Cho dãy số $({z_n})$xác định bởi ${z_n} = \sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2\cos \dfrac{{n\pi }}{3}.$Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số $({z_n})$. Tính giá trị biểu thức $T = {M^2} + {m^2}.$
Dựa vào chu kì của hàm số $y = \sin x;y = \cos x,$ ta có ${z_{n + 12}} = {z_n},\forall n \ge 1.$
Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là $S = \left\{ {{z_1};{z_2};...;{z_{12}}} \right\} = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;2} \right\}.$
Suy ra $M = 2;m = - 3.$Do đó $T = 13.$
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^2},n \in {\mathbb{N}^*}}\end{array}} \right.\). Tính \({u_{21}}\).
Bước 1: Biểu diễn \({u_{n + 1}}\) theo n.
Từ \({u_{n + 1}} = {u_n} + {n^2}\), với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:
\({u_2} = {u_1} + {1^2};{u_3} = {u_2} + {2^2}; \ldots ;{u_n} = {u_{n - 1}} + {(n - 1)^2};{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^2}.\)
Cộng \(n\) đẳng thức trên theo vế ta được: \({u_{n + 1}} = 1 + \left( {{1^2} + {2^2} + \ldots + {n^2}} \right)\), với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Bước 2: Tính \({u_{21}}\)
Mặt khác, ta luôn có: \({1^2} + {2^2} + \ldots + {n^2} = \dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\) nên suy ra \({u_{n + 1}} = 1 + \dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\), với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Cho \(n = 20\), ta được: \({u_{21}} = 1 + \dfrac{{20 \cdot 21 \cdot (2 \cdot 20 + 1)}}{6} = 2871\).
Cho dãy số $\left( {{y_n}} \right)$ xác định bởi ${y_n} = {\sin ^2}\dfrac{{n\pi }}{4} + \cos \dfrac{{2n\pi }}{3}$. Bốn số hạng đầu của dãy số đó là
Ta có ${y_1} = {\sin ^2}\dfrac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\dfrac{{2\pi }}{3} = 0;{y_2} = {\sin ^2}\dfrac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\dfrac{{4\pi }}{3} = \dfrac{1}{2}.$ (loại phương án B và D) và ${y_3} = {\sin ^2}\dfrac{{3\pi }}{4} + c{\rm{os}}2\pi = \dfrac{3}{2}.$ (loại phương án C).
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \dfrac{n}{{{3^n} - 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây
Dùng MTCT chức năng CALC: ta có
\({u_1} = \dfrac{1}{2};\,\,{u_2} = \dfrac{2}{{{3^2} - 1}} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4};\,\,{u_3} = \dfrac{3}{{{3^3} - 1}} = \dfrac{3}{{26}}.\)
Cho dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) xác định bởi \({y_1} = {y_2} = 1\) và \({y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + {y_n},\,\,\forall n \in N*.\) Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
\(\begin{array}{l}{y_1} = {y_2} = 1\\{y_3} = {y_2} + {y_1} = 1 + 1 = 2\\{y_4} = {y_3} + {y_2} = 2 + 1 = 3\\{y_5} = {y_4} + {y_3} = 3 + 2 = 5\end{array}\)
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_1} = - 1$ và ${u_n} = 2.n.{u_{n - 1}}$ với mọi $n \ge 2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
Ta có ${u_2} = {2^2}{u_1};{u_3} = 6{u_2} = {2^2}.2.3{u_1};{u_4} = 8{u_3} = {2^3}.2.3.4{u_1}.$
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng ${u_n} = {2^{n - 1}}.n!{u_1} = - {2^{n - 1}}.n!$
Do đó ${u_{11}} = - {2^{10}}.11!$.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\dfrac{{{2^n}}}{n}.$ Tìm số hạng \({u_3}.\)
Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: \({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}.\dfrac{{{2^3}}}{3} = - \dfrac{8}{3}.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right..\) Tìm số hạng \({u_4}.\)
Ta có
\({u_2} = \dfrac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1;\)\(\,\,{u_3} = \dfrac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \dfrac{2}{3};\,\,\)\({u_4} = \dfrac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{2}{3} + 1} \right) = \dfrac{5}{9}\)
Cho dãy số $\left( {{y_n}} \right)$ xác định bởi ${y_1} = 2$ và ${y_{n + 1}} = 2{y_n} + {(n+1)^2} - 3(n+1),\forall n \in \mathbb{N}^*$. Tổng ${S_4}$ của $4$ số hạng đầu tiên của dãy số là
Ta có: \({y_2} = 2{y_1} + {2^2} - 3.2 = 2.2 + 4 - 6 = 2\)
\({y_3} = 2{y_2} + {3^2} - 3.3 = 2.2 + 9 - 9 = 4\)
\({y_4} = 2{y_3} + {4^2} - 3.4 = 2.4 + 16 - 12 = 12\)
$ \Rightarrow {S_4} = 2 + 2 + 4 + 12 = 20.$
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \dfrac{{2n + 5}}{{5n - 4}}.\) Số \(\dfrac{7}{{12}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau:
