

\(\begin{array}{l}8\cos x - 6\sin x - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {4\cos x - 3\sin x} \right) - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\end{array}\)

Bước 2:

Đặt \(t = 4\cos x - 3\sin x\)

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\({t^2} = {\left( {4\cos x - 3\sin x} \right)^2}\)\( \le \left( {{4^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 25\)\( \Leftrightarrow  - 5 \le t \le 5\)

Bước 3:

Ta có bất phương trình \(2t - {t^2} - 2m \ge 0\forall t \in \left[ { - 5;5} \right]\)

\( \Leftrightarrow  - 2m \ge {t^2} - 2t\forall t \in \left[ { - 5;5} \right]\)(1)

Bước 4:

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t\) trên \(\left[ { - 5;5} \right]\)

Ta có $-\dfrac{b}{2a}=1 \in \left[ { - 5;5} \right]$

Vì $a=1>0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty)$

Mà $(-5;1) \subset (-\infty;1)$ và $(1;5) \subset (1;+\infty)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-5;1)$ và đồng biến trên $(1;5)$.

Bảng biến thiên:

Bước 5:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức (1) xảy ra khi \( - 2m \ge 35 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{{35}}{2}\)

Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của y

Do $\cos x+2>0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$

Ta có $y=\dfrac{m \sin x+1}{\cos x+2} \Leftrightarrow m \sin x-y \cos x=2 y-1$

Do phương trình có nghiệm nên $m^{2}+y^{2} \geq(2 y-1)^{2} \Leftrightarrow 3 y^{2}-4 y+1-m^{2} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{3 m^{2}+1}}{3} \leq y \leq \dfrac{2+\sqrt{3 m^{2}+1}}{3} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ bằng $\dfrac{2-\sqrt{3 m^{2}+1}}{3}$

Bước 2: Tìm m dựa vào điều kiện giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn $-1$

Do đó yêu cầu bài toán tương đương

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} <  - 1 \Leftrightarrow 3{m^2} + 1 > 25\\ \Leftrightarrow {m^2} > 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 \\m <  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

Vì $m$ là giá trị nguyên thuộc đoan $[-5 ; 5]$ nên $m \in\{-5 ;-4 ;-3 ; 3 ; 4 ; 5\}$

Vậy có 6 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bước 1: Tìm điều kiện của t để \(h\) lớn nhất.

Mực nước của kênh cao nhất khi \(h\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4} = k2\pi \) với \(0 < t \le 24\) và \(k \in \mathbb{Z}\).

Bước 2: Lần lượt thay các đáp án, chọn đáp án đúng.

Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.

Vì với \(t = 14\) thì \(\dfrac{{\pi t}}{8} + \dfrac{\pi }{4} = 2\pi \).

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) 

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\sin x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\}} \right.\).

Bước 2: Chu kì của hàm số \(y = \tan x\) và \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Xét hàm số \(y = \tan x\) là hàm tuần hoàn có chu kì \({T_1} = \pi \).

Xét hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\).

Ta có \(g\left( {x + {T_2}} \right) = g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sin \left( {x + {T_2}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin \left( {x + {T_2}} \right) = \sin x\).

Chọn \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x = 1\)

\( \Rightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + {T_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + {T_2} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow {T_2} = k2\pi (k \in \mathbb{Z}).\)

Giá trị nhỏ nhất của \({T_2}\) là \(2\pi \).

Ta thấy \(\forall x \in D;x + k2\pi  \in D\) thì \(g(x + k2\pi ) = g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \({T_2} = 2\pi \).

Bước 3: Chu kì của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Khi đó, hàm số \(y = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).