Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 4

Hình hộp chữ nhật có \(8\) đỉnh, \(6\) mặt và \(12\) cạnh.

Vậy hình hộp chữ nhật có \(12\) cạnh.

Gọi \(6\) điểm phân biệt là: \(A,B,C,D,E,F\)

Các đường thẳng tạo thành là: \(AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,\)\(CD,CE,CF,DE,DF,EF.\)

Vậy có \(15\) đường thẳng

Áp dụng tính định lý Ta-lét ta có: \(MN//BC\) nên \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow NC = \dfrac{{MB.AN}}{{AM}} = \dfrac{{2.5}}{3} = \dfrac{{10}}{3}\).

Vậy \(NC = \dfrac{{10}}{3}\).

Đáy bé của hình thang có độ dài là: \(\dfrac{2}{3} \times 42 = 28m\)

Chiều cao của hình thang có độ dài là: \(28 + 2 = 30m\)

Diện tích hình thang là: \(\dfrac{1}{2} \times \left( {42 + 28} \right) \times 30 = 1050\,{m^2}\)

Đáp số: \(1050\,{m^2}.\)

Do \(\Delta DEF \backsim \Delta ABC\) nên \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{DE}}{{AB}}} \right)^2} = {k^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\).

Vậy \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4}\) .

Ta có:

\(\begin{array}{l}x:\left[ {\left( {1800 + 600} \right):30} \right] = 560:\left( {315 - 35} \right)\\x:\left( {2400:30} \right) = 560:280\\x:80 = 2\\x = 2 \times 80\\x = 160\end{array}\)

\({x^2} - x - 6 = {x^2} - 3x + 2x - 6 = \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {2x - 6} \right) = x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)

\(\dfrac{2}{5}\) số gạo ban đầu là: \(\dfrac{2}{5} \times 7250 = 2900kg\)

Số gạo còn lại sau khi bán \(\dfrac{2}{5}\) số gạo ban đầu là: \(7250 - 2900 = 4350kg\)

Số gạo còn lại sau khi bán thêm \(370kg\) gạo là: \(4350 - 370 = 3980kg\)

Đáp số: \(3980kg\)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: \(32:2 = 16\,m\)

Suy ra tổng chiều dài và chiều rộng là \(16m,\) hiệu chiều dài và chiều rộng là \(4m\)

Chiều dài hình chữ nhật là: \(\left( {16 + 4} \right):2 = 10m\)

Chiều rộng hình chữ nhật là: \(10 - 4 = 6m\)

Diện tích hình chữ nhật là: \(10 \times 6 = 60{m^2}\)

Diện tích viên gạch là: \(2 \times 2 = 4\,d{m^2} = 0,04{m^2}\)

Số viên gạch cần dùng là: \(60:0,04 = 1500\) viên.

Đáp số: \(1500\) viên.

\(\begin{array}{l}3x + 2(x + 1) = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 3x + 2x + 2 = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 2 + 7 = 6x - 3x - 2x\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = {\rm{\{ 9\} }}{\rm{.}}\)

Chiều cao của thửa ruộng hình thang là: \(250 \times \dfrac{3}{5} = 150\left( m \right)\)

Diện tích thửa ruộng hình thang là: \(250 \times 150:2 = 18750\left( {{m^2}} \right)\)

\(1m^2\) ruộng thu được số ki-lo-gam thóc là: \(64:100=0,64\,(kg)\) 

Số ki-lô-gam thóc thu được trên cả thửa ruộng là: \(18750\times 0,64 = 12000\left( {kg} \right)\)

Đổi: \(12000kg = 12\) (tấn)

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1;\,\,x \ne 4\)

\(\dfrac{5}{{x + 1}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{2}{{x - 4}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{5(x - 4)}}{{(x + 1)(x - 4)}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{{2(x + 1)}}{{(x + 1)(x - 4)}}\)\( \Rightarrow 5(x - 4) + 2x = 2(x + 1)\\ \Leftrightarrow 5x - 20 + 2x = 2x + 2\)\( \Leftrightarrow 5x + 2x - 2x = 2 + 20\)\( \Leftrightarrow 5x = 22\)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{22}}{5}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{{22}}{5}} \right\}.\)

\(7\) tấn cà phê của kho \(A\) ứng với phân số là: \(\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{7}{{45}}\)

Số cà phê của kho A là: \(7:\dfrac{7}{{45}} = 45\) tấn.

Số cà phê của kho B ban đầu là: \(\dfrac{3}{5} \times 45 = 27\) tấn.

Cả hai kho chứa số tấn cà phê là: \(45 + 27 = 72\) tấn.