${u_n} = \dfrac{{2n + 5}}{{5n - 4}} = \dfrac{7}{{12}} \Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28 \Leftrightarrow 11n = 88 \Leftrightarrow n = 8.$
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {3n - 1} \right)^2},\,\,\forall n \in {N^*}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
Ta có: \({x_{n + 1}} = {\left[ {3\left( {n + 1} \right) - 1} \right]^2} = {\left( {3n + 2} \right)^2}\)
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Ta có \({u_1} = - \dfrac{1}{2};{u_2} = - \dfrac{2}{3};{u_3} = - \dfrac{3}{4};\) \({u_4} = - \dfrac{4}{5};{u_5} = - \dfrac{5}{6}.\)
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.$với \(n \ge 1\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?
Ta có \({u_1} = - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n.\) Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
\({u_1} = - 2.1 = - 2;\,\,{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.2.2 = 4,\,\,{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}2.3 = - 6;\,\,{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}2.4 = 8\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\dfrac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
\({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7.\)
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
Ta có: \({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi \({a_n} = 2017\sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
+ Ta có \({a_{n + 6}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\pi }}{2} \) \(+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\pi }}{3} \) \(= - 2017\sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}\)
+ Ta có \({a_{n + 9}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 9} \right)\pi }}{2} \) \(+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 9} \right)\pi }}{3} \) \(= 2017\cos \dfrac{{n\pi }}{2} - 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}\).
+ Ta có \({a_{n + 12}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 12} \right)\pi }}{2} \) \(+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 12} \right)\pi }}{3} \) \(= 2017\sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} = {a_n}\).
+ Ta có \({a_{n + 15}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 15} \right)\pi }}{2} \) \(+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 15} \right)\pi }}{3}\) \( = -2017\cos \dfrac{{n\pi }}{2} - 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}\).
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*\) .
\({a_n} = - {n^2} + 4n + 11 = - {n^2} + 4n - 4 + 15 = - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng $15$.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \dfrac{1}{2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\) với mọi \(n \ge 2\). Khi đó \({u_{50}}\) bằng:
Ta có: \({u_1} = \dfrac{1}{2}\)
$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.2 = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{2} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3} \right)\\{u_4} = {u_3} + 2.4 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)\\...\end{array}$
Dự đoán số hạng tổng quát \({u_n} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2\)
Chứng minh bằng quy nạp:
Dễ thấy $(*)$ đúng với $n = 2.$
Giả sử $(*)$ đúng đến \(n = k \ge 2\) , tức là \({u_k} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)\), ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)\)
Ta có: \({u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \ge 2\).
Mặt khác ta có \(1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \) \(\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1\)
Khi đó số hạng \({u_{50}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {\dfrac{{50.51}}{2} - 1} \right) = 2548,5\)
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:
\(\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}\)
Dự đoán \({x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N^*\)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Dễ thấy, $(*)$ đúng với $n = 1$.
Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k\ge 1),$ tức là \({x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,\) ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\).
Ta có: \({x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \in N^*\).
Vậy \({x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2},\forall n \in N^*\)
