Bài tập ôn tập chương 5

Theo câu trước ta có tứ giác $BEDF$  là hình bình hành nên $ED = BF;\,ED//BF \Rightarrow EI//FK\,\left( 1 \right)$

Theo câu trước ta có tứ giác $AEDF$ và $BEFC$   là hình thoi nên $I;K$ lần lượt là trung điểm của $DE$ và $BF$

Suy ra $EI = \dfrac{{DE}}{2};\,FK = \dfrac{{BF}}{2}$  mà $DE = BF\left( {cmt} \right) \Rightarrow EI = FK\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $EIFK$  là hình bình hành.

Mà $AEDF$  là hình thoi nên $AF \bot DE$  (tính chất hình thoi)$\Rightarrow \widehat {EIF} = 90^\circ$

Hình bình hành $EIFK$ có một góc vuông $\widehat {EIF} = 90^\circ$  nên $EIFK$ là hình chữ nhật.

Xét hình bình hành $ABCD$ có $E;F$  lần lượt là trung điểm của $AB;CD$; $DC = 2BC$  nên

$AE = EB = BC = CF = DF = AD$ ;$AB//CD;\,AD//BC$

Xét tứ giác $DEBF$ có $\left\{ \begin{array}{l}EB//DF\\EB = DF\end{array} \right.$  nên $DEBF$  là hình bình hành (dhnb)

Xét tứ giác $AEFD$  có $AE = DF;AE//DF$  nên $AEFD$ là hình bình hành (dhnb), lại có $AE = AD$  nên hình bình hành $AEFD$ là hình thoi.

Tương tự ta cũng có $EBCF$  là hình thoi. Nhận thấy chưa đủ điều kiện để $EBCF$ là hình vuông.

Nên A, B đúng, C sai.

Xét hình bình hành $ABCD$ có $E;F$  lần lượt là trung điểm của $AB;CD$; $DC = 2BC$  nên

$AE = EB = BC = CF = DF = AD$ ;$AB//CD;\,AD//BC$

Xét tứ giác $DEBF$ có $\left\{ \begin{array}{l}EB//DF\\EB = DF\end{array} \right.$  nên $DEBF$  là hình bình hành (dhnb)

Xét tứ giác $AEFD$  có $AE = DF;AE//DF$  nên $AEFD$ là hình bình hành (dhnb), lại có $AE = AD$  nên hình bình hành $AEFD$ là hình thoi.

Tương tự ta cũng có $EBCF$  là hình thoi. Nhận thấy chưa đủ điều kiện để $EBCF$ là hình vuông.

Nên A, B đúng, C sai.

Theo câu trước thì $AKCM$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $AMCK$ là hình vuông  thì $AM = MC$

Mà $AM$ là đường trung tuyến của tam giác cân $ABC$

$\Rightarrow AM = MC = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$

Tứ giác $AMCK$ là hình chữ nhật (theo câu trước)

$\Rightarrow$ $AK//CM$ $\Rightarrow$$AK//BM$              (3)

mà $AK = MC{\rm{ }}(AMCK$ là hình chữ nhật) và $MC = MB$ (gt)

$\Rightarrow$$AK = BM$             (4)                                                      

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$Tứ giác $AKMB$ là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết)

 $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao$\Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = {90^0}.$ (1)  

Xét tứ giác $AMCK$ có:  $AC$ cắt $MK$ tại $I,$ mà $AI = IC,MI = IK\;$ (gt)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)        (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $AMCK$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

 $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao$\Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = {90^0}.$ (1)  

Xét tứ giác $AMCK$ có:  $AC$ cắt $MK$ tại $I,$ mà $AI = IC,MI = IK\;$ (gt)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)        (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $AMCK$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Theo câu trước ta có $BICD$ là hình chữ nhật lại có $E$ là trung điểm của $BC$ (gt) nên $E$ cũng là trung điểm của $ID.$

