Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng có hai đáy là những đa giác, các mặt bên là những hình chữ nhật.

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật, các cạnh bên vuông góc với đáy nên chúng song song và bằng nhau.

Chỉ có đáp án D sai.

Vì \(AB \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình thang vuông) và \(AB \bot AA'\) (tính chất lăng trụ đứng)

Nên \(AB \bot \left( {ADD'A'} \right)\), tương tự ta có: \(A'B' \bot \left( {ADD'A'} \right)\)

Do đó \(AB,A'B'\) vuông góc với mp \(\left( {ADD'A'} \right)\).

Vì \(CC'//BB',DD'//AA'\) nên các đường thẳng \(DD',CC'\) song song với mp \(\left( {ABB'A'} \right).\)

Vì \(CC'//BB',DD'//AA'\) nên các đường thẳng \(DD',CC'\) song song với mp \(\left( {ABB'A'} \right).\)

Tam giác \(ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = {13^2} = B{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Pytago đảo)

nên \(AC \bot AB\). Do đó \(A'C' \bot A'B'\).

Vì \(AC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(AB\) và \(AA'\) nên \(AC \bot mp \,(ABB'A')\) do đó \(mp \,(A'B'C') \bot mp\,(ABB'A')\).

Vậy có ba mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là mp \(\left( {ABC} \right)\), mp \(\left( {A'B'C'} \right)\), mp \(\left( {ACC'A'} \right).\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác \(ABC\) ta được: \(B{C^2} = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\,cm\).

Ta có:

Chu vi đáy \({P_{ABC}} = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24\,cm\)

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \dfrac{{AB.AC}}{2} = \dfrac{{6.8}}{2} = 24\,c{m^2}\).

Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng: \({S_{xq}} = 24.12 = 288\,c{m^2}\).

Diện tích toàn phần: \({S_{tp}} = 288 + 2.24 = 336\,c{m^2}\).

Đặt \(AA' = x\).

Diện tích xung quanh bằng:

\(2\left( {10 + 15} \right).x = 50x\left( {c{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích hai đáy bằng: \(2.10.15 = 300\left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có: \(50x = 300 \Leftrightarrow x = 6\).

Vậy chiều cao bằng \(6cm\).

Vì \(ABB'A'\) là hình vuông nên \(AB = BB' = 2cm\).

Vì tam giác \(ABC\) đều nên chu vi đáy bằng \(3AB = 3.2 = 6cm\).

Diện tích xung quanh bằng \(6.2 = 12\left( {c{m^2}} \right)\).

Gọi \(a\) và \(b\) là các kích thước của đáy.

Ta có: \(V = 5ab\) nên \(V\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \) \(ab\) lớn nhất

\({S_{xq}} = 100\) nên \(2\left( {a + b} \right).5 = 100\) hay \(a + b = 10\).

Ta có: \(ab = a\left( {10 - a} \right) =  - {a^2} + 10a =  - {\left( {a - 5} \right)^2} + 25 \le 25\).

Suy ra \(V = 5ab \le 5.25 = 125\).

Thể tích lớn nhất bằng \(125\)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) khi \(a = b = 5\), tức là các cạnh đáy bằng \(5\) cm.

Vì đáy \(ABCD\) là hình thoi nên diện tích đáy bằng: \(24.10:2 = 120\,(c{m^2})\)

Từ đó diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = 1020 - 120.2 = 780\,(c{m^2})\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB \bot CD;\,OD = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{24}}{2} = 12\,cm\); \(OA = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\,cm\).

Nên độ dài cạnh đáy bằng \(AD = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}}  = 13\,(cm)\) (định lý Pytago)

Chu vi đáy bằng: \(13.4 = 52\,(cm)\)

Chiều cao hình lăng trụ bằng:

\(780:52 = 15\,(cm)\).

Hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có: \(AC' = 3\,dm;\,AC = 2\,dm\).

