Bài tập giao thoa ánh sáng đơn sắc - Tính chất vân tại điểm M, số vân trên màn

Khoảng cách giữa 10 vân tối là 9i.

M và N đều là vân sáng nên khoảng cách giữa M và N là:

\(MN = 9i + \dfrac{i}{2} + \dfrac{i}{2} = 2cm \Leftrightarrow i = 0,2cm = 2mm\)

\( \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{a.i}}{D} = \dfrac{{0,5.2}}{2} = 0,5\mu m\)

+ N có đúng 3 bức xạ cho vân sáng nên : kλ₁ = (k + 1)λ₂ = (k + 2)λ₃

\( \Rightarrow \dfrac{{k + 2}}{k} = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _3}}} \le \dfrac{{760}}{{475}} = 1,6 \Rightarrow k + 2 \le 1,6k \Rightarrow k \ge 3,3\)

Vì N gần nhất nên ứng với k = 4 và λ₃ = 475nm => \({x_N} = 6\dfrac{{{{2.475.10}^{ - 8}}}}{{{{10}^{ - 3}}}} = 0,057m\)

+ M có đúng 3 bức xạ cho vân tối nên: (k+0,5)λ₁ = (k + 1,5)λ₂ = (k + 2,5)λ₃

\( \Rightarrow \dfrac{{k + 2,5}}{{k + 0,5}} = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _3}}} \le \dfrac{{760}}{{475}} = 1,6 \Rightarrow k + 2,5 \le 1,6(k + 0,5) \Rightarrow k \ge 2,83\)

Vì M gần nhất nên ứng với k = 3 và λ₃ = 475nm => \({x_M} = 5,5\dfrac{{{{2.475.10}^{ - 8}}}}{{{{10}^{ - 3}}}} = 0,05225m\)

Khoảng cách MN là MN = x_N – x_M = 4,75mm

Khoảng cách giữa hai vân sáng liền kề là:

\(i = \dfrac{{\lambda D}}{a} \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{ai}}{D} = \dfrac{{0,{{1.10}^{ - 3}}{{.8.10}^{ - 3}}}}{2} = {4.10^{ - 7}}\,\,\left( m \right)\)

Hiệu đường đi của tia sáng từ hai khe tới vân tối thứ 2 kể từ vân trung tâm (k = 1) là:

\({d_2} - {d_1} = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda  = \dfrac{3}{2}\lambda  = \dfrac{3}{2}{.4.10^{ - 7}} = {6.10^{ - 7}}\,\,\left( m \right)\)

Khoảng cách giữa 9 vân sáng liên tiếp là \(8i \Rightarrow 8i = 7,2 \Leftrightarrow i = 0,9\)

Lại có: \(i = \dfrac{{\lambda D}}{a}\) \( \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{ai}}{D} = \dfrac{{0,5.0,9}}{{0,75}} = 0,6\left( {\mu m} \right)\)

Ta có:

+ Khoảng vân \(i = \dfrac{{\lambda D}}{a} = \dfrac{{{{0,5.10}^{ - 6}}.1}}{{{{0,5.10}^{ - 3}}}} = {10^{ - 3}}m = 1mm\)

+ Tại M: \({x_M} = 4mm = 4i\)

=> Tại M là vân sáng bậc 4

+ Khi chưa dịch màn M: \({x_M} = 4i \Rightarrow i = \dfrac{{{x_M}}}{4} = \dfrac{{\lambda D}}{a}\)  (1)

+ Khi dịch màn M ra xa một đoạn 30 cm: \({x_M} = 2,5i' \to i' = \dfrac{{{x_M}}}{{2,5}} = \dfrac{{\lambda (D + 30)}}{a}\) (2)

 Lấy \(\dfrac{{\left( 2 \right)}}{{\left( 1 \right)}}\), ta được: \(\dfrac{{i'}}{i} = \dfrac{{D + 30}}{D} = \dfrac{{\dfrac{{{x_M}}}{{2,5}}}}{{\dfrac{{{x_M}}}{4}}} = \dfrac{8}{5} \to D = 50(cm)\)

+ Khi dịch màn M lại gần một đoạn 30 cm: \({x_M} = ki'' \Rightarrow i'' = \dfrac{{{x_M}}}{k} = \dfrac{{\lambda (D - 30)}}{a}\) (3)

