Phân tích đa thức \({x^2} - 7x + 10\) thành nhân tử ta được
Ta có \({x^2} - 7x + 10 = {x^2} - 2x - 5x + 10\)\( = x\left( {x - 2} \right) - 5\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Phân tích đa thức \(m.{n^3} - 1 + m - {n^3}\) thành nhân tử, ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,m.{n^3} - 1 + m - {n^3}\\ = \left( {m{n^3} - {n^3}} \right) + \left( {m - 1} \right)\\ = {n^3}\left( {m - 1} \right) + \left( {m - 1} \right)\\ = \left( {{n^3} + 1} \right)\left( {m - 1} \right)\\ = \left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)\left( {m - 1} \right).\end{array}\)
Phân tích đa thức \({x^8} + 4\) thành hiệu hai bình phương, ta được
Ta có \({x^8} + 4 = {\left( {{x^4}} \right)^2} + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}\)\( = {\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}\)
Điền vào chỗ trống \(4{x^2} + 4x - {y^2} + 1 = \left( {...} \right)\left( {2x + y + 1} \right)\):
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4{x^2} + 4x - {y^2} + 1\\ = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2.2x + 1} \right) - {y^2}\\ = {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {2x + 1 - y} \right)\left( {2x + 1 + y} \right)\\ = \left( {2x - y + 1} \right)\left( {2x + y + 1} \right).\end{array}\)
Vậy đa thức trong chỗ trống là \(2x - y + 1\).
Chọn câu đúng nhất.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 4x - 4 = \left( {{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {4x + 4} \right)\\ = {x^2}\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\end{array}\)
nên A đúng.
* \({x^2} + 10x + 24 \)\(={x^2} + 6x + 4x + 24 = x\left( {x + 6} \right) + 4\left( {x + 6} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\) nên B đúng.
Vậy cả A, B đều đúng.
Chọn câu sai.
Ta có
+) Đáp án A đúng vì:
\(\begin{array}{l}16{x^3} - 54{y^3} = 2\left( {8{x^3} - 27{y^3}} \right)\\ = 2\left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} - {{\left( {3y} \right)}^3}} \right]\\ = 2\left( {2x - 3y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right]\\ = 2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right).\end{array}\)
+) Đáp án B đúng vì:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 9 + \left( {2x + 7} \right)\left( {3 - x} \right)\\ = \left( {{x^2} - 9} \right) + \left( {2x + 7} \right)\left( {3 - x} \right)\\ = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)\\ = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3 - 2x - 7} \right)\\ = \left( {x - 3} \right)\left( { - x - 4} \right)\end{array}\)
+) Đáp án C đúng vì:
\(\begin{array}{l}\;{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\\ = {x^2}\left( {{x^2} - 2.2.x + {2^2}} \right) = {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}.\end{array}\)
+) Đáp án D sai vì:
\(\begin{array}{l}\;4{x^3} - 4{x^2} - x + 1\\ = \left( {4{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {x - 1} \right)\\ = 4{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\\ = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right).\end{array}\)
Cho \(\left( A \right):\;16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right){\left( {4x + 1} \right)^2}\left( {x + y} \right)\) và \(\left( B \right):\;2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy = 2xy\left( {x + y - 1} \right)\left( {x - y + 1} \right)\) . Chọn câu đúng.
Ta có
\(\begin{array}{l}\left( A \right):\;16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y\\ = 16{x^4}\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)\\ = \left( {16{x^4} - 1} \right)\left( {x - y} \right)\\ = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^4} - 1} \right]\left( {x - y} \right)\\ = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {\left( {2{x^2}} \right) + 1} \right]\left( {x - y} \right)\\ = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right).\end{array}\)
Nên \(\left( A \right)\) sai.
Và \(\left( B \right):\;2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy\)
\( = 2xy\left( {{x^2} - {y^2} - 2y - 1} \right) = 2xy\left[ {{x^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right)} \right]\) \( = 2xy\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] = 2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right).\)
Nên \(\left( B \right)\) sai.
Vậy cả (A) và (B) đều sai.
Cho \({\left( {{x^2} - 4x} \right)^2} + 8\left( {{x^2} - 4x} \right) + 15 = \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + ...} \right).\) Điền vào dấu \(...\) số hạng thích hợp
Đặt \(t = {x^2} - 4x\) ta được \({t^2} + 8t + 15 = {t^2} + 3t + 5t + 15 = t\left( {t + 3} \right) + 5\left( {t + 3} \right) = \left( {t + 5} \right)\left( {t + 3} \right)\)\( = \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)
\( = \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\left( {{x^2} - 3x - x + 3} \right)\)\( = \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\left( {x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)} \right)\)\( = \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)
Vậy số cần điền là \( - 3.\)
Ta có \((x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27 = \left( {{x^2} + 3x + a} \right)\left( {{x^2} + 3x + b} \right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên . Khi đó \(a + b\) bằng
Gọi \(T = (x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27\)\( = \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \right].\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)} \right] - 27\)\( = \left( {{x^2} + 3x - 4} \right).\left( {{x^2} + 3x - 10} \right) - 27\)
Đặt \({x^2} + 3x - 7 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 = t + 3\\{x^2} + 3x - 10 = t - 3\end{array} \right.\) từ đó ta có \(T = \left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right) - 27 = {t^2} - 9 - 27 = {t^2} - 36 = \left( {t - 6} \right)\left( {t + 6} \right)\)
Thay \(t = {x^2} + 3x - 7\) ta được \(T = \left( {{x^2} + 3x - 7 - 6} \right)\left( {{x^2} + 3x - 7 + 6} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 3x - 13} \right)\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)\) suy ra \(a = - 13;b = - 1\, \Rightarrow a + b = - 14\)
Tìm x biết \({x^3} - {x^2} - x + 1 = 0\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - {x^2} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = - 1\).
