Câu hỏi:
2 năm trước
Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình: $2{x^2} - \left( {3a - 1} \right)x - 2 = 0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \dfrac{3}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 2{\left( {\dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{2} + \dfrac{1}{{{x_1}}} - \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)^2}$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có:$\Delta = {\left( {3a - 1} \right)^2} + 16 > 0 \Rightarrow $Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet thì:${x_1} + {x_2} = \dfrac{{3a - 1}}{2};{x_1}{x_2} = - 1$. Ta có $P = \dfrac{3}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 2{\left[ {\dfrac{{{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{2{x_1}{x_2}}}} \right]^2} = 6{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}$$ = 6\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 6\left[ {\dfrac{{{{\left( {3a - 1} \right)}^2}}}{4} + 4} \right] \ge 24$ . Đẳng thức xảy ra khi $3a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(24.\)
Hướng dẫn giải:
+ Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt
+ Biến đổi $P = \dfrac{3}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 2{\left( {\dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{2} + \dfrac{1}{{{x_1}}} - \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)^2}$ để sử dụng hệ thức Vi-et đưa về biểu thức ẩn \(m\) để lập luận.
Câu hỏi khác
- Bài tập hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 toán 9 có lời giải
- Bài tập hệ thức vi-ét và ứng dụng toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm toán 9 có lời giải
- Bài tập công thức nghiệm thu gọn toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai toán 9 có lời giải
