Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

154 lượt xem

Đề bài

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) $A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$

b) $B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}$

c) $C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}$

d) $D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$

e) $E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm $\cos {0^o};\cos {120^o}$ dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính $\cos {140^o}$ theo $\cos {40^o}$ dựa vào công thức: $\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tìm $\sin {150^o};\sin {180^o}$ dựa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bước 2: Tính $\sin {175^o}$ theo $\sin {5^o}$ dựa vào công thức: $\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tính $\sin {75^o}$ theo $\cos {15^o}$ dựa vào công thức: $\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)$

Bước 2: Tính $\sin {55^o}$ theo $\cos {35^o}$ dựa vào công thức: $\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tính $\tan {115^o}$ theo $\tan {65^o}$ dựa vào công thức: $\tan \alpha = - \tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$

Bước 2: Tính $\tan {65^o}$ theo $\cot {25^o}$ dựa vào công thức: $\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Bước 1: Tính $\cot {100^o}$ theo $\cot {80^o}$ dựa vào công thức: $\cot \alpha = - \cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)$

Bước 2: Tính $\cot {80^o}$ theo $\tan {10^o}$ dựa vào công thức: $\cot \alpha = \tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)$

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) $A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos {0^o} = 1;\;\cos {120^o} = - \frac{1}{2}$

Lại có: $\cos {140^o} = - \cos \left( {{{180}^o} - {{40}^o}} \right) = - \cos {40^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 1 + \cos {40^o} + \left( { - \frac{1}{2}} \right) - \cos {40^o}\\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2}.\end{array}$

b) $B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {150^o} = \frac{1}{2};\;\sin {180^o} = 0$

Lại có: $\sin {175^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{175}^o}} \right) = \sin {5^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \sin {5^o} + \frac{1}{2} - \sin {5^o} + 0\\ \Leftrightarrow B = \frac{1}{2}.\end{array}$

c) $C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}$

Ta có: $\sin {75^o} = \sin \left( {{{90}^o} - {{75}^o}} \right) = \cos {15^o}$ ; $\sin {55^o} = \sin \left( {{{90}^o} - {{55}^o}} \right) = \cos {35^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \cos {15^o} - \cos {35^o}\\ \Leftrightarrow C = 0.\end{array}$

d) $D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$

Ta có: $\tan {115^o} = - \tan \left( {{{180}^o} - {{115}^o}} \right) = - \tan {65^o}$

Mà: $\tan {65^o} = \cot \left( {{{90}^o} - {{65}^o}} \right) = \cot {25^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\cot {25^o}\\ \Leftrightarrow D = \tan {45^o} = 1\end{array}$

e) $E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$

Ta có: $\cot {100^o} = - \cot \left( {{{180}^o} - {{100}^o}} \right) = - \cot {80^o}$

Mà: $\cot {80^o} = \tan \left( {{{90}^o} - {{80}^o}} \right) = \tan {10^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\tan {10^o}\\ \Leftrightarrow E = \cot {30^o} = \sqrt 3 .\end{array}$

SGK Toán - Cánh diều