Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

\(\left| {2x + 5} \right| = 3\)

TH1: \(\left| {2x + 5} \right| = 2x + 5\) khi \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge  - 5 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{5}{2}\)

Khi đó \(\left| {2x + 5} \right| = 3\)\( \Rightarrow 2x + 5 = 3 \Leftrightarrow 2x =  - 2\) \( \Leftrightarrow x =  - 1\,\left( {TM} \right)\)

TH1: \(\left| {2x + 5} \right| =  - \left( {2x + 5} \right)\) khi \(2x + 5 < 0 \Leftrightarrow 2x <  - 5 \Leftrightarrow x <  - \dfrac{5}{2}\)

Khi đó \(\left| {2x + 5} \right| = 3\)\( \Rightarrow  - \left( {2x + 5} \right) = 3 \Leftrightarrow  - 2x = 8 \Leftrightarrow x =  - 4\,\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - 4;\,x =  - 1\).

TH1: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\), khi đó \(\left| {x - 2} \right| = x - 2\), phương trình trở thành:

\( - \left( {x - 2} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow  - x + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 5\left( {TM} \right)\)

TH2: \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\) thì \(\left| {x - 2} \right| =  - \left( {x - 2} \right)\), phương trình trở thành:

\( - \left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right] + 3 = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x =  - 1,x = 5\).

TH1: \(\left| {5x - 3} \right| = 5x - 3\) nếu \(5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 5x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{5}\)

Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {5x - 3} \right) = x + 7 \Leftrightarrow  - 6x = 4\)\( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\,\left( {KTM} \right)\)

TH2: \(\left| {5x - 3} \right| =  - \left( {5x - 3} \right)\) nếu \(5x - 3 < 0 \Leftrightarrow 5x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{5}\)

Phương trình đã cho trở thành \( - \left[ { - \left( {5x - 3} \right)} \right] = x + 7\)

\( \Leftrightarrow 5x - 3 = x + 7\) \( \Leftrightarrow 4x = 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \emptyset \).

TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {x - 3} \right) + x = 3 \Leftrightarrow 2x - 6 + x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 3} \right| =  - \left( {x - 3} \right)\) khi \(x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3\)

Phương trình đã cho trở thành \( - 2\left( {x - 3} \right) + x = 3\)\( \Leftrightarrow  - x =  - 3 \Leftrightarrow x = 3\left( {KTM} \right)\)

Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 3\).

Đáp án A: \( - \left| {x + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| =  - 1\)

Vì \( - 1 < 0\) và \(\left| {x + 1} \right| \ge 0\) nên phương trình \(\left| {x + 1} \right| =  - 1\) vô nghiệm.

Ngoài ra, có thể kết luận được các phương trình còn lại đều có nghiệm.

Xét phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)

TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 3} \right| = 3 - x\) khi \(x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm phân biệt là \(x = 2;x = 4\) hay (1) sai và (3) đúng.

\(\left| {x - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) nên phương trình \(\left| {x - 1} \right| = 0\) có nghiệm duy nhất hay (2) sai.

Vậy có \(1\) khẳng định đúng.

Ta có: \(\left| {5 - 2x} \right| = \left| {x - 1} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - 2x = x - 1\\5 - 2x = 1 - x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 = 3x\\4 = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Vật nghiệm nhỏ nhất của phương trình là \(x = 2\).

Nếu \(3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\) thì \(\left| {3x - 1} \right| = 3x - 1\).

Khi đó phương trình trở thành \(3x - 1 = 3x - 1 \Leftrightarrow 0x = 0\) (đúng)

Nên \(x \ge \dfrac{1}{3}\) luôn là nghiệm của phương trình.

Nếu \(3x - 1 < 0 \Leftrightarrow 3x < 1 \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}\) thì \(\left| {3x - 1} \right| = 1 - 3x\).

Khi đó phương trình trở thành \(1 - 3x = 3x - 1 \Leftrightarrow 2 = 6x\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {KTM} \right)\)

Do đó phương trình có nghiệm \(x \ge \dfrac{1}{3}\) hay phương trình có vô số nghiệm.