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \(2\left( {x + 3} \right) - {x^2} - 3x = 0\).
\(\begin{array}{l}\;2\left( {x + 3} \right) - {x^2} - 3x = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} + 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x + 3} \right) - x\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có hai giá trị \(x\) thỏa mãn.
Gọi \({x_0} < 0\) là hai giá trị thỏa mãn \({x^4} + 2{x^3} - 8x - 16 = 0\) . Chọn câu đúng.
Ta có
\(\begin{array}{l}\;{x^4} + 2{x^3} - 8x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 2{x^3}} \right) - \left( {8x + 16} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^3}\left( {x + 2} \right) - 8\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 8} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 8 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Mà \({x_0} < 0\) nên \({x_0} = - 2\) suy ra \( - 3 < {x_0} < - 1\)
Gọi \({x_1};{x_2}\,\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\) là hai giá trị thỏa mãn \({x^2} + 3x - 18 = 0\). Khi đó \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\) bằng
Ta có
\(\begin{array}{l}\;{x^2} + 3x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {6x - 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 6 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \({x_1} = 3;{x_2} = - 6\,\left( {do\,\,{x_1} > {x_2}} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{3}{{ - 6}} = - \dfrac{1}{2}\) .
Giá trị của biểu thức \(B = {x^3} + {x^2}y - x{y^2} - {y^3}\) tại \(x = 3,25,\,y = 6,75\) là
Ta có \(B = {x^3} + {x^2}y - x{y^2} - {y^3}\)\( = {x^2}\left( {x + y} \right) - {y^2}\left( {x + y} \right) = \left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = \left( {x - y} \right){\left( {x + y} \right)^2}\)
Thay \(x = 3,25,\,y = 6,75\) ta được \(B = \left( {3,25 - 6,75} \right){\left( {3,25 + 6,75} \right)^2} = - 3,{5.10^2} = - 350\) .
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^3} + {x^2} = 36\) là
Ta có \({x^3} + {x^2} = 36\)\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 36 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} - 12x + 12x - 36 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) + 4x\left( {x - 3} \right) + 12\left( {x - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 4x + 12} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\{x^2} + 4x + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\{x^2} + 4x + 4 + 8 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\{\left( {x + 2} \right)^2} = - 8\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy có 1 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(x = 3\) .
Cho biểu thức \(D = a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2abc\) . Phân tích \(D\) thành nhân tử và tính giá trị của \(C\) khi \(a = 99;b = - 9;c = 1\).
Ta có: \(D = a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2abc\)
\( = a{b^2} + a{c^2} - b{c^2} - b{a^2} + c{a^2} + c{b^2} - 2abc\) \( = \left( {a{b^2} - {a^2}b} \right) + \left( {a{c^2} - b{c^2}} \right) + \left( {{a^2}c - 2abc + {b^2}c} \right)\)
\( = ab\left( {b - a} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right) + c\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\)
\( = - ab\left( {a - b} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right) + c{\left( {a - b} \right)^2}\)
\( = \left( {a - b} \right)\left( { - ab + {c^2} + c\left( {a - b} \right)} \right)\)
\(\begin{array}{l} = \left( {a - b} \right)\left( { - ab + {c^2} + ac - bc} \right)\\ = \left( {a - b} \right)\left[ {\left( { - ab + ac} \right) + \left( {{c^2} - bc} \right)} \right]\\ = \left( {a - b} \right)\left[ {a\left( {c - b} \right) + c\left( {c - b} \right)} \right]\\ = \left( {a - b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {c - b} \right)\end{array}\)
Với \(a = 99;b = - 9;c = 1\) ,ta có:
\(D = \left( {99 - \left( { - 9} \right)} \right)\left( {99 + 1} \right)\left( {1 - \left( { - 9} \right)} \right)\)\( = 108.100.10 = 108000\)
Giá trị của biểu thức \(E = 2{x^3} - 2{y^3} - 3{x^2} - 3{y^2}\) khi \(x - y = 1\) là
\(E = 2{x^3} - 2{y^3} - 3{x^2} - 3{y^2}\)\( = 2\left( {{x^3} - {y^3}} \right) - 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
Vì \(x - y = 1\) nên \(E = 2\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) - 3{x^2} - 3{y^2} \)\(= - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) = - {\left( {x - y} \right)^2} = - 1\) .
Đa thức \(M = ab\left( {a + b + c} \right) - bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right)\) được phân tích thành
Thêm bớt \(abc\) vào \(M\) ta có
Ta có \(M = ab\left( {a + b + c} \right) - bc\left( {b + c} \right) - abc + ca\left( {c + a} \right) + abc\) \( = ab\left( {a + b + c} \right) - bc\left( {a + b + c} \right) + ac\left( {a + b + c} \right)\)
\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab - bc + ac} \right)\)
Phân tích đa thức \({x^2} - 6x + 8\) thành nhân tử ta được
Ta có \({x^2} - 6x + 8 = {x^2} - 4x - 2x + 8 = x\left( {x - 4} \right) - 2\left( {x - 4} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Đa thức \(25 - {a^2} + 2ab - {b^2}\) được phân tích thành
Ta có \(25 - {a^2} + 2ab - {b^2}\)\( = 25 - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) \)\(= {5^2} - {\left( {a - b} \right)^2} \)\(= \left( {5 + a - b} \right)\left( {5 - a + b} \right)\) .
