Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật gồm $6$ mặt:

$\left( {ADD'A'} \right);\,\left( {DCC'D'} \right);\left( {BCC'B'} \right);$ $\left( {ABB'A'} \right);\,\left( {ABCD} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)$.

Hình hộp chữ nhật có $12$ cạnh:

$\begin{array}{l}AB;BC;CD;DA;A'B';C'D';\\B'C';D'A';AA';BB';CC';DD'\end{array}$

Hình hộp chữ nhật có $8$ đỉnh và $6$ mặt.

Nên A sai.

Ta có: $AC'$ cắt $DB'$ vì $AD$ // $B'C'$, $AD = B'C'$ nên $ADC'B'$ là hình bình hành, do đó $AC'$ cắt $DB'$.

$AC'$ không cắt $BC$ vì chúng không có điểm chung.

$AB$ và $CD$ song song nên chúng không cắt nhau.

$AC$ và $BD$ cắt nhau vì $ABCD$ là hình chữ nhật.

Mặt phẳng chứa đường thẳng $A'C$ và $CD$ là mặt phẳng đi qua bốn điểm $A',\,B,\,C,\,D'$: mp $\left( {A'BCD'} \right)$.

Các cạnh bằng cạnh $A'B'$ của hình hộp chữ nhật $AB = DC = D'C'$.

Có bốn cạnh cắt $AB$ là $AD,AA',BC,BB'.$

Có ba cạnh song song với $A'D'$ là $AD,BC,B'C'$.

Mặt phẳng song song với $\left( {BCC'B'} \right)$ là $\left( {ADD'A'} \right)$.

Vì $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm $AA',{\rm{ }}BB',{\rm{ }}CC',{\rm{ }}DD'$ nên $KM = IN;\,KM{\rm{//}}IN$

Suy ra bốn điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Lại có: $KM{\rm{//}}AD{\rm{//}}A'D'$ nên mp $\left( {MNIK} \right)$ // mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {MNIK} \right)$ // mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$

Ta thấy: mp $\left( {MNIK} \right)$ và mp $\left( {ABB'A'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng $MN$ nên chúng không song song.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có: $O \in AC$ nên $O \in {\rm{mp}}\left( {ACC'A'} \right)$, $O \in BD$ nên $O \in {\rm{mp}}\left( {BDD'B'} \right)$, do đó $O$ thuộc cả hai mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ và $BDD'B'$.  (1)

Gọi $O'$ là giao điểm của $A'C'$ và $B'D'$.

Chứng minh tương tự, $O'$ thuộc cả hai mặt phẳng trên.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng $OO'$.

Các tam giác $ABC,ABB',CBB'$ vuông cân nên $AC = AB' = B'C$.

Tam giác $AB'C$ có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra $\widehat {ACB'} = {60^0}$.

Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm $342:6 = 57\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $x\left( {cm} \right)$, $x > 0$

Ta có phương trình: ${\left( {x + 3} \right)^2} - {x^2} = 57$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 - {x^2} = 57\\ \Leftrightarrow 6x = 48\\ \Leftrightarrow x = 8\end{array}$

Độ dài cạnh của chiếc hộp bằng $8cm$.

Ta có $AC'$  cắt $DB'$ vì $AD$  // $B'C'$ , $AD = B'C'$ nên  $ADC'B'$ là hình bình hành, do đó $AC'$  cắt $DB'$ nên A đúng.

 $AC'$  không cắt $BC$  vì chúng không có điểm chung  nên B sai.

$AB$  và $CD$  song song nên chúng không cắt nhau nên D sai.

$AC$ và $BD$ cắt nhau nên C sai.

Hình hộp chữ nhật gồm $6$  mặt:

$\left( {ADD'A'} \right);\,\left( {DCC'D'} \right);\left( {BCC'B'} \right);\,\left( {ABB'A'} \right);\,\left( {ABCD} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)$

Hình hộp chữ nhật có $12$ cạnh:

 $\begin{array}{l}AB;BC;CD;DA;A'B';C'D';\\B'C';D'A';AA';BB';CC';DD'\end{array}$

Nên C sai.

Mặt phẳng chứa đường thẳng $A'B$ và $CD'$ là mặt phẳng đi qua bốn điểm $A',\,B,\,C,\,D'$ hay chính là  $mp \left( {A'BCD'} \right).$

Các cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật $AA' = BB' = CC' = DD'$ ; $AB = DC = A'B' = D'C'$ ;

$AA' = BB' = CC' = DD'$ .

Nên D sai.

Có bốn cạnh cắt $AB$ là $AD,AA',BC,BB'.$

Có ba cạnh song song với $AB$ là $A'B',CD,C'D'$ .

Có $3$ cặp mặt phẳng song song là mp $\left( {ABB'A'} \right)$ và mp $\left( {DCC'D'} \right)$ ; mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$; mp $\left( {ADD'A'} \right)$ và mp $\left( {BCC'B'} \right)$