TH1: \(\left| {2x} \right| = 2x\) khi \(2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Phương trình đã cho trở thành \(5 - 2x =  - 3x \Leftrightarrow 5 =  - 3x + 2x\) \( \Leftrightarrow x =  - 5\,\left( {KTM} \right)\)

TH2: \(\left| {2x} \right| =  - 2x\) khi \(2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)

Phương trình đã cho trở thành \(5 + 2x =  - 3x \Leftrightarrow 5 =  - 5x\) \( \Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - 1\).

Ta có:         

\(\begin{array}{l} + )\;x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\ + )\;x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}\)      

Ta có bảng:

TH1: \(x <  - 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( { - x - 1} \right) - \left( { - x - 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow  - x - 1 + x + 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow 1 = x + 3\\ \Leftrightarrow x =  - 2\left( {KTM} \right)\end{array}\)

TH2: \( - 2 \le x \le  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( { - x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow  - x - 1 - x - 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 2x - 3 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 3x = 6\\ \Leftrightarrow x =  - 2\left( {TM} \right)\end{array}\)

TH3: \(x >  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - \left| {x + 2} \right| = x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow x + 1 - x - 2 = x + 3\\ \Leftrightarrow  - 1 = x + 3\\ \Leftrightarrow x =  - 4\left( {KTM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - 2\).

* Xét phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\)

TH1: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) khi \(x \ge \dfrac{1}{2}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)

TH2:  \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\) khi \(x < \dfrac{1}{2}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm nguyên \(x =  - 1;\,x = 2\) nên A và D đúng.

Xét phương trình

\(\begin{array}{l}\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 =  - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x =  - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm là \(x = \dfrac{5}{2};x =  - \dfrac{7}{{12}}\) nên B đúng.

Dễ thấy các nghiệm của \(\left( 1 \right)\) không trùng với các nghiệm của \(\left( 2 \right)\) nên hai phương trình không tương đương hay C sai.

TH1: \(2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{2}\). Khi đó bất phương trình trở thành:

\(2x - 3 < 3 \Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow x < 3\)

Kết hợp với \(x \ge \dfrac{3}{2}\) ta được: \(\dfrac{3}{2} \le x < 3\).

TH2: \(2x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\). Khi đó bất phương trình trở thành:

\( - 2x + 3 < 3 \Leftrightarrow  - 2x < 0 \Leftrightarrow x > 0\).

Kết hợp với \(x < \dfrac{3}{2}\) ta được: \(0 < x < \dfrac{3}{2}\).

Kết hợp nghiệm của hai trường hợp ta được: \(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{3}{2} \le x < 3\\0 < x < \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 3\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(0 < x < 3\).

TH1: \( - x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\) thì \(\left| { - x + 2} \right| =  - x + 2\). Khi đó,

\(\left( { - x + 2} \right) + 5 \ge x - 2\) \( \Leftrightarrow  - x + 7 - x + 2 \ge 0\) \( \Leftrightarrow  - 2x + 9 \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{9}{2}\)

Kết hợp với \(x \le 2\) ta được: \(x \le 2\).

TH2: \( - x + 2 < 0 \Leftrightarrow x > 2\) thì \(\left| { - x + 2} \right| = x - 2\). Khi đó,

\(x - 2 + 5 \ge x - 2 \Leftrightarrow 5 > 0\) (luôn đúng)

Do đó \(x > 2\) luôn là nghiệm của bất phương trình.

Vậy từ hai trường hợp ta thấy bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x = 1\).

