Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 4

Hình hộp chữ nhật có $8$ đỉnh, $6$ mặt và $12$ cạnh.

Vậy hình hộp chữ nhật có $12$ cạnh.

Gọi $6$ điểm phân biệt là: $A,B,C,D,E,F$

Các đường thẳng tạo thành là: $AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,$$CD,CE,CF,DE,DF,EF.$

Vậy có $15$ đường thẳng

Áp dụng tính định lý Ta-lét ta có: $MN//BC$ nên $\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow NC = \dfrac{{MB.AN}}{{AM}} = \dfrac{{2.5}}{3} = \dfrac{{10}}{3}$.

Vậy $NC = \dfrac{{10}}{3}$.

Đáy bé của hình thang có độ dài là: $\dfrac{2}{3} \times 42 = 28m$

Chiều cao của hình thang có độ dài là: $28 + 2 = 30m$

Diện tích hình thang là: $\dfrac{1}{2} \times \left( {42 + 28} \right) \times 30 = 1050\,{m^2}$

Đáp số: $1050\,{m^2}.$

Do $\Delta DEF \backsim \Delta ABC$ nên $\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{DE}}{{AB}}} \right)^2} = {k^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$.

Vậy $\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}x:\left[ {\left( {1800 + 600} \right):30} \right] = 560:\left( {315 - 35} \right)\\x:\left( {2400:30} \right) = 560:280\\x:80 = 2\\x = 2 \times 80\\x = 160\end{array}$

${x^2} - x - 6 = {x^2} - 3x + 2x - 6 = \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {2x - 6} \right) = x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)$

$\dfrac{2}{5}$ số gạo ban đầu là: $\dfrac{2}{5} \times 7250 = 2900kg$

Số gạo còn lại sau khi bán $\dfrac{2}{5}$ số gạo ban đầu là: $7250 - 2900 = 4350kg$

Số gạo còn lại sau khi bán thêm $370kg$ gạo là: $4350 - 370 = 3980kg$

Đáp số: $3980kg$

Nửa chu vi hình chữ nhật là: $32:2 = 16\,m$

Suy ra tổng chiều dài và chiều rộng là $16m,$ hiệu chiều dài và chiều rộng là $4m$

Chiều dài hình chữ nhật là: $\left( {16 + 4} \right):2 = 10m$

Chiều rộng hình chữ nhật là: $10 - 4 = 6m$

Diện tích hình chữ nhật là: $10 \times 6 = 60{m^2}$

Diện tích viên gạch là: $2 \times 2 = 4\,d{m^2} = 0,04{m^2}$

Số viên gạch cần dùng là: $60:0,04 = 1500$ viên.

Đáp số: $1500$ viên.

$\begin{array}{l}3x + 2(x + 1) = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 3x + 2x + 2 = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 2 + 7 = 6x - 3x - 2x\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ 9\} }}{\rm{.}}$

Chiều cao của thửa ruộng hình thang là: $250 \times \dfrac{3}{5} = 150\left( m \right)$

Diện tích thửa ruộng hình thang là: $250 \times 150:2 = 18750\left( {{m^2}} \right)$

$1m^2$ ruộng thu được số ki-lo-gam thóc là: $64:100=0,64\,(kg)$ 

Số ki-lô-gam thóc thu được trên cả thửa ruộng là: $18750\times 0,64 = 12000\left( {kg} \right)$

Đổi: $12000kg = 12$ (tấn)

ĐKXĐ: $x \ne  - 1;\,\,x \ne 4$

$\dfrac{5}{{x + 1}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{2}{{x - 4}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{5(x - 4)}}{{(x + 1)(x - 4)}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{{2(x + 1)}}{{(x + 1)(x - 4)}}$$\Rightarrow 5(x - 4) + 2x = 2(x + 1)\\ \Leftrightarrow 5x - 20 + 2x = 2x + 2$$\Leftrightarrow 5x + 2x - 2x = 2 + 20$$\Leftrightarrow 5x = 22$$\Leftrightarrow x = \dfrac{{22}}{5}\,\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\dfrac{{22}}{5}} \right\}.$

$7$ tấn cà phê của kho $A$ ứng với phân số là: $\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{7}{{45}}$

Số cà phê của kho A là: $7:\dfrac{7}{{45}} = 45$ tấn.

Số cà phê của kho B ban đầu là: $\dfrac{3}{5} \times 45 = 27$ tấn.

Cả hai kho chứa số tấn cà phê là: $45 + 27 = 72$ tấn.

Đáp số: $72$ tấn.

