Cho hàm số $y=\dfrac{m \sin x+1}{\cos x+2}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-5 ; 5]$ sao cho giá trị nhỏ nhất của $y$ nhỏ hơn $-1$?

Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của y

Do $\cos x+2>0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$

Ta có $y=\dfrac{m \sin x+1}{\cos x+2} \Leftrightarrow m \sin x-y \cos x=2 y-1$

Do phương trình có nghiệm nên $m^{2}+y^{2} \geq(2 y-1)^{2} \Leftrightarrow 3 y^{2}-4 y+1-m^{2} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{3 m^{2}+1}}{3} \leq y \leq \dfrac{2+\sqrt{3 m^{2}+1}}{3} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ bằng $\dfrac{2-\sqrt{3 m^{2}+1}}{3}$

Bước 2: Tìm m dựa vào điều kiện giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn $-1$

Do đó yêu cầu bài toán tương đương

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} <  - 1 \Leftrightarrow 3{m^2} + 1 > 25\\ \Leftrightarrow {m^2} > 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 \\m <  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

Vì $m$ là giá trị nguyên thuộc đoan $[-5 ; 5]$ nên $m \in\{-5 ;-4 ;-3 ; 3 ; 4 ; 5\}$

Vậy có 6 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán