Phân tích đa thức \(8{x^3} + 12{x^2}y + 6x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử ta được
Ta có \(8{x^3} + 12{x^2}y + 6x{y^2} + {y^3}\)\( = {\left( {2x} \right)^3} + 3.{\left( {2x} \right)^2}y + 3.2x.{y^2} + {y^3} = {\left( {2x + y} \right)^3}\)
Chọn câu đúng.
Ta có \({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {3x - 2y + 2x - 3y} \right)\left( {3x - 2y - \left( {2x - 3y} \right)} \right)\)\( = \left( {5x - 5y} \right)\left( {3x - 2y - 2x + 3y} \right) = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)
Chọn câu sai.
Ta có:
+ \({x^2} - 6x + 9 = {x^2} - 2.3x + {3^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\) nên A đúng.
+ \(4{x^2} - 4xy + {y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.y + {y^2} = {\left( {2x - y} \right)^2}\) nên B đúng.
+ \({x^2} + x + \dfrac{1}{4} = {x^2} + 2x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\) nên C đúng.
+ \( - {x^2} - 2xy - {y^2} = - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) = - {\left( {x + y} \right)^2}\) nên D sai.
Phân tích đa thức \({x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8\) thành nhân tử ta được
Ta có \({x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8\)\( = {\left( {xy} \right)^3} + 3{\left( {xy} \right)^2}.2 + 3.xy{.2^2} + {2^3} = {\left( {xy + 2} \right)^3}\)
Phân tích \({\left( {{a^2} + 9} \right)^2} - 36{a^2}\) thành nhân tử ta được
Ta có \({\left( {{a^2} + 9} \right)^2} - 36{a^2} = {\left( {{a^2} + 9} \right)^2} - {\left( {6a} \right)^2}\)\( = \left( {{a^2} + 9 + 6a} \right)\left( {{a^2} + 9 - 6a} \right)\)\( = {\left( {a + 3} \right)^2}{\left( {a - 3} \right)^2}\)
Cho \(27{x^3} - 0,001 = \left( {3x - 0,1} \right)\left( {...} \right)\) . Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
Ta có \(27{x^3} - 0,001 = {\left( {3x} \right)^3} - {\left( {0,1} \right)^3} = \left( {3x - 0,1} \right)\left( {{{\left( {3x} \right)}^2} + 3x.0,1 + 0,{1^2}} \right)\)\( = \left( {3x - 0,1} \right)\left( {9{x^2} + 0,3x + 0,01} \right)\)
Phân tích đa thức \(\dfrac{1}{{64}}{x^6} + 125{y^3}\) thành nhân tử , ta được
Ta có \(\dfrac{1}{{64}}{x^6} + 125{y^3} = {\left( {\dfrac{1}{4}{x^2}} \right)^3} + {\left( {5y} \right)^3}\)\( = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 5y} \right)\left[ {{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)}^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}.5y + {{\left( {5y} \right)}^2}} \right]\)
\( = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} + 5y} \right)\left( {\dfrac{{{x^4}}}{{16}} - \dfrac{5}{4}{x^2}y + 25{y^2}} \right)\)
Cho \({x^6} - 1 = \left( {x + A} \right)\left( {x + B} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + C} \right)\), biết \(A,\,B,C\) là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
Ta có \({x^6} - 1 = {\left( {{x^2}} \right)^3} - 1 \)\(= \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\)
\( \Rightarrow A = - 1;B = C = 1\)
Suy ra \(A + B + C = - 1 + 1 + 1 = 1\) .
Cho \({\left( {{x^2} + {y^2} - 17} \right)^2} - 4{\left( {xy - 4} \right)^2} = \left( {x + y + 5} \right).\left( {x - y + 3} \right)\left( {x + y + m} \right)\left( {x - y + n} \right)\) . Khi đó giá trị của \(m.n\) là
Ta có \({\left( {{x^2} + {y^2} - 17} \right)^2} - 4{\left( {xy - 4} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2} - 17} \right)^2} - {\left[ {2\left( {xy - 4} \right)} \right]^2}\)
\( = \left( {{x^2} + {y^2} - 17 + 2xy - 8} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 17 - 2xy + 8} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy - 25} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 2xy - 9} \right)\)
\( = \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - {5^2}} \right]\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - {3^2}} \right]\)
\( = \left( {x + y + 5} \right)\left( {x + y - 5} \right)\left( {x - y + 3} \right)\left( {x - y - 3} \right)\)
Suy ra \(m = - 5;n = - 3 \Rightarrow m.n = \left( { - 5} \right)\left( { - 3} \right) = 15\)
Giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^2} + \dfrac{1}{4} = x\) là
Ta có \({x^2} + \dfrac{1}{4} = x \Leftrightarrow {x^2} - x + \dfrac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}.\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{2}\) .