$\begin{array}{l}7x + 4 \ge 5x - 8\\ \Leftrightarrow 7x - 5x \ge  - 8 - 4\\ \Leftrightarrow 2x \ge  - 12\\ \Leftrightarrow x \ge  - 6\end{array}$.

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là $S = {\rm{\{ }}x\,{\rm{| }}x \ge  - 6{\rm{\} }}$.

Biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số:

Ta thấy:

$\begin{array}{l}18 = 3 + 15 \times 1\\48 = 18 + 15 \times 2\\93 = 48 + 15 \times 3\\...\end{array}$

Từ dãy số ta phá hiện ra qui luật của dãy là: Số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của $15$ với số thứ tự của số liền trước trong dãy.

Gọi $n$ là số thứ tự của số hạng $11703,$ ta có:

$3 + 15 \times 1 + 15 \times 2 + 15 \times 3 + ... + \left( {n - 1} \right) \times 15 = 11703$

$15 \times \left[ {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] = 11700$

$\begin{array}{l}15 \times \dfrac{{n - 1}}{2} \times n = 1170\\\left( {n - 1} \right) \times n = 1560\\\left( {n - 1} \right) \times n = 39 \times 40\end{array}$

Suy ra: $n = 40.$

Số $11703$ là số hạng thứ $40$ trong dãy.

Gọi quãng đường AB dài $x\,\left( {km} \right),\,\left( {x > 0} \right)$.

Thời gian người đó đi từ A đến B là $\dfrac{x}{{60}}\,\left( h \right)$.

Thời gian người đó đi từ B đến A là $\dfrac{x}{{45}}\,\,\left( h \right)$.

Đổi: 6 giờ 24 phút = 6,4h; 1 giờ 30 phút = 1,5h

Theo bài ta lập được phương trình sau:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{60}} + 1,5 + \dfrac{x}{{45}} = 6,4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{60.3}} + \dfrac{{1,5.180}}{{180}} + \dfrac{{4x}}{{45.4}} = \dfrac{{6,4.180}}{{180}}\\ \Leftrightarrow 3x + 270 + 4x = 1152\\ \Leftrightarrow 7x + 270 - 1152 = 0 \Leftrightarrow x = 126\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$.

Vậy quãng đường AB dài 126km.

Xét tam giác HBA và tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\\widehat B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta HBA \backsim \Delta ABC\;(g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{BA}} \Leftrightarrow B{A^2} = BH.BC\,.\end{array}$.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \Rightarrow BC = 20cm$

Ta có: BD là phân giác góc B của tam giác ABC.  Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có tỉ lệ thức sau:

$\begin{array}{l}\dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{BA}} = \dfrac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \dfrac{{AC}}{{BC + BA}} = \dfrac{{16}}{{32}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{12}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow DA = \dfrac{{12}}{2} = 6cm\end{array}$.

Ta có: $\Delta HBA \backsim \Delta ABC$ (theo câu trước)

$\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BCA}\;\,hay\,\widehat {BAE} = \widehat {BCD}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác EAB và tam giác DCB ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {ABE} = \widehat {CBD}\;(gt)\\\widehat {BAE} = \widehat {BCD}\\ \Rightarrow \Delta E{\rm{A}}B \backsim \Delta DCB\; (g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\;\;(1)\end{array}$

Ta lại có: $\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{B{\rm{C}}}}$ (tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}$.

Ta có: $2x + 2y + z = 4 \Leftrightarrow z = 4 - 2x - 2y.$

$\Rightarrow A = 2xy + yz + zx$$= 2xy + y\left( {4-2x-2y} \right) + x\left( {4-2x-2y} \right)$$= {\rm{ }}2xy + 4y-2xy-2{y^2} + 4x-2{x^2}-2xy$$= -2{x^2}-2xy + 4x-2{y^2} + 4y$$=  - \left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \dfrac{8}{3}\left( {x + y} \right) + \dfrac{{16}}{9}} \right] - \left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9}} \right) - \left( {{y^2} - \dfrac{4}{3}y + \dfrac{4}{9}} \right) + \dfrac{8}{3}$$=  - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2}+ \dfrac{8}{3}$          

Mà: ${\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x,\;y$

$\Rightarrow A =  - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + \dfrac{8}{3} \le \dfrac{8}{3}$ với mọi $x,\;y$.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - \dfrac{4}{3} = 0\\x - \dfrac{2}{3} = 0\\y - \dfrac{2}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}.$

Vậy A_max = $\dfrac{8}{3}$ khi  $\left\{ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{2}{3}\\z = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$.