Dãy số

Xét đáp án A: $1;1;1;1;1;1;...$đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.

Xét đáp án B: $1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}; - \dfrac{1}{8};\dfrac{1}{{16}};... \to {u_1} > {u_2} < {u_3} \to$loại B.

Xét đáp án C: $1;3;5;7;9;... \to {u_n} < {u_{n + 1}},n \in {\mathbb{N}^*}$

Xét đáp án D: $1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{{16}};... \to {u_1} > {u_2} > {u_3} \ldots  > {u_n} > ... \to$loại D.

Ta thấy dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.

Với dãy $\left( {{b_n}} \right)$, ta có ${b_n} = {5^n} + 1,\,\,\forall n \in N^*$, vì ${\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1$. Vì ${b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n} \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Với dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ ta có ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n} \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$là dãy số giảm.

Với dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ ta có ${d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}}.$

Xét hiệu ${d_{n + 1}} - {d_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} - \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{{n^3} + {n^2} + n + 1 - {n^3} - 2{n^2} - 2n}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\,\,\forall n \in N^*$

Vậy $\left( {{d_n}} \right)$ là dãy giảm.

Ta có ${x_{n + 1}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}}.$

Xét hiệu

$\begin{array}{l}{x_{n + 1}} - {x_n} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}} - \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}} = \dfrac{{\left( {an + a + 4} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {an + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{a{n^2} + 2an + an + 2a + 4n + 8 - a{n^2} - 3an - 4n - 12}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2a - 4}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}$

Để $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số tăng khi và chỉ khi ${x_{n + 1}} - {x_n} > 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow 2a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > 2.$

Xét thương : $\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \dfrac{{n + 2}}{2} = \dfrac{n}{2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)$ là dãy tăng.

Xét hiệu

${y_{n + 1}} - {y_n} =$ $\left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)$ $= {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1$

Vì $\left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) \ge 0\\ - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1 \end{array} \right.$ $\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1$ $\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \ge 0\,\,\forall n \ge 1$

Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để $\left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) = 0\\ - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = - 1 \end{array} \right.$

Vậy ${\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1$

$\Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}$

Do đó $\left( {{y_n}} \right)$ là dãy tăng.

Ta có :

${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{3\left( {n + 1} \right) - 1}}{{3\left( {n + 1} \right) + 7}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}$ $= \dfrac{{3n + 2}}{{3n + 10}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}$ $= \dfrac{{9{n^2} + 27n + 14 - 9{n^2} - 27n + 10}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}}$ $= \dfrac{{24}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}} > 0$

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Ta có ${u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}} = 1 - \dfrac{8}{{3n + 7}} < 1\,\,\forall n \ge 1$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi $1$.

${u_1} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$  bị chặn dưới bởi $\dfrac{1}{5}$ .

Dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ là dãy số tăng và bị chặn dưới bới ${a_1} = 4$

Dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ có $\dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}} < 1\,\,\forall n \in N^* \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)$ là dãy số bị chặn trên bởi $1$.

Dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi ${c_1} = 12$

Dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ là dãy đan dấu và ${d_{2n}} = {\left( { - 2} \right)^{2n }}= {4^n}$ lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn và ${d_{2n + 1}} = {\left( { - 2} \right)^{2n + 1}} =  - {2.4^n}$ nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.

Do đó dãy $\left( {{d_n}} \right)$ không bị chặn.

Ta có :

$\begin{array}{l}{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}\\\,{x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n}\end{array}$

- Đáp án A : $5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {18.3^n} - {20.2^n} = {x_{n + 2}} \Rightarrow$ A đúng.

- Đáp án B: $6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {16.3^n} - {35.2^n} \ne {x_{n + 2}} \Rightarrow B$ sai.

- Đáp án C : ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0 \Rightarrow C$sai.

- Đáp án D : ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0 \Rightarrow D$ sai.

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

$\begin{array}{l}{a_1} = 1\\{a_2} =  - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} + 1 = 2\\{a_3} =  - \dfrac{3}{2}.4 + \dfrac{5}{2}.2 + 1 = 0\\{a_4} =  - \dfrac{3}{2}.0 + \dfrac{5}{2}.0 + 1 = 1\\{a_5} =  - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} + 1 = 2\\{a_6} =  - \dfrac{3}{2}.4 + \dfrac{5}{2}.2 + 1 = 0\end{array}$

Ta thấy cứ sau $3$ số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán ${a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1$

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với $n = 1,{a_1} = {a_4} = 1$.

