Bài tập năng lượng liên kết - năng lượng liên kết riêng

Năng lượng liên kết của một hạt nhân là năng lượng tối thiểu cần thiết phải cung cấp để tách các nuclon hay nói cách khác là năng lượng tỏa ra khi tạo thành một hạt nhân (hay năng lượng thu vào để phá vỡ một hạt nhân thành các nuclôn riêng biệt).

D- sai vì lực hạt nhân khác bản chất với lực điện

+ Cácbon có số proton (Z) = số nơtron (N) = 6

Ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{lk}} = \left[ {Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_C}} \right]{c^2}\\ = \left[ {6.1,00728u + 6.1,00867u - 12,00000u} \right]{c^2}\\ = \left[ {6.1,00728 + 6.1,00867 - 12,00000} \right].u.{c^2}\\ =\left[ {6.1,00728 + 6.1,00867 - 12,00000} \right].1,{66058.10^{ - 27}}.{({3.10^8})^2}\\ = 1,{43.10^{ - 11}}J = 89,4MeV\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{lk}} = \left[ {Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_{Ne}}} \right]{c^2} = 160,64MeV\\ = \left[ {10.1,007825u + (20 - 10).1,00866u - {m_{Ne}}} \right].{c^2}\\ \leftrightarrow (20,16485u - {m_{Ne}}){c^2} = \frac{{160,64}}{{931,5}}u{c^2}\\ \to {m_{Ne}} = 19,99239697u\end{array}\)

Ta có:

+ Năng lượng tỏa ra khi tạo thành 1 nguyên tử \(_2^4He\) từ các proton và nơtron: \(\Delta m{c^2}\)

+ \(1g\) \(_2^4He\) có số nguyên tử là: \(N = n.{N_A} = \dfrac{m}{M}{N_A} = \dfrac{1}{4}.6,{02.10^{23}} = 1,{505.10^{23}}\) 

+ Năng lượng tỏa ra khi tạo thành \(1g\) \(_2^4He\) từ các proton và nơtron là:

\(\begin{array}{l}Q = N.\Delta m{c^2} = 1,{505.10^{23}}.0,0304.931.{c^2}\\ = 4,{26.10^{24}}MeV = 4,{26.10^{24}}.1,6.10^{-13}=6,{82.10^{11}}J\end{array}\) 

Mức độ bền vững của một hạt nhân tùy thuộc vào năng lượng liên kết riêng

Mức độ bền vững của một hạt nhân tùy thuộc vào năng lượng liên kết riêng

Hạt nhân càng bền vững khi có năng lượng liên kết riêng càng lớn

Năng lượng liên kết riêng được xác định bằng biểu thức: \(\varepsilon  = \frac{{{{\rm{W}}_{lk}}}}{A}\)

Ta có:

+ Hai hạt nhân có độ hụt khối bằng nhau => năng lượng liên kết của 2 hạt nhân bằng nhau và bằng\(\Delta m{c^2}\) 

+ Mặt khác, ta có năng lượng liên kết riêng:  \(\varepsilon  = \frac{{{{\rm{W}}_{lk}}}}{A}\)

Theo đầu bài, ta có số nuclon của hạt nhân X lớn hơn số nuclon của hạt nhân Y => năng lượng liên kết riêng của hạt nhân X nhỏ hơn năng lượng liên kết riêng của hạt nhân Y

=> Hạt nhân Y bền vững hơn hạt nhân X

Ta có, năng lượng liên kết riêng của các hạt nhân là:

\({\varepsilon _Y} = \dfrac{{\Delta {E_Y}}}{{{A_Y}}}\)

\({\varepsilon _X} = \dfrac{{\Delta {E_X}}}{{{A_X}}} = \dfrac{{\Delta {E_X}}}{{2{A_Y}}} = \dfrac{{\Delta {E_X}}}{{2\Delta {E_Y}}}{\varepsilon _Y}\)

\({\varepsilon _Z} = \dfrac{{\Delta {E_Z}}}{{{A_Z}}} = \dfrac{{\Delta {E_Z}}}{{4{A_Y}}} = \dfrac{{\Delta {E_Z}}}{{4\Delta {E_Y}}}{\varepsilon _Y}\)

Theo đề bài, ta có: \(\Delta {E_Z} < \Delta {E_X} < \Delta {E_Y} \to {\varepsilon _Y} > {\varepsilon _X} > {\varepsilon _Z}\)

=> các hạt nhân được sắp xếp theo thứ tự giảm dần tính bền vững là: \(Y, X, Z\)

Ta có, năng lượng liên kết riêng: \(\varepsilon  = \frac{{{{\rm{W}}_{lk}}}}{A} = \frac{{\left[ {Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_X}} \right]{c^2}}}{A}\)

=> Năng lượng liên kết riêng của Ar và Li là:

\(\begin{array}{l}{\varepsilon _{{\rm{Ar}}}} = \frac{{\left[ {18.1,0073 + \left( {40 - 18} \right)1,0087 - 39,9525} \right]{c^2}}}{{40}}\\ = 9,{2575.10^{ - 3}}u{c^2}/nuclon = 8,62MeV/nuclon\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\varepsilon _{Li}} = \frac{{\left[ {3.1,0073 + \left( {6 - 3} \right)1,0087 - 6,0145} \right]{c^2}}}{6}\\ = 5,{583.10^{ - 3}}u{c^2}/nuclon = 5,2MeV/nuclon\end{array}\)

=> So với năng lượng liên kết riêng của hạt nhân \(_3^6Li\) thì năng lượng liên kết riêng của hạt nhân \(_{18}^{40}{\rm{Ar}}\)lớn hơn một lượng là:\(8,62 - 5,2 = 3,42MeV/nuclon\) 

