Tìm m để hàm số $y = \sqrt {5\sin 4x - 6\cos 4x + 2m - 1}$ xác định với mọi $x$.

ĐKXĐ: $5\sin 4x - 6\cos 4x + 2m - 1 \ge 0,\forall x$$\Leftrightarrow 2m \ge  - 5\sin 4x + 6\cos 4x + 1,\forall x$

$\Rightarrow 2m \ge \max f\left( x \right)$ với $f\left( x \right) = 6\cos 4x - 5\sin 4x + 1$

$f\left( x \right) = \sqrt {{6^2} + {5^2}} .\left( {\dfrac{6}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\sin 4x} \right)$

$f(x) = \sqrt {61} \left( {\dfrac{6}{{\sqrt {61} }}\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}\sin 4x} \right) + 1 = \sqrt {61} \sin \left( {\alpha  - 4x} \right) + 1$ với $\sin \alpha  = \dfrac{6}{{\sqrt {61} }},\cos \alpha  = \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}$.

$\Rightarrow f(x) \le \sqrt {61}  + 1 \Rightarrow \max f(x) = \sqrt {61}  + 1 \Rightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {61}  + 1}}{2}$