Phương trình: \(\left( {4 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) có nghiệm là:
Ta có \(\left( {4 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 2x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\x = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 2\) .
Các nghiệm của phương trình \(\left( {2 - 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\) là:
Ta có: \(\left( {2 - 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 6x = 0\\ - {x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2\\{x^2} = - 4 < 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{1}{3}\).
Phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\) có số nghiệm là:
Ta có \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có bốn nghiệm \(x = - 1\), \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = 3\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} - 16} \right) = 0\) là:
Ta có \(\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} - 16} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4 = 0\\x + 6 = 0\\{x^2} - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 4\left( {VN} \right)\\x = - 6\\{x^2} = 16\end{array} \right.\)
Tổng các nghiệm của phương trình là \( - 6 + \left( { - 4} \right) + 4 = - 6\).
Cho phương trình \(5 - 6\left( {2x - 3} \right) = x\left( {3 - 2x} \right) + 5\). Chọn khẳng định đúng.
Ta có \(5 - 6\left( {2x - 3} \right) = x\left( {3 - 2x} \right) + 5\)
\( \Leftrightarrow 5 - 5 = x\left( {3 - 2x} \right) + 6\left( {2x - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow 0 = - x\left( {2x - 3} \right) + 6\left( {2x - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( { - x + 6} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 0\\ - x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 3\\ - x = - 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\x = 6\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương \(x = \dfrac{3}{2};x = 6\).
Tích các nghiệm của phương trình \({x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0\) là
Ta có:
\({x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ {1; - 1;3} \right\}\) nên tích các nghiệm là \(1.\left( { - 1} \right).3 = - 3\).
Số nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x + 3} \right)\) là
Ta có \(\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 1 - x - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 9} \right).\left( { - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 9\) (vô nghiệm).
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \emptyset \) hay phương trình không có nghiệm.
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \({\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right)^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)^2}\) là
\({\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right)^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right)^2} - {\left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right) - \left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)} \right]\left[ {\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right) + \left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ { - \dfrac{1}{2}x + 1 - \dfrac{3}{2}x + 1} \right].\left[ { - \dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{3}{2}x - 1} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left( { - 2x + 2} \right).x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x + 2 = 0\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).
Nghiệm nhỏ nhất là \(x = 0\) .
Tập nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 3\) là
Đặt \({x^2} - x = y,\) ta có:
\(\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 3\) \( \Leftrightarrow {y^2} - 1 = 3\) \( \Leftrightarrow {y^2} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 2\)
Với \(y = 2\) ta có: \({x^2} - x = 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)
Với \(y = - 2\) ta có: \({x^2} - x = - 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{7}{4} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} = 0\) vô nghiệm vì \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\)
Tìm \(m\) để phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} - 7 = 0\) nhận \(x = - 3\) làm nghiệm.
Thay \(x = - 3\) vào phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} - 7 = 0\) ta được:
\(\left( {2m - 5} \right).\left( { - 3} \right) - 2{m^2} - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow - 6m + 15 - 2{m^2} - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow - 2{m^2} - 6m + 8 = 0\) \( \Leftrightarrow - 2{m^2} - 8m + 2m + 8 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 2m\left( {m + 4} \right) + 2\left( {m + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {m + 4} \right)\left( { - 2m + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 4 = 0\\ - 2m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 4\) thì phương trình có nghiệm \(x = - 3\).
Số nghiệm của phương trình \({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^3} = {\left( {3{x^2} + 10x - 6} \right)^3}\) là:
\({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^3} = {\left( {3{x^2} + 10x - 6} \right)^3}\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 2x + 10 = 3{x^2} + 10x - 6\) \( \Leftrightarrow 5{x^2} - 3{x^2} - 2x - 10x + 10 + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 16 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 2x + 8 = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) - 2\left( {x - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có \(2\) nghiệm.
Biết rằng phương trình \({\left( {4{x^2} - 1} \right)^2} = 8x + 1\) có nghiệm lớn nhất là \({x_0}\). Chọn khẳng định đúng.
Cộng \(16{x^2}\) vào hai vế ta được:
\({\left( {4{x^2} - 1} \right)^2} + 16{x^2} = 16{x^2} + 8x + 1\)\( \Leftrightarrow 16{x^4} - 8{x^2} + 1 + 16{x^2} = 16{x^2} + 8x + 1\) \( \Leftrightarrow 16{x^4} + 8{x^2} + 1 = 16{x^2} + 8x + 1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {4{x^2} + 1} \right)^2} = {\left( {4x + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 1 + 4x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1 - 4x - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 4x + 2} \right)\left( {4{x^2} - 4x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^2} + 4x + 2 = 0\\4{x^2} - 4x = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + 1 = 0\\4x\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2x + 1} \right)^2} + 1 = 0\left( {VN} \right)\\x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ {0;1} \right\}\), nghiệm lớn nhất là \({x_0} = 1 < 2\).
Cho phương trình \({x^4} - 8{x^2} + 16 = 0\). Chọn khẳng định đúng.
Ta có: \({x^4} - 8{x^2} + 16 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2}} \right)^2} - 2.4.{x^2} + {4^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt đối nhau.
Phương trình: \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có nghiệm là:
Ta có \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 + 2x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - 4\\x = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1;\,x = - 2\) .
Các nghiệm của phương trình \(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\) là:
Ta có
\(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 6x = 0\\ - {x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = - 2\\ - {x^2} = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{3}\\{x^2} = - 4\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{1}{3}\) .
Phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\) có số nghiệm là:
Ta có \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có ba nghiệm \(x = 1\) ; \(x = 2\) ; \(x = 3\) .
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\) là:
Ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x + 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right.\)
Tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right) + 8 = 2\) .
Chọn khẳng định đúng.
Ta có \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương \(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}\) .
Tích các nghiệm của phương trình \({x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\) là
Ta có
$\begin{array}{l}\,{x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 5{x^2} - 5x + 6x - 6 = 0\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3x + 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.\end{array}$
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy $S = \left\{ {1; - 2; - 3} \right\}$ nên tích các nghiệm là \(1.\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 6\) .
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là
Ta có \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1 - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ { - 1;1;4} \right\}\) .
Nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 4.\)
