Bài tập năng lượng của mạch dao dộng LC

Ta có, năng lượng điện từ trong mạch LC: \(W = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}C{u^2} + \frac{1}{2}L{i^2} = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{{Q_0^2}}{{2C}} = \frac{1}{2}LI_0^2\)

=> A, B, D - đúng

C - sai

C - sai vì Năng lượng điện trường và năng lượng từ trường biến đổi tuần hoàn theo tần số f’ = 2f và chu kì T’ = T/2

Ta có, năng lượng điện từ: \(W = \dfrac{1}{2}C{u^2} + \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 \to {u^2} = \dfrac{{LI_0^2 - L{i^2}}}{C} = (I_0^2 - {i^2})\dfrac{L}{C}\)

Ta có, năng lượng từ trường của mạch khi U = 3V là:

\({{\rm{W}}_t} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}C{U_0}^2 - \frac{1}{2}C{u^2} = {5.10^{ - 5}} - \frac{1}{2}{.5.10^{ - 6}}.{3^2} = 2,{75.10^{ - 5}}J\)

Ta có:

+ Tần số góc : \(\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} \to L = \frac{1}{{{\omega ^2}C}} = \frac{1}{{{{(4000)}^2}.1,{{25.10}^{ - 6}}}} = 0,05H\)

+ Năng lượng điện từ trong mạch: \(W = \frac{1}{2}LI_0^2 = \frac{1}{2}.0,05.{({40.10^{ - 3}})^2} = {4.10^{ - 5}}J\)

Ta có: Năng lượng điện từ trong mạch:

\(\begin{array}{l}W = \dfrac{1}{2}C{u^2} + \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{1}{2}CU_0^2 \leftrightarrow \dfrac{1}{2}{.10.10^{ - 6}}{4^2} + \dfrac{1}{2}.0,1.{(0,02)^2} = \dfrac{1}{2}{10.10^{ - 6}}U_0^2\\ \leftrightarrow U_0^2 = 20 \to {U_0} = 2\sqrt 5 V\end{array}\)

Ta có năng lượng cực đại của từ trường tập trung ở cuộn dây cũng chính bằng năng lượng cực đại của điện trường trong tụ điện: \({{\rm{W}}_{{t_{{\rm{max}}}}}} = \frac{1}{2}LI_0^2 = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}2,{5.10^{ - 6}}{.5^2} = 3,{125.10^{ - 5}}J\)

Ta có: \(W = \frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}LI_0^2 \to {I_0} = \sqrt {\frac{{CU_0^2}}{L}}  = \sqrt {\frac{{{{30.10}^{ - 9}}.4,{8^2}}}{{{{25.10}^{ - 3}}}}}  = 5,{258.10^{ - 3}}A\)

Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch: \(I = \frac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }} = 3,{718.10^{ - 3}}A\)

Ta có: \(\frac{1}{2}CU_0^2 = \frac{1}{2}LI_0^2 \to {U_0} = \sqrt {\frac{{LI_0^2}}{C}}  = \sqrt {\frac{{0,2.0,{{012}^2}}}{{{{10.10}^{ - 6}}}}}  = 1,7V\)

Mặt khác: \(W = \frac{1}{2}C{u^2} + \frac{1}{2}L{i^2} = \frac{1}{2}LI_0^2 \to C{u^2} + L{i^2} = LI_0^2 \to u = \sqrt {\frac{{LI_0^2 - L{i^2}}}{C}}  = \sqrt {\frac{{0,2.0,{{012}^2} - 0,2.0,{{01}^2}}}{{{{10.10}^{ - 6}}}}}  = 0,938V\)

Từ phương trình cường độ dòng điện, ta có:

+ Cường độ dòng điện cực đại: I₀ = 0,08

+ Tần số góc: \(\omega  = 2000 = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} \to C = \frac{1}{{{\omega ^2}L}} = \frac{1}{{{{2000}^2}{{.50.10}^{ - 3}}}} = {5.10^{ - 6}}\)

Tại i = I, ta có: 

\(\begin{array}{l}W = \frac{1}{2}C{u^2} + \frac{1}{2}L{i^2} = \frac{1}{2}LI_0^2 \leftrightarrow C{u^2} + L{I^2} = LI_0^2\\ \to u = \sqrt {\frac{{LI_0^2 - L{I^2}}}{C}}  = \sqrt {\frac{{LI_0^2 - L{{\frac{{{I_0}}}{2}}^2}}}{C}}  = \sqrt {\frac{{{{50.10}^{ - 3}}.0,{{08}^2} - {{50.10}^{ - 3}}\frac{{0,{{08}^2}}}{2}}}{{{{5.10}^{ - 6}}}}}  = 4\sqrt 2 V\end{array}\)

Ta có năng lượng điện từ trong mạch được bảo toàn: \(W = \frac{1}{2}C{u^2} + \frac{1}{2}L{i^2} = h/s\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}C{u_1}^2 + \frac{1}{2}L{i_1}^2 = \frac{1}{2}C{u_2}^2 + \frac{1}{2}L{i_2}^2 \to C{u_1}^2 + L{i_1}^2 = C{u_2}^2 + L{i_2}^2\\ \leftrightarrow C = \frac{{L({i_2}^2 - {i_1}^2)}}{{{u_1}^2 - {u_2}^2}} = \frac{{{{5.10}^{ - 3}}({{(2,{{4.10}^{ - 3}})}^2} - {{(1,{{8.10}^{ - 3}})}^2})}}{{1,{2^2} - 0,{9^2}}} = {2.10^{ - 8}}C = 20nF\end{array}\)

+ Năng  lượng dao động điện từ trong mạch: \(W = \frac{1}{2}C{u_1}^2 + \frac{1}{2}L{i_1}^2 = \frac{1}{2}{2.10^{ - 8}}.1,{2^2} + \frac{1}{2}{5.10^{ - 3}}{(1,{8.10^{ - 3}})^2} = 2,{25.10^{ - 8}}J\)

Khi \({{\rm{W}}_d} = {{\rm{W}}_t} \Rightarrow {\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = 2{{\rm{W}}_d}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{q_0^2}}{{2C}} = 2.\dfrac{{{q^2}}}{{2C}}\)

\( \Rightarrow q =  \pm \dfrac{{{q_0}}}{{\sqrt 2 }}\)

Khi \({W_d} = \frac{1}{3}{W_t} \to 4{{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} \leftrightarrow u =  \pm \frac{{{U_0}}}{2} =  \pm \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Vị trí năng lượng điện trường gấp n lần năng lượng từ trường: \(\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = n{W_t}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \frac{1}{{n + 1}}W\\{W_d} = \frac{n}{{n + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}i = \frac{{{I_0}}}{{\sqrt {n + 1} }}\\u = {U_0}\sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} \\q = {Q_0}\sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} \end{array} \right.\)

Khi \({W_d} = {W_t} \to 2{{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} \leftrightarrow q =  \pm \frac{{{q_0}}}{{\sqrt 2 }}\)

Năng lượng trên tụ điện dao động với tần số góc \(\omega  = \dfrac{2}{{\sqrt {LC} }}\)

\( \Rightarrow \) Tần số góc \(\omega  = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}\) không phải là tần số của năng lượng tụ điện.