Ta có năng lượng liên kết riêng ứng với các hạt nhân là:

+ \({\varepsilon _D} = \frac{{2,22}}{2} = 1,11MeV/nuclon\)

+ \({\varepsilon _T} = \frac{{8,49}}{3} = 2,83MeV/nuclon\)

+ \({\varepsilon _{He}} = \frac{{28,16}}{4} = 7,04MeV/nuclon\)

Ta thấy: \({\varepsilon _{He}} > {\varepsilon _T} > {\varepsilon _D}\)=> các hạt nhân trên được sắp xếp theo thứ tự giảm dần về độ bền vững của hạt nhân 1à: \(_2^4He\); \(_1^3H\);\(_1^2H\)

Ta có: Các hạt nhân bền vững có \(\dfrac{{{{\rm{W}}_{lk}}}}{A}\) lớn nhất vào cỡ 8,8 MeV/nuclon; đó là những hạt nhân nằm khoảng giữa của bảng tuần hoàn ứng với \(50 < A < 80\)

=> hạt nhân bền vững nhất trong các hạt nhân trên là \({\rm{ }}_{26}^{56}F{\rm{e}}\)

\({{\rm{W}}_{LKR}} = \dfrac{{{{\rm{W}}_{LK}}}}{A} = \dfrac{{2,2356}}{2} = \)\(1,1178(MeV)\)

Khối lượng của hạt nhân \({}_{26}^{56}Fe\) là:

\(\begin{array}{l}{m_{hn}} = {m_{nguyen\,tu}} - Z.{m_e}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 55,934939 - 26.5,{486.10^{ - 4}} = 55,9206754u\end{array}\)

Năng lượng liên kết của hạt nhân \({}_{26}^{56}Fe\) là:

\(\begin{array}{l}{W_{lk}} = \Delta m.{c^2} = \left[ {Z.{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_{hn}}} \right]{c^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {26.1,00728 + \left( {56 - 26} \right).1,00866 - 55,9206754} \right]u{c^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 0,5284046.931,5\,\,MeV = 492,209MeV\end{array}\)

Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân sắt:

\(\varepsilon  = \dfrac{{{W_{lk}}}}{A} = \dfrac{{492,209\,}}{{56}} = 8,789\dfrac{{MeV}}{{nuclon}}\)

+ Năng lượng liên kết: \(\left\{ \begin{array}{l}{W_{lkX}} = \Delta {m_X}.{c^2}\\{W_{lkY}} = \Delta {m_Y}.{c^2}\\\Delta {m_X} = \Delta {m_Y}\end{array} \right. \Rightarrow {W_{lkX}} = {W_{lkY}} = {W_{lk}}\)

+ Năng lượng liên kết riêng: \(\left\{ \begin{array}{l}{\varepsilon _X} = \dfrac{{{W_{lk}}}}{{{A_X}}}\\{\varepsilon _Y} = \dfrac{{{W_{lk}}}}{{{A_Y}}}\\{A_X} > {A_Y}\end{array} \right. \Rightarrow {\varepsilon _X} < {\varepsilon _Y}\)

Vậy hạt nhân Y bền vững hơn hạt nhân X.

Năng lượng tỏa ra của phản ứng:

\(\begin{array}{l}{Q_{toa}} = \left( {\Delta {m_{sau}} - \Delta {m_{trc}}} \right){c^2} \Leftrightarrow \left( {\Delta {m_X} - 2.\Delta {m_D}} \right)c = 3,25MeV\\ \Rightarrow {W_{lkX}} = \Delta {m_X}.{c^2} = 3,25 + 2.\Delta {m_D}.{c^2} = 3,25 + 2.0,0024.931 = 7,72MeV\end{array}\)

Năng lượng liên kết của hạt nhân Doteri bằng:

\(\begin{array}{l}
{{\rm{W}}_{lk}} = \left[ {Z.{m_p} + (A - Z).{m_n} - {m_X}} \right].{c^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {Z.{m_p} + (A - Z).{m_n} - {m_X}} \right].{c^2}.931\left( {MeV} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {1.1,0073 + (2 - 1).1,0086 - 2,0136} \right].931,5 = 2,18meV
\end{array}\)

Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân  \({}_{18}^{40}\text{Ar}\)\({{\text{W}}_{LK(\text{Ar})}}=\left[ \left( 18{{m}_{p}}+22{{m}_{n}} \right)-{{m}_{Ar}} \right]{{c}^{2}}=344,93445(MeV)\to {{\text{W}}_{LKR(\text{Ar})}}=\frac{{{\text{W}}_{LK(\text{Ar})}}}{{{A}_{\text{Ar}}}}\approx 8,62336(MeV/nuclon)\)

Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân \({}_{3}^{6}Li\):

\({{\rm{W}}_{LK(Li)}} = \left[ {\left( {3{m_p} + 3{m_n}} \right) - {m_{Li}}} \right]{c^2} = 31,20525(MeV) \to {{\rm{W}}_{LKR(Li)}} = \frac{{{{\rm{W}}_{LK(Li)}}}}{{{A_{Li}}}} \approx 5,200875(MeV/nuclon)\)

\(\to \Delta {{\text{W}}_{LKR}}={{\text{W}}_{LKR(Ar)}}-{{\text{W}}_{LKR(Li)}}\approx 3,42248625(MeV/nuclon)\)

Độ hụt khối của hạt nhân \({}_1^2D\) là:

\(\Delta m = Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_X}\)

\( = 1,0073u + (2 - 1).1,0087u - 2,0136u\)

\( = 0,0024u\)