Dãy số

Dựa vào chu kì của hàm số $y = \sin x;y = \cos x,$ ta có ${z_{n + 12}} = {z_n},\forall n \ge 1.$

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là $S = \left\{ {{z_1};{z_2};...;{z_{12}}} \right\} = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;2} \right\}.$

Suy ra $M = 2;m =  - 3.$Do đó $T = 13.$

Bước 1: Biểu diễn ${u_{n + 1}}$ theo n.

Từ ${u_{n + 1}} = {u_n} + {n^2}$, với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta có:

${u_2} = {u_1} + {1^2};{u_3} = {u_2} + {2^2}; \ldots ;{u_n} = {u_{n - 1}} + {(n - 1)^2};{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^2}.$

Cộng $n$ đẳng thức trên theo vế ta được: ${u_{n + 1}} = 1 + \left( {{1^2} + {2^2} +  \ldots  + {n^2}} \right)$, với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Bước 2: Tính ${u_{21}}$

Mặt khác, ta luôn có: ${1^2} + {2^2} +  \ldots  + {n^2} = \dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$ nên suy ra ${u_{n + 1}} = 1 + \dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$, với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}.$

Cho $n = 20$, ta được: ${u_{21}} = 1 + \dfrac{{20 \cdot 21 \cdot (2 \cdot 20 + 1)}}{6} = 2871$.

Ta có ${y_1} = {\sin ^2}\dfrac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\dfrac{{2\pi }}{3} = 0;{y_2} = {\sin ^2}\dfrac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\dfrac{{4\pi }}{3} = \dfrac{1}{2}.$ (loại phương án B và D) và ${y_3} = {\sin ^2}\dfrac{{3\pi }}{4} + c{\rm{os}}2\pi  = \dfrac{3}{2}.$ (loại phương án C).

Dùng MTCT chức năng CALC: ta có

${u_1} = \dfrac{1}{2};\,\,{u_2} = \dfrac{2}{{{3^2} - 1}} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4};\,\,{u_3} = \dfrac{3}{{{3^3} - 1}} = \dfrac{3}{{26}}.$

$\begin{array}{l}{y_1} = {y_2} = 1\\{y_3} = {y_2} + {y_1} = 1 + 1 = 2\\{y_4} = {y_3} + {y_2} = 2 + 1 = 3\\{y_5} = {y_4} + {y_3} = 3 + 2 = 5\end{array}$

Ta có ${u_2} = {2^2}{u_1};{u_3} = 6{u_2} = {2^2}.2.3{u_1};{u_4} = 8{u_3} = {2^3}.2.3.4{u_1}.$

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng ${u_n} = {2^{n - 1}}.n!{u_1} =  - {2^{n - 1}}.n!$

Do đó ${u_{11}} =  - {2^{10}}.11!$.

Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: ${u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}.\dfrac{{{2^3}}}{3} =  - \dfrac{8}{3}.$

Ta có

${u_2} = \dfrac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1;$$\,\,{u_3} = \dfrac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \dfrac{2}{3};\,\,$${u_4} = \dfrac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{2}{3} + 1} \right) = \dfrac{5}{9}$

Ta có: ${y_2} = 2{y_1} + {2^2} - 3.2 = 2.2 + 4 - 6 = 2$

${y_3} = 2{y_2} + {3^2} - 3.3 = 2.2 + 9 - 9 = 4$

${y_4} = 2{y_3} + {4^2} - 3.4 = 2.4 + 16 - 12 = 12$

$\Rightarrow {S_4} = 2 + 2 + 4 + 12 = 20.$

Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau:

${u_n} = \dfrac{{2n + 5}}{{5n - 4}} = \dfrac{7}{{12}} \Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28 \Leftrightarrow 11n = 88 \Leftrightarrow n = 8.$

Ta có: ${x_{n + 1}} = {\left[ {3\left( {n + 1} \right) - 1} \right]^2} = {\left( {3n + 2} \right)^2}$

Ta có ${u_1} =  - \dfrac{1}{2};{u_2} =  - \dfrac{2}{3};{u_3} =  - \dfrac{3}{4};$ ${u_4} =  - \dfrac{4}{5};{u_5} =  - \dfrac{5}{6}.$ 

Ta có ${u_1} =  - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.$

Ta có:

${u_1} =  - 2.1 =  - 2;\,\,{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.2.2 = 4,\,\,{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}2.3 =  - 6;\,\,{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}2.4 = 8$

${u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7.$

Ta có: ${x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}$

+ Ta có ${a_{n + 6}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\pi }}{3}$ $=  - 2017\sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}$

+ Ta có ${a_{n + 9}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 9} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 9} \right)\pi }}{3}$ $= 2017\cos \dfrac{{n\pi }}{2} - 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}$.

+ Ta có ${a_{n + 12}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 12} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 12} \right)\pi }}{3}$ $= 2017\sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} = {a_n}$.

+ Ta có ${a_{n + 15}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 15} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 15} \right)\pi }}{3}$ $=   -2017\cos \dfrac{{n\pi }}{2} - 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}$.

${a_n} =  - {n^2} + 4n + 11 =  - {n^2} + 4n - 4 + 15 =  - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2$

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng $15$.

Ta có: ${u_1} = \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.2 = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{2} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3} \right)\\{u_4} = {u_3} + 2.4 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)\\...\end{array}$

Dự đoán số hạng tổng quát ${u_n} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy $(*)$ đúng với $n = 2.$

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k \ge 2$ , tức là ${u_k} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)$, ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)$

Ta có: ${u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)$

Vậy $(*)$ đúng với mọi $n \ge 2$.

Mặt khác ta có $1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ $\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1$

Khi đó số hạng ${u_{50}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {\dfrac{{50.51}}{2} - 1} \right) = 2548,5$

$\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}$

Dự đoán ${x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N^*$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, $(*)$ đúng với $n = 1$.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k\ge 1),$ tức là ${x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,$ ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh ${x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$.

Ta có: ${x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi $n \in N^*$.

Vậy ${x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2},\forall n \in N^*$