Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ?

Xét đáp án A:

\(y = \dfrac{{\sin x + \tan x}}{{{{\cos }^2}x}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\sin \left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( { - x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \sin x - \tan x}}{{{{\left[ {\cos \left( { - x} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {\sin x + \tan x} \right)}}{{{{\left[ {\cos x} \right]}^2}}}\\ =  - \dfrac{{\sin x + \tan x}}{{{{\cos }^2}x}} =  - f\left( x \right)\end{array}\)

=> Hàm số này là hàm số lẻ

Xét đáp án B:

\(y = \tan x - \cot x\) có

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l}\sin x \ne 0;\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x.\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

=>TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) - \left[ {\cot \left( { - x} \right)} \right]\\ =  - \tan x - \left( { - \cot x} \right) =  - \tan x + \cot x\\ =  - \left( {\tan x - \cot x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array}\)

=> Hàm số này là hàm số lẻ

Xét đáp án C:

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin 2x + \cos 2x\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

Chọn \(x = \dfrac{\pi }{8} \in D\) \( \Rightarrow  - x =  - \dfrac{\pi }{8} \in D\).

Ta có: \(f\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) = 3\sqrt 2 ,\,\,f\left( { - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 2\sqrt 2 \).

Vì \(f\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) \ne f\left( { - \dfrac{\pi }{8}} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin 2x + \cos 2x\) là hàm không chẵn.

Vì \(f\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) \ne -f\left( { - \dfrac{\pi }{8}} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin 2x + \cos 2x\) là hàm không lẻ.

Xét đáp án D:

Do \( - 1 \le \sin 3x \le 1\forall x \Rightarrow \)\({\sin ^2}3x \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - {\sin ^2}3x \ge  - 1 \Rightarrow  - {\sin ^2}3x + 2 \ge  - 1 + 2\\ \Rightarrow 2 - {\sin ^2}3x \ge 1 > 0\forall x\end{array}\)

Do đó hàm số xác định với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 - {{\sin }^2}\left[ {3.\left( { - x} \right)} \right]} \\ = \sqrt {2 - {{\left[ {\sin \left( { - 3x} \right)} \right]}^2}}  = \sqrt {2 - {{\left( { - \sin 3x} \right)}^2}} \\ = \sqrt {2 - {{\left( {\sin 3x} \right)}^2}}  = \sqrt {2 - {{\sin }^2}3x}  = f\left( x \right)\end{array}\)

=> Hàm số này là hàm số chẵn.