Xét tam giác \(ACC'\) vuông tại \(C\), theo định lý Pytago ta có: \(A{C^2} = C'{A^2} - C'{C^2} = {3^2} - {2^2} = 5\).

Vì diện tích xung quanh là \(12\,d{m^2}\) nên chu vi đáy bằng \(12:2 = 6\left( {dm} \right)\)

Đặt \(AD = a,{\rm{ }}DC = b\)

Vì chu vi đáy là \(6\,dm \Rightarrow \) \(2\left( {a + b} \right) = 6 \Leftrightarrow a + b = 3\) (1) và \({a^2} + {b^2} = A{C^2} = 5\) (2)

(định lý Pyatgo cho tam giác vuông\(ADC\)) 

Từ (1) và (2) suy ra \({a^2} + (3 - {a^2}) = 5\)

Rút gọn được \({a^2} - 3a + 2 = 0\) hay \((a - 1)(a - 2) = 0\)

Giả sử \(a \ge b\) thì ta tìm được: a = 2 suy ra b = 1.

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật bằng: \(12 + 2.1.2 = 16\,(d{m^3})\).

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AD\) là trung tuyến cũng là đường cao trong tam giác \( \Rightarrow DB = DC = \dfrac{8}{2} = 4\left( {cm} \right)\) và \(AD \bot BC\).

Tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) nên \(A{D^2} + D{C^2} = A{C^2} \Leftrightarrow A{D^2} + {4^2} = {5^2}\)\( \Leftrightarrow A{D^2} = 9 \Leftrightarrow AD = 3\)

Diện tích đáy: \(S = \dfrac{{3.8}}{2} = 12\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Thể tích lăng trụ đứng là: \(V = S.h = 12.20 = 240\,c{m^3}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = 36:6 = 6\left( {c{m^2}} \right)\).

Độ dài cạnh \(AC\) là: \(\dfrac{{2S}}{{AB}} = \dfrac{{2.6}}{4} = 3\left( {cm} \right)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25\)\( \Rightarrow BC = 5\left( {cm} \right)\).

Ta có: \(V = Sh \Rightarrow h = \dfrac{V}{S}\).

Hình lăng trụ đứng đã cho được tạo thành từ 2 hình hộp chữ nhật. Hình hộp chữ nhật thứ nhất có kích thước là

\(3cm,1cm,2cm;\) hình hộp chữ nhật thứ hai có kích thước là: \(2cm,5cm,2cm.\)

Thể tích hình hộp chữ nhật thứ nhất là: \({V_1} = 3.1.2 = 6\;c{m^3}\)

Thể tích hình hộp chữ nhật thứ hai là: \({V_2} = 2.5.2 = 20\;c{m^3}\)

Thể tích hình lăng trụ đứng là: \(V = {V_1} + {V_2} = 6 + 20 = 26\;c{m^3}\)

Thể tích của hình lăng trụ đứng là: \(V = 8.3.2 = 48\;c{m^3}\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AH \bot BC\) . Ta có \(BH = 4;\,AB = 5\,m\)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = 3\,m\)

Diện tích đáy của hình lăng trụ bằng:

\(S = 5.8 + \dfrac{{8.3}}{2} = 52\left( {{m^2}} \right)\)

Thể tích nhà kho bằng:

\(V = 52.20 = 1040\left( {{m^3}} \right)\).

Thể tích hình lăng trụ đứng \(ABC.DEF\) là: \(V = {S_d}.h = 24.12 = 288c{m^3}_{}\).

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ \(ABC.DEF\) là:

            \({S_{xq}} = (6 + 8 + 10).12 = 288\;c{m^2}\)

Diện tích đáy \(ABC\) của hình lăng trụ \(ABC.DEF\) là:

            \({S_d} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.6.8 = 24\;c{m^2}\)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ \(ABC.DEF\) là:

            \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d} = 288 + 2.24 = 336c{m^2}\).