Đáp số: \(72\) tấn.

\(\begin{array}{l}7x + 4 \ge 5x - 8\\ \Leftrightarrow 7x - 5x \ge  - 8 - 4\\ \Leftrightarrow 2x \ge  - 12\\ \Leftrightarrow x \ge  - 6\end{array}\).

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là \(S = {\rm{\{ }}x\,{\rm{| }}x \ge  - 6{\rm{\} }}\).

Biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số:

Ta thấy:

\(\begin{array}{l}18 = 3 + 15 \times 1\\48 = 18 + 15 \times 2\\93 = 48 + 15 \times 3\\...\end{array}\)

Từ dãy số ta phá hiện ra qui luật của dãy là: Số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của \(15\) với số thứ tự của số liền trước trong dãy.

Gọi \(n\) là số thứ tự của số hạng \(11703,\) ta có:

\(3 + 15 \times 1 + 15 \times 2 + 15 \times 3 + ... + \left( {n - 1} \right) \times 15 = 11703\)

\(15 \times \left[ {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] = 11700\)

\(\begin{array}{l}15 \times \dfrac{{n - 1}}{2} \times n = 1170\\\left( {n - 1} \right) \times n = 1560\\\left( {n - 1} \right) \times n = 39 \times 40\end{array}\)

Suy ra: \(n = 40.\)

Số \(11703\) là số hạng thứ \(40\) trong dãy.

Gọi quãng đường AB dài \(x\,\left( {km} \right),\,\left( {x > 0} \right)\).

Thời gian người đó đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{60}}\,\left( h \right)\).

Thời gian người đó đi từ B đến A là \(\dfrac{x}{{45}}\,\,\left( h \right)\).

Đổi: 6 giờ 24 phút = 6,4h; 1 giờ 30 phút = 1,5h

Theo bài ta lập được phương trình sau:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{60}} + 1,5 + \dfrac{x}{{45}} = 6,4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{60.3}} + \dfrac{{1,5.180}}{{180}} + \dfrac{{4x}}{{45.4}} = \dfrac{{6,4.180}}{{180}}\\ \Leftrightarrow 3x + 270 + 4x = 1152\\ \Leftrightarrow 7x + 270 - 1152 = 0 \Leftrightarrow x = 126\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\).

Vậy quãng đường AB dài 126km.

Xét tam giác HBA và tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\\widehat B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta HBA \backsim \Delta ABC\;(g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{BA}} \Leftrightarrow B{A^2} = BH.BC\,.\end{array}\).

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \Rightarrow BC = 20cm\)

Ta có: BD là phân giác góc B của tam giác ABC.  Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có tỉ lệ thức sau:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{BA}} = \dfrac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \dfrac{{AC}}{{BC + BA}} = \dfrac{{16}}{{32}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{12}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow DA = \dfrac{{12}}{2} = 6cm\end{array}\).

Ta có: \(\Delta HBA \backsim \Delta ABC\) (theo câu trước)

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BCA}\;\,hay\,\widehat {BAE} = \widehat {BCD}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác EAB và tam giác DCB ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ABE} = \widehat {CBD}\;(gt)\\\widehat {BAE} = \widehat {BCD}\\ \Rightarrow \Delta E{\rm{A}}B \backsim \Delta DCB\; (g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\;\;(1)\end{array}\)

Ta lại có: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{B{\rm{C}}}}\) (tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\).

Ta có: \(2x + 2y + z = 4 \Leftrightarrow z = 4 - 2x - 2y.\)

\( \Rightarrow A = 2xy + yz + zx\)\( = 2xy + y\left( {4-2x-2y} \right) + x\left( {4-2x-2y} \right)\)\( = {\rm{ }}2xy + 4y-2xy-2{y^2} + 4x-2{x^2}-2xy\)\(= -2{x^2}-2xy + 4x-2{y^2} + 4y\)\( =  - \left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \dfrac{8}{3}\left( {x + y} \right) + \dfrac{{16}}{9}} \right] - \left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9}} \right) - \left( {{y^2} - \dfrac{4}{3}y + \dfrac{4}{9}} \right) + \dfrac{8}{3}\)\(=  - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2}+ \dfrac{8}{3}\)          

Mà: \({\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\;y\)

\( \Rightarrow A =  - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + \dfrac{8}{3} \le \dfrac{8}{3}\) với mọi \( x,\;y\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - \dfrac{4}{3} = 0\\x - \dfrac{2}{3} = 0\\y - \dfrac{2}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}.\)

Vậy A_max = \(\dfrac{8}{3}\) khi  \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{2}{3}\\z = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\).