Cho \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} \)\(= A.y\left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)\), biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
Ta có \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} \)\(= \left[ {x + y - \left( {x - y} \right)} \right]\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]\)
\( = \left( {x + y - x + y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\)\( = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow A = 2;\,B = 3;\,C = 1\)
Suy ra \(A + B + C = 2 + 3 + 1 = 6\) .
Cho \({\left( {4{x^2} + 2x - 18} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 2x} \right)^2} = m.\left( {4{x^2} + 2x - 9} \right).\) Khi đó giá trị của \(m\) là
Ta có \({\left( {4{x^2} + 2x - 18} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 2x} \right)^2} = \left( {4{x^2} + 2x - 18 + 4{x^2} + 2x} \right)\left( {4{x^2} + 2x - 18 - 4{x^2} - 2x} \right)\)
\( = \left( {8{x^2} + 4x - 18} \right)\left( { - 18} \right) = 2\left( {4{x^2} + 2x - 9} \right)\left( { - 18} \right)\)\( = \left( { - 36} \right)\left( {4{x^2} + 2x - 18} \right) \)\(\Rightarrow m = - 36\)
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 5} \right)^2} - 4{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\) ?
Ta có \({\left( {2x - 5} \right)^2} - 4{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x - 5} \right)^2} - {\left[ {2\left( {x - 2} \right)} \right]^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {2x - 5} \right)^2} - {\left( {2x - 4} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x - 5 + 2x - 4} \right)\left( {2x - 5 - 2x + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {4x - 9} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow - 4x + 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4x = 9 \)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}\)
Vậy $x = \dfrac{9}{4}$ .
Gọi \({x_1};\,{x_2};{x_3}\) là các giá trị thỏa mãn \(4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left( {9{x^2} - 25} \right)^2} = 0.\) Khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3}\) bằng
Ta có \(4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left( {9{x^2} - 25} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 4.{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left[ {{{\left( {3x} \right)}^2} - {5^2}} \right]^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow 4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left[ {\left( {3x - 5} \right)\left( {3x + 5} \right)} \right]^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left( {3x - 5} \right)^2}{\left( {3x + 5} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left[ {4 - 9{{\left( {3x + 5} \right)}^2}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left[ {4 - {{\left( {3\left( {3x + 5} \right)} \right)}^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left( {{2^2} - {{\left( {9x + 15} \right)}^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left( {2 + 9x + 15} \right)\left( {2 - 9x - 15} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left( {9x + 17} \right)\left( { - 9x - 13} \right) = 0\)
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 5 = 0\\9x + 17 = 0\\ - 9x - 13 = 0\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{3}\\x = - \dfrac{{17}}{9}\\x = - \dfrac{{13}}{9}\end{array} \right.\) suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{{ - 17}}{9} + \dfrac{{ - 13}}{9} \)\(= - \dfrac{5}{3}\) .
Cho \(x + n = 2\left( {y - m} \right),\)
khi đó giá trị của biểu thức \(A = {x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4{m^2} - 4mn - {n^2}\) bằng
Ta có \(A = {x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4{m^2} - 4mn - {n^2}\)\( = {x^2} - 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2} - \left( {4{m^2} + 4mn + {n^2}} \right)\)
\( = {\left( {x - 2y} \right)^2} - {\left( {2m + n} \right)^2}\)\( = \left( {x - 2y + 2m + n} \right)\left( {x - 2y - 2m - n} \right)\)
Ta có \(x + n = 2\left( {y - m} \right) \)\(\Leftrightarrow x + n = 2y - 2m \)\(\Leftrightarrow x - 2y + n + 2m = 0\)
Thay \(x - 2y + n + 2m = 0\) vào \(A\) ta được \(A = 0.\left( {x - 2y - 2m - n} \right) = 0\) .
Vậy \(A = 0\) .
Cho \(9{a^2} - {\left( {a - 3b} \right)^2} \)\(= \left( {m.a + n.b} \right)\left( {4a - 3b} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Khi đó, giá trị của \(m\) và \(n\) là
Ta có \(9{a^2} - {\left( {a - 3b} \right)^2} = {\left( {3a} \right)^2} - {\left( {a - 3b} \right)^2} = \left( {3a + a - 3b} \right)\left( {3a - a + 3b} \right) = \left( {4a - 3b} \right)\left( {2a + 3b} \right)\)
Suy ra \(m = 2;\,n = 3\) .
Đa thức \(4{b^2}{c^2} - {\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)^2}\) được phân tích thành
Ta có \(4{b^2}{c^2} - {\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)^2}\)\( = {\left( {2bc} \right)^2} - {\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)^2}\)\( = \left( {2bc + {c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\left( {2bc - {c^2} - {b^2} + {a^2}} \right)\)
\( = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)\( = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\)
\( = \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right).\)
Tính giá trị biểu thức \(P = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) với \(x = 101\).
Ta có \(P = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 1 = {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\)
Thay \(x = 101\) vào \(P\) ta được \(P = {\left( {101 - 1} \right)^3} + 1 = {100^3} + 1\)
Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp thì luôn chia hết cho
Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(2k - 1;2k + 1\,\,\,\left( {k \in {N^*}} \right)\)
Theo bài ra ta có \({\left( {2k + 1} \right)^2} - {\left( {2k - 1} \right)^2} = 4{k^2} + 4k + 1 - 4{k^2} + 4k - 1 = 8k\, \vdots \,\,8\)
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({x^2} + 102 = {y^2}.\)
Ta có \({x^2} + 102 = {y^2} \Leftrightarrow {y^2} - {x^2} = 102\)
Nhận thấy hiệu hai bình phương là một số chẵn nên \(x,y\) cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ.
Suy ra \(y - x;y + x\) luôn là số chẵn.
Lại có \({y^2} - {x^2} = 102 \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 102\) mà \(\left( {y - x} \right)\) và \(\left( {y + x} \right)\) cùng là số chẵn.
Suy ra \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right)\) chia hết cho \(4\) mà \(102\) không chia hết cho \(4\) nên không tồn tại cặp số \(x;y\) thỏa mãn đề bài.
Cho \(x + y = a + b;\,{x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}.\) Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), chọn câu đúng.
Ta có \({x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {x^2} - {a^2} = {b^2} - {y^2}\)\( \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = \left( {b - y} \right)\left( {b + y} \right)\)
Mà \(x + y = a + b \Leftrightarrow x - a = b - y\) nên ta có \(\left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = \left( {x - a} \right)\left( {b + y} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) - \left( {x - a} \right)\left( {b + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a - b - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - a = 0\\x + a - b - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x - y = b - a\end{array} \right.\end{array}\)
+ Với \(x = a\) mà \(x + y = a + b \Rightarrow a + y = a + b \Rightarrow y = b\). Từ đó ta có \({x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
+ Với \(x - y = b - a\), lại có \(x + y = a + b\) nên cộng vế với vế ta được \(2x = 2b \Leftrightarrow x = b \Rightarrow y = a\)
Từ đó ta có \({x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy \({x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
