Phương trình tích

Ta có $\left( {4 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 2x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\x = - 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = - 1;\,x = 2$ .

Ta có: $\left( {2 - 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 6x = 0\\ - {x^2} - 4 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2\\{x^2} = - 4 < 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{3}$.

Ta có $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có bốn nghiệm $x = - 1$, $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$.

Ta có $\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} - 16} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4 = 0\\x + 6 = 0\\{x^2} - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 4\left( {VN} \right)\\x = - 6\\{x^2} = 16\end{array} \right.$

Tổng các nghiệm của phương trình là $- 6 + \left( { - 4} \right) + 4 = - 6$.

Ta có $5 - 6\left( {2x - 3} \right) = x\left( {3 - 2x} \right) + 5$

$\Leftrightarrow 5 - 5 = x\left( {3 - 2x} \right) + 6\left( {2x - 3} \right)$ $\Leftrightarrow 0 = - x\left( {2x - 3} \right) + 6\left( {2x - 3} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( { - x + 6} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 0\\ - x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 3\\ - x = - 6\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\x = 6\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương $x = \dfrac{3}{2};x = 6$.

Ta có:

${x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {1; - 1;3} \right\}$ nên tích các nghiệm là $1.\left( { - 1} \right).3 = - 3$.

Ta có $\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x + 3} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 1 - x - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 9} \right).\left( { - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 9$ (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \emptyset$ hay phương trình không có nghiệm.

${\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right)^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)^2}$$\Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right)^2} - {\left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)^2} = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right) - \left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)} \right]\left[ {\left( { - \dfrac{1}{2}x + 1} \right) + \left( {\dfrac{3}{2}x - 1} \right)} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ { - \dfrac{1}{2}x + 1 - \dfrac{3}{2}x + 1} \right].\left[ { - \dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{3}{2}x - 1} \right] = 0$ $\Leftrightarrow \left( { - 2x + 2} \right).x = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x + 2 = 0\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {0;1} \right\}$.

Nghiệm nhỏ nhất là $x = 0$ .

Đặt ${x^2} - x = y,$ ta có:

$\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 3$ $\Leftrightarrow {y^2} - 1 = 3$ $\Leftrightarrow {y^2} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 2$

Với $y = 2$ ta có: ${x^2} - x = 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.$

Với $y = - 2$ ta có: ${x^2} - x = - 2$ $\Leftrightarrow {x^2} - x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{7}{4} = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} = 0$ vô nghiệm vì ${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 1;2} \right\}$

Thay $x = - 3$ vào phương trình $\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} - 7 = 0$ ta được:

$\left( {2m - 5} \right).\left( { - 3} \right) - 2{m^2} - 7 = 0$ $\Leftrightarrow - 6m + 15 - 2{m^2} - 7 = 0$ $\Leftrightarrow - 2{m^2} - 6m + 8 = 0$ $\Leftrightarrow - 2{m^2} - 8m + 2m + 8 = 0$

$\Leftrightarrow - 2m\left( {m + 4} \right) + 2\left( {m + 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {m + 4} \right)\left( { - 2m + 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 4 = 0\\ - 2m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 1\end{array} \right.$

Vậy $m = 1$ hoặc $m = - 4$ thì phương trình có nghiệm $x = - 3$.

${\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^3} = {\left( {3{x^2} + 10x - 6} \right)^3}$$\Leftrightarrow 5{x^2} - 2x + 10 = 3{x^2} + 10x - 6$ $\Leftrightarrow 5{x^2} - 3{x^2} - 2x - 10x + 10 + 6 = 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 16 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 2x + 8 = 0$ $\Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) - 2\left( {x - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm.

Cộng $16{x^2}$ vào hai vế ta được:

${\left( {4{x^2} - 1} \right)^2} + 16{x^2} = 16{x^2} + 8x + 1$$\Leftrightarrow 16{x^4} - 8{x^2} + 1 + 16{x^2} = 16{x^2} + 8x + 1$ $\Leftrightarrow 16{x^4} + 8{x^2} + 1 = 16{x^2} + 8x + 1$

$\Leftrightarrow {\left( {4{x^2} + 1} \right)^2} = {\left( {4x + 1} \right)^2}$ $\Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 1 + 4x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1 - 4x - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 4x + 2} \right)\left( {4{x^2} - 4x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^2} + 4x + 2 = 0\\4{x^2} - 4x = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + 1 = 0\\4x\left( {x - 1} \right) = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2x + 1} \right)^2} + 1 = 0\left( {VN} \right)\\x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {0;1} \right\}$, nghiệm lớn nhất là ${x_0} = 1 < 2$.

Ta có: ${x^4} - 8{x^2} + 16 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {{x^2}} \right)^2} - 2.4.{x^2} + {4^2} = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt đối nhau.

Ta có $\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 + 2x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - 4\\x = 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1;\,x =  - 2$ .

Ta có

$\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 6x = 0\\ - {x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x =  - 2\\ - {x^2} = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{3}\\{x^2} =  - 4\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - \dfrac{1}{3}$ .

Ta có $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có ba nghiệm $x = 1$ ; $x = 2$ ; $x = 3$ .

Ta có $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x + 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\x =  - 6\\x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\\x =  - 6\\x = 8\end{array} \right.$

Tổng các nghiệm của phương trình là $2 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right) + 8 = 2$ .

Ta có $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương $x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}$ .

Ta có

$\begin{array}{l}\,{x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 5{x^2} - 5x + 6x - 6 = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3x + 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\\x =  - 3\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {1; - 2; - 3} \right\}$ nên tích các nghiệm là $1.\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 6$ .

Ta có $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1 - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ { - 1;1;4} \right\}$ .

Nghiệm lớn nhất của phương trình là $x = 4.$