NX: \(VT \ge 0\) nên \(VP = 2020x - 2020 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Khi đó \(x - \dfrac{1}{{2020}} > 0\), \(x - \dfrac{2}{{2020}} > 0\),…,\(x - \dfrac{{2019}}{{2020}} > 0\)

Phương trình trở thành:

\(x - \dfrac{1}{{2020}} + x - \dfrac{2}{{2020}} + x - \dfrac{3}{{2020}} + ... + x - \dfrac{{2019}}{{2020}} = 2020x - 2020\)

\( \Leftrightarrow 2019x - \left( {\dfrac{1}{{2020}} + \dfrac{2}{{2020}} + ... + \dfrac{{2019}}{{2020}}} \right) = 2020x - 2020\)

\( \Leftrightarrow 2019x - \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + 2019}}{{2020}} = 2020x - 2020\)

\( \Leftrightarrow 2019x - \dfrac{{\left( {1 + 2019} \right).2019}}{{2.2020}} = 2020x - 2020\)

\( \Leftrightarrow 2019x - \dfrac{{2019}}{2} = 2020x - 2020\)

\( \Leftrightarrow 2020 - \dfrac{{2019}}{2} = 2020x - 2019x\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2021}}{2}\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{2021}}{2}\).

 \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)

TH1: \(\left| {2x - 5} \right| = 2x - 5\) khi \(2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 5 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}\)

Khi đó \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)$ \Rightarrow 2x - 5 = 3 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\left( {TM} \right)$

TH1: \(\left| {2x - 5} \right| =  - \left( {2x - 5} \right)\) khi \(2x - 5 < 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}\)

Khi đó \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)$ \Rightarrow  - \left( {2x - 5} \right) = 3 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 4;\,x = 1\) .

TH1: \(\left| {3 - 4x} \right| = 3 - 4x\) khi \(3 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 3 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{4}\)

Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {3 - 4x} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {3 - 4x} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 3 - 4x = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {3 - 4x} \right| =  - \left( {3 - 4x} \right)\) khi \(3 - 4x < 0 \)\(\Leftrightarrow 4x > 3\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}\)

Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {4x - 3} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {4x - 3} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 4x - 3 = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\,\left( {TM} \right)\)

Phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\) .

TH1: \(\left| {5x - 3} \right| = 5x - 3\) nếu \(5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 5x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{5}\)

Phương trình đã cho trở thành \(5x - 3 = x + 7 \)\(\Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {TM} \right)\) .

TH2: \(\left| {5x - 3} \right| =  - \left( {5x - 3} \right)\) nếu \(5x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow 5x < 3 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{3}{5}\)

Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {5x - 3} \right) = x + 7 \)\(\Leftrightarrow  - 6x = 4 \)\(\Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right).\) 

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\) .

TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 + 3x = 7\)\( \Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 3} \right| =  - \left( {x - 3} \right)\) khi \(x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < 3\)

Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {x - 3} \right) + 3x = 7 \)\(\Leftrightarrow 2x = 4 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).

* Xét \(\left| {x - 1} \right| = 1\)

TH1: \(\left| {x - 1} \right| = x - 1\) khi \(x \ge 1\) , nên ta có phương trình \(x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 1} \right| = 1 - x\) khi \(x < 1\) , nên ta có phương trình \(1 - x = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(S = \left\{ {0;2} \right\}\)

* Xét \(\left| {x + 3} \right| = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x =  - 3\)  nên \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)

* Xét \(\left| {2x} \right| = 10\)

TH1:  \(\left| {2x} \right| = 2x\)  khi \(x \ge 0\) nên ta có phương trình \(2x = 10 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {2x} \right| =  - 2x\) khi \(x < 0\) nên ta có phương trình \( - 2x = 10 \Leftrightarrow x =  - 5\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(S = \left\{ {5; - 5} \right\}\)

* Xét \(\left| x \right| =  - 9\). Thấy rằng \(\left| x \right| \ge 0;\,\forall x\) mà \( - 9 < 0\) nên \(\left| x \right| >  - 9\) với mọi \(x\). Hay phương trình \(\left| x \right| =  - 9\) vô nghiệm.

Xét phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)

TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 3} \right| = 3 - x\) khi \(x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm \(x = 2;x = 4\).

Nên \(x = 4\) là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\).

Khẳng định đúng  là (2) và (3).