Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho:
a) Nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);
b) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\). Chứng minh \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\). Chứng minh \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)
\({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)
Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)
\({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
