Phân thức đại số

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .

+ Điều kiện: ${x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1.$

+ Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} = 0 \Rightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( L \right)\\x =  - 1\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(x =  - 1\) .

+ Điều kiện: $3 - 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne 3 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{3}{2}$.

+ Ta có $\dfrac{{5x + 4}}{{3 - 2x}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \left( {5x + 4} \right).2 = 3.\left( {3 - 2x} \right)$\( \Leftrightarrow 10x + 8 = 9 - 6x \Leftrightarrow 10x + 6x = 9 - 8\)

\( \Leftrightarrow 16x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{16}}\,\,\left( {TM} \right)\).

Vậy \(x = \dfrac{1}{{16}}\) .

Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\)  và \(\dfrac{C}{D}\), ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$ .

Ta có: \(\dfrac{X}{Y} = \dfrac{{X\left( { - 1} \right)}}{{Y\left( { - 1} \right)}} = \dfrac{{ - X}}{{ - Y}}\).

Ta có: \(\dfrac{{ - 3}}{{6x + 24}}\) có nghĩa khi \(6x + 24 \ne 0 \Leftrightarrow 6x \ne  - 24 \Leftrightarrow x \ne  - 4\).

Phân thức \(\dfrac{{13 - 4x}}{{{x^3} + 64}}\) xác định khi \({x^3} + 64 \ne 0 \Leftrightarrow {x^3} \ne  - 64 \Leftrightarrow {x^3} \ne {\left( { - 4} \right)^3} \Leftrightarrow x \ne  - 4\).

Phân thức \(\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4x + 5}}\) có nghĩa khi \({x^2} + 4x + 5 \ne 0\) \( \Leftrightarrow \) \({x^2} + 4x + 4 + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne  - 1\) (luôn đúng vì \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0 >  - 1\) với mọi \(x\))

Vậy biểu thức đã cho xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với đa thức \(3x{\left( {x + y} \right)^2}\) ta được: \(\dfrac{{x + y}}{{3x}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right).3x{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{3x.3x{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \dfrac{{3x{{\left( {x + y} \right)}^3}}}{{9{x^2}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \dfrac{{{x^2} - 3x - x + 3}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right):\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}:\left( {x - 3} \right)}}\)

\( = \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}}\)

Ta có: \(\dfrac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}} = \dfrac{{ - \left( {{x^2} - 3x} \right)}}{{ - \left( {9 - 3x} \right)}} = \dfrac{{ - {x^2} + 3x}}{{3x - 9}}\) nên A đúng.

* \(\dfrac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}} = \dfrac{{{x^2}\left( {x - 3} \right)}}{{ - 3\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{{x^2}\left( {x - 3} \right):\left( {x - 3} \right)}}{{ - 3\left( {x - 3} \right):\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - {x^2}}}{3}\)\( \ne \dfrac{{{x^2}}}{3}\) nên B sai.

* \(\dfrac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}} = \dfrac{{ - {x^2}}}{3} = \dfrac{{ - {x^2}\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {x^3} - {x^2}}}{{3x + 3}}\) nên C đúng.

* \(\dfrac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}} = \dfrac{{ - {x^2}}}{3} = \dfrac{{ - {x^2}\left( { - 2x} \right)}}{{3\left( { - 2x} \right)}} = \dfrac{{2{x^3}}}{{ - 6x}} = \dfrac{{ - 2{x^3}}}{{6x}}\) nên D đúng.

+) Đáp án A: \(\dfrac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x + 3}} \Rightarrow \) A đúng.

+) Đáp án B: \(\dfrac{{3x - 3}}{{3x}} = \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \dfrac{{x - 1}}{x} \Rightarrow \) B đúng.

+) Đáp án C: \(\dfrac{{{x^2} - 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{3 - x}}{{x + 3}} \Rightarrow \) C đúng.

+) Đáp án D: \(\dfrac{{x({x^2} - 4)}}{{2 - x}} = \dfrac{{x(x - 2)(x + 2)}}{{ - (x - 2)}} =  - x(x + 2) \Rightarrow \) D sai.

Ta có: \(\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{5{{(x - y)}^2}}}{{5x(x - y)}} = \dfrac{{x - y}}{x} \Rightarrow \dfrac{{x - y}}{x} = \dfrac{{x - y}}{P} \Rightarrow P = x.\)

Ta có: \(\dfrac{{5{x^2} - 13x + 6}}{A} = \dfrac{{5x - 3}}{{2x + 5}}\)\( \Rightarrow A.\left( {5x - 3} \right) = \left( {5{x^2} - 13x + 6} \right)\left( {2x + 5} \right)\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {5{x^2} - 13x + 6} \right)\left( {2x + 5} \right):\left( {5x - 3} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {5{x^2} - 10x - 3x + 6} \right)\left( {2x + 5} \right):\left( {5x - 3} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {5x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)} \right]\left( {2x + 5} \right):\left( {5x - 3} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {5x - 3} \right)\left( {x - 2} \right):\left( {5x - 3} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 5} \right)\\\,\,\,\,\, = 2{x^2} + 5x - 4x - 10\\\,\,\,\,\, = 2{x^2} + x - 10.\end{array}\)

Vậy \(A = 2{x^2} + x - 10\).   

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1 \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ne 0\left( {ld} \right)\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\) .

Ta có: \(\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\)  

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow  - 2 = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x =  - 4 \Leftrightarrow x =  - 2\left( {tm} \right)\)

Nên hai phân thức trên bằng nhau khi \(x =  - 2\).

Ta có: \(\dfrac{{9 - 4x}}{{ - 3}} > 0 \Rightarrow 9 - 4x < 0\) (vì \( - 3 < 0\) )

Suy ra: \(4x > 9 \Leftrightarrow x > \dfrac{9}{4}\)

Ta có: \({x^4} - 4{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)

Điều kiện: \({x^4} - 4{x^2} \ne 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne 0\\x - 2 \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  \pm 2\end{array} \right.\)

Ta có: \(B = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4} - 17{x^2} + 16}}{{{x^4} - 4{x^2}}} = 0 \Rightarrow {x^4} - 17{x^2} + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 16{x^2} + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 16\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 16} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 16\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\left( {TM} \right)\\x =  - 4\,\left( {TM} \right)\\x = 1\,\,\left( {TM} \right)\\x =  - 1\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có bốn giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài \(x = 4;\,x =  - 4;x = 1;x =  - 1\).

Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\dfrac{2}{{x{y^3}}}\) với \({x^4}{y^2}\left( {x - y} \right)\) ta được:

Ta có: \(\dfrac{2}{{x{y^3}}} = \dfrac{{2.{x^4}{y^2}\left( {x - y} \right)}}{{x{y^3}.{x^4}{y^2}\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{2{x^5}{y^2} - 2{x^4}{y^3}}}{{{x^5}{y^2}\left( {x - y} \right)}}\)

Tính chất cơ bản của phân thức đại số

+   \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ ) nên A đúng.

+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\)  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ ) nên B đúng.

+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$ nên C đúng.

Đáp án D sai vì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 1}}{{3 + 1}}\) .

Ta có \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có nghĩa khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .