Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật gồm \(6\) mặt:

\(\left( {ADD'A'} \right);\,\left( {DCC'D'} \right);\left( {BCC'B'} \right);\) \(\left( {ABB'A'} \right);\,\left( {ABCD} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Hình hộp chữ nhật có \(12\) cạnh:

\(\begin{array}{l}AB;BC;CD;DA;A'B';C'D';\\B'C';D'A';AA';BB';CC';DD'\end{array}\)

Hình hộp chữ nhật có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt.

Nên A sai.

Ta có: \(AC'\) cắt \(DB'\) vì \(AD\) // \(B'C'\), \(AD = B'C'\) nên \(ADC'B'\) là hình bình hành, do đó \(AC'\) cắt \(DB'\).

\(AC'\) không cắt \(BC\) vì chúng không có điểm chung.

\(AB\) và \(CD\) song song nên chúng không cắt nhau.

\(AC\) và \(BD\) cắt nhau vì \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Mặt phẳng chứa đường thẳng \(A'C\) và \(CD\) là mặt phẳng đi qua bốn điểm \(A',\,B,\,C,\,D'\): mp \(\left( {A'BCD'} \right)\).

Các cạnh bằng cạnh \(A'B'\) của hình hộp chữ nhật \(AB = DC = D'C'\).

Có bốn cạnh cắt \(AB\) là \(AD,AA',BC,BB'.\)

Có ba cạnh song song với \(A'D'\) là \(AD,BC,B'C'\).

Mặt phẳng song song với \(\left( {BCC'B'} \right)\) là \(\left( {ADD'A'} \right)\).

Vì \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\) theo thứ tự là trung điểm \(AA',{\rm{ }}BB',{\rm{ }}CC',{\rm{ }}DD'\) nên \(KM = IN;\,KM{\rm{//}}IN\)

Suy ra bốn điểm \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\) cùng thuộc một mặt phẳng.

Lại có: \(KM{\rm{//}}AD{\rm{//}}A'D'\) nên mp \(\left( {MNIK} \right)\) // mp \(\left( {ABCD} \right)\) và mp \(\left( {MNIK} \right)\) // mp \(\left( {A'B'C'D'} \right)\)

Ta thấy: mp \(\left( {MNIK} \right)\) và mp \(\left( {ABB'A'} \right)\) cắt nhau theo đường thẳng \(MN\) nên chúng không song song.

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có: \(O \in AC\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {ACC'A'} \right)\), \(O \in BD\) nên \(O \in {\rm{mp}}\left( {BDD'B'} \right)\), do đó \(O\) thuộc cả hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(BDD'B'\).  (1)

Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).

Chứng minh tương tự, \(O'\) thuộc cả hai mặt phẳng trên.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: hai mặt phẳng \((ACC'A')\) và mp \(\left( {BDD'B'} \right)\) cắt nhau theo đường thẳng \(OO'\).

Các tam giác \(ABC,ABB',CBB'\) vuông cân nên \(AC = AB' = B'C\).

Tam giác \(AB'C\) có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra \(\widehat {ACB'} = {60^0}\).

Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm \(342:6 = 57\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(x\left( {cm} \right)\), \(x > 0\)

Ta có phương trình: \({\left( {x + 3} \right)^2} - {x^2} = 57\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 - {x^2} = 57\\ \Leftrightarrow 6x = 48\\ \Leftrightarrow x = 8\end{array}\)

Độ dài cạnh của chiếc hộp bằng \(8cm\).

Ta có $AC'$  cắt $DB'$ vì $AD$  // $B'C'$ , $AD = B'C'$ nên  $ADC'B'$ là hình bình hành, do đó $AC'$  cắt $DB'$ nên A đúng.

 $AC'$  không cắt $BC$  vì chúng không có điểm chung  nên B sai.

$AB$  và $CD$  song song nên chúng không cắt nhau nên D sai.

$AC$ và $BD$ cắt nhau nên C sai.

Hình hộp chữ nhật gồm $6$  mặt:

\(\left( {ADD'A'} \right);\,\left( {DCC'D'} \right);\left( {BCC'B'} \right);\,\left( {ABB'A'} \right);\,\left( {ABCD} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)\)

Hình hộp chữ nhật có \(12\) cạnh:

 \(\begin{array}{l}AB;BC;CD;DA;A'B';C'D';\\B'C';D'A';AA';BB';CC';DD'\end{array}\)

Nên C sai.

Mặt phẳng chứa đường thẳng \(A'B\) và \(CD'\) là mặt phẳng đi qua bốn điểm \(A',\,B,\,C,\,D'\) hay chính là  $mp \left( {A'BCD'} \right).$

Các cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật \(AA' = BB' = CC' = DD'\) ; \(AB = DC = A'B' = D'C'\) ;

\(AA' = BB' = CC' = DD'\) .

Nên D sai.

Có bốn cạnh cắt $AB$ là $AD,AA',BC,BB'.$

Có ba cạnh song song với $AB$ là $A'B',CD,C'D'$ .

Có $3$ cặp mặt phẳng song song là mp \(\left( {ABB'A'} \right)\) và mp \(\left( {DCC'D'} \right)\) ; mp \(\left( {ABCD} \right)\) và mp \(\left( {A'B'C'D'} \right)\); mp \(\left( {ADD'A'} \right)\) và mp \(\left( {BCC'B'} \right)\)