Giả sử đẳng thức đúng với $n = k$, tức là ${a_{k + 3}} = {a_k}$ , ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, tức là cần chứng minh ${a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}$

Ta có :

$\begin{array}{l}{a_{k + 4}} =  - \dfrac{3}{2}a_{k + 3}^2 + \dfrac{5}{2}{a_{k + 3}} + 1\\{a_{k + 1}} =  - \dfrac{3}{2}a_k^2 + \dfrac{5}{2}{a_k} + 1\end{array}$

Mà ${a_{k + 3}} = {a_k} \Rightarrow {a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}$, vậy ${a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1$.

Tổng quát ${a_{3n + m}} = {a_m},\forall m,n \in {N^*}$

Ta lại có $2018 = 3.672 + 2$.

Từ đó ta suy ra ${a_{2018}} = {a_{3.672+2}}={a_{2}}$

${u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2}$

Ta có: ${u_n} = \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)$

Tương tự ta có ${u_n} - {u_{n - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)$

Tiếp tục như vậy ta được:

$\begin{array}{l} {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\\ {u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\\ {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} = \frac{1}{2}\left( {{u_{n - 2}} - {u_{n - 3}}} \right)\\ ...\\ {u_4} - {u_3} = \frac{1}{2}\left( {{u_3} - {u_2}} \right)\\ {u_3} - {u_2} = \frac{1}{2}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\\ \Rightarrow \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)...\left( {{u_4} - {u_3}} \right)\left( {{u_3} - {u_2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right).\frac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right).\frac{1}{2}\left( {{u_{n - 2}} - {u_{n - 3}}} \right)...\frac{1}{2}\left( {{u_3} - {u_2}} \right).\frac{1}{2}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\\ \Rightarrow \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\left( {{u_2} - {u_1}} \right) \end{array}$

Ta có:  ${u_1} = 2{u_2} - 1 \Rightarrow {u_2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}.\left( {\dfrac{3}{2} - 2} \right) =  - \dfrac{1}{{{2^n}}} < 0$ $\Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

${u_{n + 1}} - {u_n} =  - \dfrac{1}{{{2^n}}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}$ .

Mà ${u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1$$\Rightarrow {u_n} = 2\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right) - 1$$\Leftrightarrow {u_n} = 2{u_n} - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} - 1 \Leftrightarrow {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} < 1 + 1 = 2$

$\Rightarrow 1 < {u_n} < 2$

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \sqrt {2 + u_n^2}  \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2 = u_{n - 1}^2 + 2 + 2 = ... = u_1^2 + 2n = 1 + 2n\\ \Leftrightarrow u_n^2 = 1 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n - 1\end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l}{S_{2018}} = \sum\limits_{n = 1}^{2018} {\left( {2n - 1} \right)}  = 2\sum\limits_{n = 1}^{2018} n  - \sum\limits_{n = 1}^{2018} 1  = 2\left( {1 + 2 + ... + 2018} \right) - 2018\\ = 2\dfrac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2} - 2018 = {2018^2} + 2018 - 2018 = {2018^2}\end{array}$

Dễ dàng chỉ ra được ${u_n} \ge 0\,\,\forall n \ge 1$

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \dfrac{1}{{{u_n}}} + 2n + 2\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_n}}} = \dfrac{1}{{{u_{n - 1}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 = \dfrac{1}{{{u_{n - 2}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 + 2\left( {n - 2} \right) + 2 = ... = \dfrac{1}{{{u_1}}} + 2\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) + 2\left( {n - 1} \right)\\ = 2 + 2\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 2n - 2 = {n^2} + n\\ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + n}} = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = 1 - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{n}{{n + 1}} < \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Rightarrow 2018n < 2017n + 2017 \Leftrightarrow n < 2017.\end{array}$

Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là $n = 2016$.

Ta có ${u_n} = \dfrac{{2{n^2} + 5n - 3}}{{n + 1}} = 2n + 3 - \dfrac{6}{{n + 1}}$.

Do đó ${u_n}$ nguyên khi và chỉ khi $\dfrac{6}{{n + 1}}$ nguyên hay $n + 1$ là ước của 6 .

Suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n + 1 = 1}\\{n + 1 = 2}\\{n + 1 = 3}\\{n + 1 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 0(l)}\\{n = 1}\\{n = 2}\\{n = 5}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy các số hạng nguyên của dãy số là ${u_1};{u_2};{u_5}$ nên dãy số có 3 số hạng nhận giá trị nguyên