$\left \{ {{x+my=m+1} \atop {mx+y=2m}} \right.$ a,Giải hpt khi m=2. b,Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x ≥2,y ≥ 1

Đáp án+ Giải thích các bước giải:

  `{(x + my = m + 1.         (1)),(mx + y = 2m.           (2)):}`

`a, Thay: m = 2`. Ta có HPT:

`{(x + 2y = 2+1),(2x + y = 2.2):}`
`<=> {(x + 2y = 3),(2x + y =4):}`
`<=> {(2x + 4y = 6),(2x + y = 4):}`
`<=> {(3y = 2),(x +2y =3):}`
`<=> {(y = 2/3),(x = 5/3 ):}`
Vậy: với $m = 2$ thì HPT có nghiệm `(x;y) = ( 5/3 ; 2/3 )`

`b,` Từ pt (2) `-> y = 2m - mx` thế vào pt (1). Ta có:

`-> x + m(2m -mx) = m + 1`

`<=> x + 2m^2 - m^2 x = m + 1`

`<=> x - m^2 x = m + 1 -2m^2`
`<=> x(1 - m^2 ) = -2m^2 + m +1` (3)

Để HPT có nghiệm duy nhất `<=>`pt (3) có nghiệm duy nhất:

`-> 1 - m^2 \ne 0 <=> m \ne +- 1`

Từ pt(3) `-> x = {-2m^2 + m + 1}/{1 - m^2} = {-2m^2 +2m - m +1}/{(1-m)(1+m)}`

                        `= {-2m(m -1) -(m-1)}/{(1-m)(1+m)}`
                        `= {-(2m +1)(m -1)}/{(1-m)(1+m)} = {(2m +1)(1-m)}/{(1-m)(1+m)}`
                        `= {2m +1}/{1 + m}`
                `-> y = 2m - m . {2m +1}/{1 +m} = {2m(1+m) - m(2m +1)}/{1 + m}`
                        `= {2m + 2m^2 - 2m^2 - m}/{1 + m} = m/{1 + m}`
Để: `x \ge 2 => x = {2m +1}/{1+m} \ge 2`

                    `=> {2m +1}/{1 + m} - 2 \ge 0 => {2m + 1 -2(1+m)}/{1 + m} \ge 0`

                    `=> {2m + 1 - 2 -2m}/{1 + m} \ge 0 => {-1}/{1 + m} \ge 0`

`=> 1 + m \le 0 ( -1 < 0) => m \le 1`

Để : `y \ge 1 => y = m/{1 + m} \ge 1   => m/{1 + m} - 1 \ge 0`

                    `=> {m - 1 - m}/{1 + m} \ge 0 => {-1}/{1 + m} \ge 0   => m \le 1`

Vậy: `AA m \le 1` thì HPT có nghiệm duy nhất `(x;y) = ( {2m+1}/{1 +m} ; m/{1+m} )` thỏa mãn `x \ge 2; y \ge 1`