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\) ?
Ta có \({\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {\left[ {3\left( {x + 1} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {3x + 3} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3 + 3x + 3} \right)\left( {x - 3 - 3x - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x\left( { - 2x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 0\\ - 2x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - 2x = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn là \(x = 0;x = - 3\) .
Cho các phương trình \({\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\,\,\left( 1 \right);\)\({\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x = 0\,\,\left( 2 \right).\) Chọn câu đúng.
Xét phương trình (1) ta có \({\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} - {\left( {3 - x} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} = {\left( {3 - x} \right)^3}\)
\( \Leftrightarrow x + 2 = 3 - x \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
Xét phương trình (2) ta có \({\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x - 4 + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4\left( {{x^2} + x - 1} \right) + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1 + 2} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} = 0\)
Vì \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall x\) nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
Cho \(x - 4 = - 2y\) . Khi đó giá trị của biểu thức \(M = {\left( {x + 2y - 3} \right)^2} - 4\left( {x + 2y - 3} \right) + 4\) bằng
Ta có \(M = {\left( {x + 2y - 3} \right)^2} - 4\left( {x + 2y - 3} \right) + 4\)\( = {\left( {x + 2y - 3} \right)^2} - 2\left( {x + 2y - 3} \right).2 + {2^2}\)
\( = {\left( {x + 2y - 3 - 2} \right)^2} = {\left( {x + 2y - 5} \right)^2}\)
Ta có \(x - 4 = - 2y \Leftrightarrow x + 2y = 4\)
Thay \(x + 2y = 4\) vào \(M\) ta được \(M = {\left( {4 - 5} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\) .
Vậy \(M = 1\) .
Đa thức \({x^6} - {y^6}\) được phân tích thành
Ta có \({x^6} - {y^6} = {\left( {{x^3}} \right)^2} - {\left( {{y^3}} \right)^2} = \left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{x^3} - {y^3}} \right)\)
\( = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)
Chọn câu đúng.
Ta có \({(5x - 4)^2} - 49{x^2} \)\(= {\left( {5x - 4} \right)^2} - {\left( {7x} \right)^2} \)\(= \left( {5x - 4 + 7x} \right)\left( {5x - 4 - 7x} \right)\)\( = \left( {12x - 4} \right)\left( { - 2x - 4} \right) \)\(= 4.\left( {3x - 1} \right).\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \)\(= - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Chọn câu sai.
Ta có:
+) $4{x^2} + 4x + 1 = {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.1 + {1^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}$ nên A đúng.
+) \(9{x^2} - 24xy + 16{y^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x - 4y} \right)^2}\) nên B đúng.
+) $\dfrac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} $$= {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + 2.\dfrac{x}{2}.y + {y^2} $$= {\left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)^2}$ nên C đúng, D sai.
Cho \(8{x^3} - 64 = \left( {2x - 4} \right)\left( {...} \right)\) . Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
Ta có \(8{x^3} - 64 = {\left( {2x} \right)^3} - {4^3} = \left( {2x - 4} \right)\left( {4{x^2} + 8x + 16} \right)\)
Phân tích đa thức \(\dfrac{{{x^3}}}{8} + 8{y^3}\) thành nhân tử , ta được
Ta có \(\dfrac{{{x^3}}}{8} + 8{y^3} = {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3} + {\left( {2y} \right)^3} = \left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left[ {{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2} - \dfrac{x}{2}.2y + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right]\)\( = \left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} - xy + 4{y^2}} \right)\)
Giá trị của \(x\) thỏa mãn \(5{x^2} - 10x + 5 = 0\) là
Ta có \(5{x^2} - 10x + 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow 5{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \)
\(\Leftrightarrow x - 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow x = 1\)
Vậy \(x = 1.\)
Cho \({\left( {4{x^2} + 4x - 3} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 4x + 3} \right)^2} = m.x\left( {x + 1} \right)\)với \(m \in \mathbb{R}\) . Chọn câu đúng về giá trị của \(m\) .
Ta có \({\left( {4{x^2} + 4x - 3} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 4x + 3} \right)^2} = \left( {4{x^2} + 4x - 3 + 4{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {4{x^2} + 4x - 3 - 4{x^2} - 4x - 3} \right)\)
\( = \left( {8{x^2} + 8x} \right).\left( { - 6} \right) \)\(= 8.x\left( {x + 1} \right).\left( { - 6} \right) \)
\(= - 48x\left( {x + 1} \right)\) nên \(m = - 48 < 0\)
