Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Từ đó với \(a > b\) và \(c > 0\) thì \(ac > bc\) nên A đúng.

+ Với \(a > b\), nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \( - 3\) ta được: \( - 3a <  - 3b\).

Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \(1\) ta được: \( - 3a + 1 <  - 3b + 1\) nên A sai.

+ Vì \(a > b\) và \( - 3 < 0\) nên \( - 3a <  - 3b\) nên B đúng

+ Vì \(a > b\) và \(3 > 0\) nên  \(3a > 3b\) nên C sai.

+ Vì \(a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\) nên D sai.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow 2a < 2b\)\( \Leftrightarrow 2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5\) hay \(2a + 1 < 2b + 5\) nên A đúng.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow  - 3a >  - 3b\)\( \Leftrightarrow 7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b\) hay \(7 - 3a > 4 - 3b\) nên B đúng.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow a - b < b - b \Leftrightarrow a - b < 0\) nên C đúng.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow  - 3a >  - 3b \Leftrightarrow 2 - 3a > 2 - 3b\) nên D sai.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a - 2 \le b - 1\) với \(2 > 0\) ta được:

\(2\left( {a - 2} \right) \le 2\left( {b - 1} \right) \Leftrightarrow 2a - 4 \le 2b - 2\).

Theo đề bài ta có: \( - 3x - 1 <  - 3y - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 3x - 1 + 1 <  - 3y - 1 + 1\\ \Rightarrow  - 3x <  - 3y\\ \Rightarrow  - 3.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)x >  - 3.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)y\\ \Rightarrow x > y.\end{array}\).

*  Với \(a > b > 0\) ta có:

+) \(a.a > a.b \Leftrightarrow {a^2} > ab\)

+) Ta có: \({a^2} > ab \Rightarrow {a^2}.a > a.ab \Leftrightarrow {a^3} > {a^2}b\)

Mà \(a > b > 0 \Rightarrow ab > b.b \Leftrightarrow ab > {b^2}\)\( \Rightarrow ab.a > {b^2}.b \Rightarrow {a^2}b > {b^3}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2}b > {b^3} \Rightarrow {a^3} > {a^2}b > {b^3}\\ \Rightarrow {a^3} > {b^3}\;\;\end{array}\)

Vậy \({a^3} > {b^3}.\)

Xét hiệu \(P = {a^2} + {b^2} - 2ab\) \( = {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(a,\,b\) )

Nên \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) với mọi \(a,b\).

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

Ta có: \( - 2020a >  - 2020b\)\( \Leftrightarrow  - 2020.\left( { - \dfrac{1}{{2020}}} \right)a <  - 2020.\left( { - \dfrac{1}{{2020}}} \right)b\) \( \Leftrightarrow a < b\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right)\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a\left( { - b} \right) + 2c\left( { - b} \right) + 2ac\\ = {\left[ {a + \left( { - b} \right) + c} \right]^2}\\ = {\left( {a - b + c} \right)^2} \ge 0,\forall a,b,c\end{array}\)

Do đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a - b + c = 0\).

Từ \(x + y \ge 1\), bình phương hai vế (hai vế đều dương) được \({x^2} + 2xy + {y^2} \ge 1\)  (1)

Từ \({(x - y)^2} \ge 0\) suy ra \({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.\)  (2)

Cộng từng vế (1) với (2) được: \(2{x^2} + 2{y^2} \ge 1.\)

Chia hai vế cho \(2\) được: \({x^2} + {y^2} \ge \dfrac{1}{2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x = y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\).

Ta có: \({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)\)

\( = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0\) (vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).

Do đó \({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\) hay \({a^3} + {b^3} \ge a{b^2} + {a^2}b\).

\(P = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} - 4 = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab}}\)\( = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab}}\)\( = \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}\)

Do \(ab > 0\) và \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\forall a,b\) nên \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 0 \Rightarrow P \ge 0\) hay \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 4\).

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right):\;\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0 \Rightarrow xy > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\forall x,y > 0.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khẳng định (1) đúng.

\(\left( 2 \right):\;{x^2} + {y^2} < 0.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} > 0.\)

\( \Rightarrow \) Khẳng định (2) sai.

(3) sai vì với \(x = y = \dfrac{1}{2}\) thì \({x^3} + {y^3} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4}\) và \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).

Mà \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}\) nên \({x^3} + {y^3} < {x^2} + {y^2}\) với \(x = y = \dfrac{1}{2}\).

Vậy chỉ có (1) đúng.

Xét hiệu \({m^2} - {m^3} = {m^2}\left( {1 - m} \right)\) ta có:

Vì \(0 < m < 1 \Rightarrow 1 - m > 0\)\( \Rightarrow m^2\left( {1 - m} \right) > 0\)

Hay \({m^2} - {m^3} > 0 \Leftrightarrow {m^2} > {m^3}.\)

Vậy \({m^2} > {m^3}.\)

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Từ đó với \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac < bc\) nên A sai.

+ Với \(a > b\), nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \( - 3\) ta được \( - 3a <  - 3b\) .

Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 1\) ta được \( - 3a - 1 <  - 3b - 1\) nên A sai.

+ Vì \(a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 \)\(\Leftrightarrow  - 3\left( {a - 1} \right) <  - 3\left( {b - 1} \right)\) nên B đúng, C sai

+ Vì \(a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1\)\( \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\) nên D sai.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\)hay \(4a + 1 < 4b + 5\)  nên A đúng.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow  - 2a >  - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\) hay \(7 - 2a > 4 - 2b\) nên B đúng.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow a - b < b - b \Leftrightarrow a - b < 0\)  nên C đúng.

+ Vì \(a < b \Leftrightarrow  - 3a >  - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b\)  nên D sai.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a + 1 \le b + 2\) với \(2 > 0\) ta được

\(2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 2a + 2 \le 2b + 4\) .

Theo đề bài ta có: \( - 2x + 3 <  - 2y + 3\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 2x + 3 - 3 <  - 2y + 3 - 3\\ \Rightarrow  - 2x <  - 2y\\ \Rightarrow  - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)x >  - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)y\\ \Rightarrow x > y.\end{array}\)

*  Với \(a > b > 0\) ta có:

+) \(a.a > a.b \Leftrightarrow {a^2} > ab\;\;\)

+) Ta có: \({a^2} > ab \Rightarrow {a^2}.a > a.ab \Leftrightarrow {a^3} > {a^2}b\)

Mà \(a > b > 0 \Rightarrow ab > b.b \Leftrightarrow ab > {b^2} \Rightarrow ab.a > {b^2}.b \Rightarrow {a^2}b > {b^3}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2}b > {b^3} \Rightarrow {a^3} > {a^2}b > {b^3}\\ \Rightarrow {a^3} > {b^3}\;\;\end{array}\)

Vậy \({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)