 Lấy \(\dfrac{{\left( 3 \right)}}{{\left( 1 \right)}}\) , ta được: \(\dfrac{{i''}}{i} = \dfrac{{D - 30}}{D} = \dfrac{{50 - 30}}{{50}} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{{\dfrac{{{x_M}}}{k}}}{{\dfrac{{{x_M}}}{4}}} = \dfrac{4}{k} \Rightarrow k = 10\)

Vậy tại M có vân sáng bậc 10

Ta có, khoảng vân:

\(i=\dfrac{\lambda D}{a}=\dfrac{0,6.10^{-6}.1,5}{0,5.10^{-3}}=1,8.10^{-3}=1,8mm\)

\({x_M} = 5,4mm = k.1,8 \\\Rightarrow k = \dfrac{{5,4}}{{1,8}} = 3\)

=> Tại M là vân sáng bậc 3

Ta có, trên màn có 9 vân sáng

=> Khoảng cách giữa 9 vân sáng là 8i = 7,2mm => i = 0,9mm

Tại vị trí cách trung tâm 14,4mm = 16i => Vân sáng thứ 16

Ta có:

+ Khoảng vân \(i = \dfrac{{\lambda D}}{a} = \dfrac{{0,{{5.10}^{ - 6}}.1}}{{0,{{5.10}^{ - 3}}}} = {10^{ - 3}}m = 1mm\)

+ Tại M: x = 3,5mm = 3,5i = (3 + 0,5) i

=> Tại M là vân tối bậc 4

+ Khi chưa dịch màn M: \({x_M} = 2i \Rightarrow i = \frac{{{x_M}}}{2} = \frac{{\lambda D}}{a}\) (1)

+ Khi dịch màn M ra xa một đoạn 40 cm: \({x_M} = 1,5i' \to i' = \frac{{{x_M}}}{{1,5}} = \frac{{\lambda (D + 40)}}{a}\)(2)

 Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{D + 40}}{D} = \frac{{i'}}{i} = \frac{{\frac{{{x_M}}}{{1,5}}}}{{\frac{{{x_M}}}{2}}} = \frac{4}{3} \to D = 120(cm)\) 

+ Khi dịch màn M lại gần một đoạn 40 cm: \({x_M} = ki'' \Rightarrow i'' = \frac{{{x_M}}}{k} = \frac{{\lambda (D - 40)}}{a}\)(3)

 Từ (1) và (3) ta có: \(\frac{{i''}}{i} = \frac{{D - 40}}{D} = \frac{2}{3} = \frac{{\frac{{{x_M}}}{k}}}{{\frac{{{x_M}}}{2}}} = \frac{2}{k} \Rightarrow k = 3\) 

Vậy tại M có vân sáng bậc 3

Khoảng vân \(i = \frac{{{{400.10}^{ - 9}}.3}}{{{{10}^{ - 3}}}} = 1,2mm\)

Vị trí điểm M là: x = 8,3.i

Khoảng vân \(i' = \frac{{{{400.10}^{ - 9}}.1,8}}{{{{10}^{ - 3}}}} = 0,72mm\)

Vị trí điểm M là: x = 13,8.i’

Trong quá trình di chuyển, M chuyển thành vân tối ứng với các giá trị: 8,5i; 9,5i; …;13,5i = 6 lần

- Bước 1:

Ta có:

+ Khoảng vân i: \(i = \dfrac{{\lambda D}}{a} = \dfrac{{0,{{5.10}^{ - 6}}.1}}{{0,{{5.10}^{ - 3}}}} = {10^{ - 3}}m = 1mm\)

- Bước 2:

+ Số vân sáng trên màn: \({N_S} = 2\left[ {\dfrac{L}{{2i}}} \right] + 1 = 13\)

- Bước 3:

Ta có:  phần thập phân của \(\dfrac{L}{{2i}} = 0,5\)=> Số vân tối trên màn: N_t = N_S + 1 = 14

Khi sử dụng bức xạ màu vàng: \(MN = 12{i_1} = 12\dfrac{{{\lambda _1}D}}{a} \Rightarrow {x_M} =  - {x_N} = 6\dfrac{{{\lambda _1}D}}{a}\)

