Cho phương trình: $(m - 1){x^2} - 2(2m - 3)x - 5m + 25 = 0$(m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của \(m\)  là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ.

Phương trình: $(m - 1){x^2} - 2(2m - 3)x - 5m + 25 = 0$      (3)

Có $\Delta ' = {\left[ { - (2m - 3)} \right]^2} - (m - 1)( - 5)(m - 5) = 9{m^2} - 42m + 34 = {(3m - 7)^2} - 15$

(3) có nghiệm hữu tỉ với $m \in \mathbb{Z}$khi và chỉ khi $\Delta '$chính phương, suy ra: ${(3m - 7)^2} - 15 = {n^2}\,\,(n \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow $$\left( {3m--7--n} \right)\left( {3m--7 + n} \right) = 15$ $(m,\,n \in \mathbb{Z}$)        (4)

Phương trình (4) tương đương với 8 hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n =  - 15\\3m - 7 + n =  - 1\end{array} \right.$  (4.1),      $\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n =  - 1\\3m - 7 + n =  - 15\end{array} \right.$  (4.2),       $\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n =  - 5\\3m - 7 + n =  - 3\end{array} \right.$  (4.3),      $\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n =  - 3\\3m - 7 + n =  - 5\end{array} \right.$   (4.4)

$\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n = 15\\3m - 7 + n = 1\end{array} \right.$     (4.5),      $\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n = 1\\3m - 7 + n = 15\end{array} \right.$     (4.6)        $\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n = 3\\3m - 7 + n = 5\end{array} \right.$    (4.7),       $\left\{ \begin{array}{l}3m - 7 - n = 5\\3m - 7 + n = 3\end{array} \right.$    (4.8)

Giải 8 hệ trên, suy ra hệ phương trình (3) có nghiệm hữu tỉ khi: \(m = 1\)  hoặc \(m = 5.\)