Hình chóp đều, hình chóp cụt đều

Hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng nhau và các cạnh đáy bằng nhau nên mặt bên là những tam giác cân.

Hình ngũ giác đều có \(5\) mặt bên và 1 mặt đáy nên có tất cả \(6\) mặt.

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

\(V = \dfrac{1}{3}S.h\) nên \(S = \dfrac{{3V}}{h}\)

Chu vi đáy bằng: \(48.4 = 192\left( {cm} \right)\)

\({S_{xq}} = p.d = \dfrac{{192}}{2}.10 = 960\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy bằng: \(48.48 = 2304\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích toàn phần: \(960 + 2304 = 3264\left( {c{m^2}} \right)\)

Xét hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đường cao

\(SH = 10cm\), cạnh \(AB = 48cm\)

Gọi \(SI\) là đường cao của \(\Delta SBC\). Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(BI = IC\). Ta có: \(HI\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)nên \(HI = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{48}}{2} = 24\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(SHI\). Ta có: \(S{I^2} = S{H^2} + H{I^2} = {10^2} + {24^2} = 676 = {26^2}\).

Nên \(SI = 26\left( {cm} \right)\).

Xét hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đường cao

\(SH = 10cm\), cạnh \(AB = 48cm\)

Gọi \(SI\) là đường cao của \(\Delta SBC\). Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(BI = IC\). Ta có: \(HI\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)nên \(HI = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{48}}{2} = 24\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(SHI\). Ta có: \(S{I^2} = S{H^2} + H{I^2} = {10^2} + {24^2} = 676 = {26^2}\).

Nên \(SI = 26\left( {cm} \right)\).

Xét hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có: \(V = 64c{m^3}\), chiều cao $h=12cm$.

Ta có: \(V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h \Rightarrow \) \({S_d} = \dfrac{{3V}}{{SH}} = \dfrac{{3.64}}{{12}} = 16\left( {c{m^2}} \right)\)

Tức là \(B{C^2} = 16 \Rightarrow BC = 4\)

Vậy độ dài cạnh đáy là \(4\,cm\).

Đáy của chóp tứ giác đều là hình vuông nên diện tích đáy là: \(S = {5^2} = 25\,c{m^2}\).

Thể tích cần tìm là: \(V = \dfrac{1}{3}.9.25 = 75\,c{m^3}\).

Mặt bên hình chóp cụt tứ giác đều là hình thang cân nên diện tích một mặt bên bằng \(\dfrac{{\left( {10 + 15} \right).12}}{2} = 150\,(c{m^2})\).

Hình chóp cụt tứ giác đều có \(4\)mặt bên bằng nhau nên diện tích xung quanh bằng \(150.4 = 600\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét tam giác \(SAB\) và \(CAB\) là hai tam giác đều có cạnh bằng nhau nên \(SM = CM\).

\( \Rightarrow SM = CM = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\) cm

\({S_{xq}} = pd = \dfrac{{9.3}}{2}.\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2} \approx 105,2\left( {c{m^2}} \right)\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(CH\) và \(AB\) ta có: \(CM \bot AB\) và \(AM = MB\).

Vì \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(CM = \dfrac{3}{2}CH = \dfrac{3}{2}.3\sqrt 3  = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}(cm)\)

Đặt \(AB = BC = x\), ta có: \(B{C^2} - M{B^2} = C{M^2}\) (định lý Pytago cho \(\Delta MBC\)) nên

\({x^2} - {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{4} = \dfrac{{243}}{4} \Leftrightarrow {x^2} = 81 \Leftrightarrow x = 9\)

Vậy các cạnh của hình chóp có độ dài là \(9cm\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(CH\) và \(AB\) ta có: \(CM \bot AB\) và \(AM = MB\).

Vì \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(CM = \dfrac{3}{2}CH = \dfrac{3}{2}.3\sqrt 3  = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}(cm)\)

Đặt \(AB = BC = x\), ta có: \(B{C^2} - M{B^2} = C{M^2}\) (định lý Pytago cho \(\Delta MBC\)) nên

\({x^2} - {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}}}{4} = \dfrac{{243}}{4} \Leftrightarrow {x^2} = 81 \Leftrightarrow x = 9\)

Vậy các cạnh của hình chóp có độ dài là \(9cm\).

Diện tích đáy: \({S_{ABCD}} = {6^2} = 36\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét tam giác \(ABC\) có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {6^2} + {6^2} = 72\) \( \Rightarrow AC \approx 8,5\)\( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = 4,25\)

Tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\) có: \(S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\) \( \Leftrightarrow {6^2} = S{O^2} + 4,{25^2}\) \( \Leftrightarrow SO = 4,25\)

Thể tích hình chóp: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{1}{3}.36.4,25 = 51\left( {c{m^3}} \right)\).

Ta có: \(SH' = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,cm\)

Xét tam giác \(SAH\) có: \(A'H'//AH\) và \(\dfrac{{SH'}}{{SH}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\) (định lí Ta let)

Mà \(A'B'//AB\) \( \Rightarrow \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow A'B' = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{2}{3}.6 = 4\)

Thể tích hình chóp \(S.A'B'C'D'\) bằng: \(\dfrac{1}{3}{.4^2}.4 = \dfrac{{64}}{3}\,c{m^3}\)  

Thể tích hình chóp cụt bằng: \(72 - \dfrac{{64}}{3} = \dfrac{{152}}{3}\,c{m^3}\).

Thể tích hình chóp bằng: \(\dfrac{1}{3}{.6^2}.6 = 72\,c{m^3}\).

Thể tích hình chóp bằng: \(\dfrac{1}{3}{.6^2}.6 = 72\,c{m^3}\).

Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đường cao

$SH = 35cm$, cạnh $AB = 24cm\,\,$

Gọi $SI$  là đường cao của $\Delta SBC$. Tam giác $SBC$ cân tại $S$  nên $BI = IC$ . Ta có $HI$  là đương trung bình của $\Delta ABC$nên $HI = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{24}}{2} = 12\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $SHI$ Ta có $S{I^2} = S{H^2} + H{I^2} = {35^2} + {12^2} = 1369 = {37^2}$

Nên $SI = 37\left( {cm} \right)$.

Gọi $M$ là giao điểm của $CH$  và $AB$  ta có \(CM \bot AB\) và $AM = BM$ . Vì \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)  nên

\(CM = \dfrac{3}{2}CH = \dfrac{3}{2}.2\sqrt 3  = 3\sqrt 3 (cm)\)

Đặt $AB = BC = x$ , ta có \(B{C^2} - M{B^2} = C{M^2}\) (định lý Pytago cho \(\Delta MBC\) ) nên

\({x^2} - {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2}hay{\rm{ }}\dfrac{{3{x^2}}}{4} = 27\)

Suy ra $x = 6$ . Vậy $AB = 6cm$ .

Thể tích hình chóp $S.ABCD$  bằng  \(\dfrac{1}{3}{.4^2}.6 = 32\,c{m^3}\) .