Giả sử phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) có 2 nghiệm lớn hơn 1. Chọn câu đúng.

Theo định lý Vi et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - a\\{x_1}.{x_2} = b\end{array} \right.\). Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : \(\dfrac{{{x_1}}}{{1 + {x_1}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{1 + {x_2}}} \ge \dfrac{{2\sqrt {{x_1}{x_2}} }}{{1 + \sqrt {{x_1}{x_2}} }}\).  Hay \(\dfrac{{{x_1}}}{{1 + {x_2}}} + 1 + \dfrac{{{x_2}}}{{1 + {x_1}}} + 1 \ge \dfrac{{2\sqrt {{x_1}{x_2}} }}{{1 + \sqrt {{x_1}{x_2}} }} + 2\) \(\left( {{x_1} + {x_2} + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{1 + {x_1}}} + \dfrac{1}{{1 + {x_2}}}} \right) \ge \dfrac{{2\left( {1 + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{{1 + \sqrt {{x_1}{x_2}} }}\).

Theo bất đẳng thức Cô si ta có: \({x_1} + {x_2} + 1 \ge 2\sqrt {{x_1}{x_2}}  + 1\). Để chứng minh \(\left( * \right)\) ta quy về chứng minh: \(\dfrac{1}{{1 + {x_1}}} + \dfrac{1}{{1 + {x_2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {{x_1}{x_2}} }}\) với \({x_1},{x_2} > 1\).

Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với \(\left( {\sqrt {{x_1}{x_2}}  - 1} \right){\left( {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right)^2} \ge 0\)( Điều này là hiển nhiên đúng). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} \Leftrightarrow {a^2} = 4b\).