Đề bài
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:
a) →EA+→EB+→EC+→ED=4→EG
b) →EA=4→EG
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và →AG=34→AE
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) M là trung điểm của AB thì →MA+→MB=→0 và →GA+→GB=2→GM với mọi G.
+) E là trọng tâm tam giác BCD thì →EB+→EC+→ED=→0
Lời giải chi tiết
a) Ta có: →EA+→EB+→EC+→ED=4→EG+→GA+→GB+→GC+→GD
Mà: →GA+→GB=2→GM;→GC+→GD=2→GN (do M, N là trung điểm của AB, CD)
⇒→EA+→EB+→EC+→ED=4→EG+2(→GM+→GN)=4→EG (do G là trung điểm của MN)
b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên →EB+→EC+→ED=→0
Từ ý a ta suy ra →EA=4→EG
c) Ta có: →EA=4→EG⇔→EA=4.(→EA+→AG)⇔−3→EA=4→AG
⇔3→AE=4→AG hay →AG=34→AE
