Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2+2=0, với m là tham số. Khi phương trình có hai nghiệm x1,x2 thì biểu thứ P=x1x2−2(x1+x2)−6 có giá trị nhỏ nhất là:
Ta có Δ′=(m+1)2−(m2+2)=2m−1
Để phương trình có hai nghiệm ⇔Δ′≥0⇔m≥12 (*). Theo định lý Viet ta có: x1+x2=2m+2 và x1x2=m2+2. Ta có P=x1x2−2(x1+x2)−6=m2+2−2(2m+2)−6=m2−4m−8=(m−2)2−12≥−12.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=2 thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy với m=2 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng −12.
Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2−(3a−1)x−2=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=32(x1−x2)2+2(x1−x22+1x1−1x2)2
Ta có:Δ=(3a−1)2+16>0⇒Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet thì:x1+x2=3a−12;x1x2=−1. Ta có P=32(x1−x2)2+2[x1x2(x1−x2)−2(x1−x2)2x1x2]2=6(x1−x2)2=6[(x1+x2)2−4x1x2]=6[(3a−1)24+4]≥24 . Đẳng thức xảy ra khi 3a−1=0⇔a=13.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 24.
Giả sử phương trình x2+ax+b=0 có 2 nghiệm lớn hơn 1. Chọn câu đúng.
Theo định lý Vi et ta có: {x1+x2=−ax1.x2=b. Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : x11+x1+x21+x2≥2√x1x21+√x1x2. Hay x11+x2+1+x21+x1+1≥2√x1x21+√x1x2+2 (x1+x2+1)(11+x1+11+x2)≥2(1+2√x1x2)1+√x1x2.
Theo bất đẳng thức Cô si ta có: x1+x2+1≥2√x1x2+1. Để chứng minh (∗) ta quy về chứng minh: 11+x1+11+x2≥21+√x1x2 với x1,x2>1.
Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với (√x1x2−1)(√x1−√x2)2≥0( Điều này là hiển nhiên đúng). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1=x2⇔a2=4b.
Giả sử phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 có hai nghiệm thuộc [0;3].Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=18a2−9ab+b29a2−3ab+ac.
Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên a≠0. Biểu thức Q có dạng đẳng cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q cho a2 thì Q=18−9ba+(ba)29−ba+ca .
Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-et ta có:{x1+x2=−bax1x2=ca.
Vậy: Q=18−9ba+(ba)29−ba+ca=18+9(x1+x2)+(x1+x2)29+3(x1+x2)+x1x2
Ta đánh giá (x1+x2)2 qua x1x2 với điều kiện x1,x2∈[0;3].
Giả sử 0≤x1≤x2≤3⇒{x21≤x1x2x22≤9⇒(x1+x2)2=x21+x22+2x1x2≤9+3x1x2⇒Q≤18+9(x1+x2)+3x1x2+99+3(x1+x2)+x1x2=3.
Đẳng thức xảy ra ⇔[x1=x2=3x1=0;x2=3hay{−ba=6ca=9⇔{b=−6ac=9a hoặc {−ba=3ca=0⇔{b=−3ac=0 .
Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3.
Cho phương trình: (m−1)x2−2(2m−3)x−5m+25=0(m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ.
Phương trình: (m−1)x2−2(2m−3)x−5m+25=0 (3)
Có Δ′=[−(2m−3)]2−(m−1)(−5)(m−5)=9m2−42m+34=(3m−7)2−15
(3) có nghiệm hữu tỉ với m∈Zkhi và chỉ khi Δ′chính phương, suy ra: (3m−7)2−15=n2(n∈Z)
⇔(3m−−7−−n)(3m−−7+n)=15 (m,n∈Z) (4)
Phương trình (4) tương đương với 8 hệ phương trình:
{3m−7−n=−153m−7+n=−1 (4.1), {3m−7−n=−13m−7+n=−15 (4.2), {3m−7−n=−53m−7+n=−3 (4.3), {3m−7−n=−33m−7+n=−5 (4.4)
{3m−7−n=153m−7+n=1 (4.5), {3m−7−n=13m−7+n=15 (4.6) {3m−7−n=33m−7+n=5 (4.7), {3m−7−n=53m−7+n=3 (4.8)
Giải 8 hệ trên, suy ra hệ phương trình (3) có nghiệm hữu tỉ khi: m=1 hoặc m=5.
Cho phương trình x2−(m+1)x−3=0 (1), với x là ẩn, m là tham số. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt B=3x21+3x22+4x1+4x2−5x21+x22−4. Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất.
Phương trình {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 3 = 0 (1)
+ Nhận xét \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} + 12 > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}. Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt {x_1},{x_2}
+ Theo hệ thức Viet ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right..
Ta có B = \dfrac{{3x_1^2 + 3x_2^2 + 4{x_1} + 4{x_2} - 5}}{{x_1^2 + x_2^2 - 4}} = \dfrac{{3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5}}{{x_1^2 + x_2^2 - 4}}
= \dfrac{{3\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 4}} = \dfrac{{3\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 6} \right] + 4\left( {m + 1} \right) - 5}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 6 - 4}} = \dfrac{{3{m^2} + 10m + 20}}{{{m^2} + 2m + 3}}
Nên B = \dfrac{{3{m^2} + 10m + 20}}{{{m^2} + 2m + 3}}.
\Leftrightarrow \left( {B - 3} \right){m^2} + 2\left( {B - 5} \right)m + 3B - 20 = 0 (*)
+ Nếu B = 3 thì m = - \dfrac{{11}}{4}.
+ Nếu B \ne 3 thì (*) là phương trình bậc hai ẩn m. Phương trình (*) có nghiệm m khi và chỉ khi \Delta ' \ge 0
hay {\left( {B - 5} \right)^2} - \left( {B - 3} \right)\left( {3B - 20} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2{B^2} - 19B + 35 \le 0\left( {2B - 5} \right)\left( {B - 7} \right) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2} \le B \le 7
Với B=7 thì thay vào (*) ta có 4m^2+4m+1=0 \Leftrightarrow (2m+1)^2=0\Leftrightarrow m= - \dfrac{1}{2}.
Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7 khi m = - \dfrac{1}{2}.