Khi sử dụng bức xạ màu xanh: \({x_N} =  - {x_M} \le n{i_2} \le {x_M} \Leftrightarrow  - 6{\lambda _1} \le n{\lambda _2} \le 6{\lambda _1} \Leftrightarrow  - 7,2 \le n \le 7,2\)

  Có 15 giá trị của n nguyên  Có 15 vân sáng

Ta có:

+ Khoảng vân i: \(i = \dfrac{{\lambda D}}{a} = \dfrac{{0,{{48.10}^{ - 6}}.2}}{{1,{{5.10}^{ - 3}}}} = 0,{64.10^{ - 3}}m = 0,64mm\)

+ Vị trí vân sáng bậc 2 trên màn ứng với k = ±2 là: x_s2 = ±2i = ±2.0,64 = ±1,28mm

Ta có:

+ Khoảng vân \(i = \frac{{\lambda D}}{a} = \frac{{0,{{64.10}^{ - 6}}.2,5}}{{0,{{5.10}^{ - 3}}}} = 3,{2.10^{ - 3}}m = 3,2mm\)

+ Vân tối thứ 3 kể từ vân sáng trung tâm ứng với k = 2 hoặc k = -3\( \to \left[ \begin{array}{l}{x_{t{\rm{ }}(3)}} = \left( {2 + 0,5} \right)i = 8mm\\{x_{t{\rm{ }}(3)}} = \left( { - 3 + 0,5} \right)i =  - 8mm\end{array} \right.\) 

Ta có:

+ Khoảng vân: \(i = \frac{{\lambda D}}{a} = \frac{{{{600.10}^{ - 9}}.1}}{{0,{{3.10}^{ - 3}}}} = {2.10^{ - 3}}m = 2mm\)

+ Khoảng cách giữa vân sáng bậc 2 và bậc 5 là: 5i - 2i = 3i = 3.2 = 6mm

Ta có:

+ Khoảng vân: \(i = \frac{{\lambda D}}{a} = \frac{{0,{{5.10}^{ - 6}}.2,5}}{{{{3.10}^{ - 3}}}} = 0,{417.10^{ - 3}}m = 0,417mm\)

+ Số vân sáng quan sát được trên đoạn M,N là:

\({N_S} = \left[ {\frac{{ON}}{i}} \right] + \left[ {\frac{{OM}}{i}} \right] + 1 = \left[ {\frac{{2,1}}{{0,417}}} \right] + \left[ {\frac{{5,9}}{{0,417}}} \right] + 1 = 5 + 14 + 1 = 20\)

Ta có:

+ Giữa hai vân sáng ở M và N trên màn cách nhau 22,5mm có 15 vân tối => đoạn MN có 16 vân sáng (kể cả M và N)

=> MN = 22,5mm = 15i => i =1,5mm

+ Khoảng vân i: \(i = \dfrac{{\lambda D}}{a} \to \lambda  = \dfrac{{ai}}{D} = \dfrac{{0,{{8.10}^{ - 3}}.1,{{5.10}^{ - 3}}}}{{2,5}} = 0,{48.10^{ - 6}}m\)

+ Tần số của ánh sáng: \(f = \dfrac{c}{\lambda } = \dfrac{{{{3.10}^8}}}{{0,{{48.10}^{ - 6}}}} = 6,{25.10^{14}}H{\rm{z}}\)

Để trên màn tại vị trí cách vân trung tâm 2,5mm ta có vân sáng bậc 5 tương đương với 2,5mm = 5i

=> i = 0,5mm

Ta có: Khoảng vân \(i = \frac{{\lambda D}}{a} \to D = \frac{{ai}}{\lambda } = \frac{{{{0,45.10}^{ - 3}}{{.0,5.10}^{ - 3}}}}{{{{0,45.10}^{ - 6}}}} = 0,5m\)

Gọi : i, i’ lần lượt là khoảng vân của ánh sáng trong không khí và trong nước

Ta có:

+ \(i' = \frac{i}{n}\)

+ Khi đặt hệ trong không khí: x_M = 3i

+ Khi đặt hệ trong môi trường nước: \({x_M} = 3i = 3i'.n = 3.\frac{4}{3}i' = 4i'\)

=> Khi nhúng toàn bộ hệ thống vào trong nước thì tại M là vân sáng bậc 4