Giả sử phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm thuộc $\left[ {0;3} \right].$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  $Q = \dfrac{{18{a^2} - 9ab + {b^2}}}{{9{a^2} - 3ab + ac}}$.

Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên \(a \ne 0\). Biểu thức \(Q\) có dạng đẳng cấp bậc 2 ta chia cả tử và mẫu của Q cho ${a^2}$ thì $Q = \dfrac{{18 - 9\dfrac{b}{a} + {{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}}}$ .

Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-et ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$.             

Vậy: $Q = \dfrac{{18 - 9\dfrac{b}{a} + {{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a}}} = \dfrac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}}$

 Ta đánh giá ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}$ qua ${x_1}{x_2}$ với điều kiện ${x_1},{x_2} \in \left[ {0;3} \right]$.            

Giả sử $0 \le {x_1} \le {x_2} \le 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 \le {x_1}{x_2}\\x_2^2 \le 9\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} \le 9 + 3{x_1}{x_2}$$ \Rightarrow Q \le \dfrac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} + 9}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} = 3$.                                                                                   

Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} = 3\\{x_1} = 0;{x_2} = 3\end{array} \right.$hay$\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{a} = 6\\\dfrac{c}{a} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 6a\\c = 9a\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{a} = 3\\\dfrac{c}{a} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3a\\c = 0\end{array} \right.$  .

Vậy giá trị lớn nhất của \(Q\)  là \(3.\)