Mà tam giác $ADI$ đều (theo câu trước) có $AE$ là đường trung tuyến nên $AE$ cũng là đường cao, suy ra $AE \bot BD \Rightarrow \widehat {AED} = 90^\circ .$

Do $AB//CD$  (giả thiết) nên $BI//CD$  
Mặt khác $BI = AB$  (giả thiết); $AB = CD$  (giả thiết) 
$\Rightarrow BI = CD$
Vậy $BICD$ là hình bình hành (dhnb) (1) 

Theo giả thiết ta có $BI = AB = AF = FD \Rightarrow AI = AD$  mà $\widehat {IAD} = 60^\circ$ (gt) nên tam giác $ADI$ đều.
Xét tam giác $ADI$ đều có $BD$  là trung tuyến đồng thời là đường cao. 
$\Rightarrow \widehat {DBI} = 90^\circ$ (2) 
Từ (1) và (2) suy ra $BICD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Do $AB//CD$  (giả thiết) nên $BI//CD$  
Mặt khác $BI = AB$  (giả thiết); $AB = CD$  (giả thiết) 
$\Rightarrow BI = CD$
Vậy $BICD$ là hình bình hành (dhnb) (1) 

Theo giả thiết ta có $BI = AB = AF = FD \Rightarrow AI = AD$  mà $\widehat {IAD} = 60^\circ$ (gt) nên tam giác $ADI$ đều.
Xét tam giác $ADI$ đều có $BD$  là trung tuyến đồng thời là đường cao. 
$\Rightarrow \widehat {DBI} = 90^\circ$ (2) 
Từ (1) và (2) suy ra $BICD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Ta có $EIFK$ là hình chữ nhật (theo câu trước).

Để hình chữ nhật $EIFK$  là hình vuông $\Leftrightarrow IE = {\rm{IF}}\left( 1 \right)$.

Mà $I$ là giao điểm hai đường chéo $DE;AF$ của hình thoi$AEFD$  nên  $IE = \dfrac{1}{2}DE;{\rm{IF = }}\dfrac{1}{2}{\rm{AF}} \Rightarrow {\rm{DE = AF}}$

Mặt khác ta có $AEFD$ là hình thoi (chứng minh ở câu trước) (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AEFD$ là hình vuông $\Rightarrow AD \bot DC$.

Suy ra hình bình hành $ABCD$ phải là hình chữ nhật thì $EIFK$ là hình vuông.

+ Đáp án A là hình thang cân.

+ Đáp án C là hình thang cân.

+ Đáp án D chưa đủ điều kiện để là hình bình hành.

+ Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành ta thấy một tứ giác là hình bình hành nếu có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên đáp án B đúng.

Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi thì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

Tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang. Lại thêm có 2 đường chéo bằng nhau nên tứ giác đó là hình thang cân.

+) Hình vuông là tứ giác có 4 trục đối xứng.

+) Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng là hai đường trung trực của các cạnh.

+) Hình bình hành không có trục đối xứng.

+) Hình thoi có 2 trục đối xứng là 2 đường chéo.

Độ dài một đường trung bình của tam giác là: $14:2 = 7\,cm.$

Xét  tứ giác $ABCD$   ta có: $\hat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0}$

 $\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat C = {360^0} - \left( {\hat A + \widehat B + \widehat D} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} - \left( {{{70}^0} + {{120}^0} + {{50}^0}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} - {240^0} = {120^0}.\end{array}$

Ta có: $\widehat A + \widehat D = {180^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat D\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {70^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {110^0}\end{array}$

Tổng độ dài hai đáy là: $3.2 = 6(cm)$

Chu vi hình thang là: $2,5.2 + 6 = 11(cm)$

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5cm.$

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A,$ theo định lý Pytago ta có:

$\begin{array}{l}B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {5^2} + {5^2} = 50\\ \Rightarrow BD = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 (cm)\end{array}$