Tính diện tích xung quanh hình chóp

+ Kẻ SK vuông góc với BC (K∈BC)
+ Vì tam giác SBC là tam giác cân tại S nên SK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
⇒CK=KB=12BC=32cm
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SKB vuông tại K:
SK2+KB2=SB2⇔SK2=SB2−KB2=52−(32)2=914⇒SK=√912cm.
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABCD là: Sxq=4.SSBC=4.12.BC.SK=4.12.3.√912=3√91cm2
Tính bình phương đường cao SH của hình chóp.
Lấy H là giao của 2 đường chéo hình vuông AC và BD, khi đó ta có SH là đường cao của hình chóp đều.
+) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại B:
AB2+BC2=AC2⇔AC2=32+32=18⇒AC=√18=3√2cm
⇒HC=12AC=12.3√2=3√22cm (Vì H là trung điểm AC)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SHC vuông tại H có:
SH2+HC2=SC2⇔SH2=SC2−HC2=52−(3√22)2=824=412
Vậy SH2=412.
Tính bình phương đường cao SH của hình chóp.
Lấy H là giao của 2 đường chéo hình vuông AC và BD, khi đó ta có SH là đường cao của hình chóp đều.
+) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại B:
AB2+BC2=AC2⇔AC2=32+32=18⇒AC=√18=3√2cm
⇒HC=12AC=12.3√2=3√22cm (Vì H là trung điểm AC)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SHC vuông tại H có:
SH2+HC2=SC2⇔SH2=SC2−HC2=52−(3√22)2=824=412
Vậy SH2=412.
Hình lăng trụ đứng tam giác có

Quan sát hình vẽ ta thấy hình lăng trụ đứng tam giác có 5 mặt, 6 đỉnh và 9 cạnh.
Quan sát các hình vẽ dưới đây và cho biết hình nào là hình chóp lục giác?

Hình 1 là hình lăng trụ có hai đáy là hai lục giác đều, hình 3 là hình chóp tam giác, hình 4 là hình chóp tứ giác.
Hình 2 là hình chóp lục giác vì có đáy là hình lục giác và các cạnh bên giao nhau tại một điểm.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′, với mặt đáy ABCD là hình chữ nhật. Khi đó:

Vì ABCD.A′B′C′D′ là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật nên suy ra ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp chữ nhật ⇒AA′=CC′ (cùng bằng BB′)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′. Điểm M thuộc đoạn thẳng BD. Khi đó:

Vì M∈BD mà BD⊂(ABCD) nên M thuộc mặt phẳng (ABCD).
Hình chóp có 8 cạnh thì đáy là hình gì?
Vì hình chóp có số cạnh gấp đôi số cạnh của đa giác ở đáy nên hình chóp có 8 cạnh thì đa giác đáy có 8:2=4 cạnh. Hay đáy là tứ giác.
Thể tích của hình lập phương trong hình là:

Thể tích hình lập phương V=63=216cm3
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB=8cm, đường cao SO=10cm. Hỏi thể tích của hình chóp đều là bao nhiêu?

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh 8cm. Nên thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD là
⇒V=13.SABCD.SO=13.82.10=6403cm3.
Tính diện tích xung quanh của một hình lăng trụ đứng có đáy là hình ngũ giác đều cạnh 8 cm, biết rằng chiều cao của hình lăng trụ đứng là 5 cm.
Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng là 8.5 (cm)
Diện tích xung quanh là
Sxq=8.5.5=200cm2
Tính diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều dưới đây:

Mỗi mặt bên của hình chóp là tam giác có chiều cao 10 cm và cạnh đáy 20 cm.
Diện tích một mặt bên của hình chóp là 12.10.20=100(cm2)
Diện tích xung quanh hình chóp là Sxq=4.100=400(cm2)
S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 400 + 20.20 = 800\;c{m^2}
Cho lăng trụ tam giác dưới đây. Tính thể tích hình lăng trụ đó?


Kí hiệu như hình vẽ.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông tại A.
\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {13^2} - {12^2} = 25\\ \Rightarrow AC = 5\;cm\end{array}
Vậy thể tích của hình lăng trụ đã cho là:
V = {S_đ}.h = \dfrac{1}{2}AC.AB.BE = \dfrac{1}{2}.5.12.18 = 540\;c{m^2}
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A'C = \sqrt 3 . Tính thể tích của hình lập phương.

Xét hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A'C = AA'.\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow AA' = a
Vậy thể tích hình lập phương là V = {a^3} .
Cho hình lăng trụ đứng ABC{\rm{D}}.A'B'C'D' có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A, B \left( {A{\rm{D//}}BC} \right) và BC = 12 cm, AD = 16 cm, CD = 5 cm, đường cao {\rm{AA}}' = 6\;cm. Thể tích của hình lăng trụ là:
Trong mp \left( {ABCD} \right) kẻ CH vuông góc với AD tại H.
Khi đó ta có ABCH là hình chữ nhật. \left( {do\;\;\widehat A = \widehat B = \widehat H = 90^\circ } \right)
\Rightarrow BC = AH = 12\;cm \Rightarrow H{\rm{D}} = A{\rm{D}} - AH = 16 - 12 = 4\;cm
Xét tam giác HCD vuông tại H ta có:
H{C^2} + H{{\rm{D}}^2} = C{{\rm{D}}^2} \Leftrightarrow H{C^2} = C{{\rm{D}}^2} - H{{\rm{D}}^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow HC = 3\;cm
Vậy thể tích của hình lăng trụ là:
V{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABCD}}.h{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABCD}}.AA' = \dfrac{1}{2}AA'.\left( {BC + AD} \right).CH = \dfrac{1}{2}.3.(12 + 16).6 = 252\;c{m^3}
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều, M là trung điểm của BC, {\rm{AA}}' = AM = a. Thể tích của lăng trụ bằng:

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ABC.
Gọi chiều dài của cạnh tam giác ABC là x.\,\,\left( {x > 0} \right)
\Rightarrow BM = MC = \dfrac{x}{2},\;AB = AC = BC = x
Xét tam giác vuông MAC, ta có:
A{M^2} + M{C^2} = A{C^2} \Leftrightarrow {a^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4} = {x^2} \Leftrightarrow \dfrac{{3{{\rm{x}}^2}}}{4} = {a^2} \Rightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a
Vậy thể tích của hình lăng trụ là:
V{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABC}}.h{\rm{ }} =\dfrac{1}{2}.AM.BC.AA' = \dfrac{1}{2}a.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}
Hình hộp chữ nhật ABC{\rm{D}}.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và diện tích hình chữ nhật A{\rm{D}}C'B' bằng 2{{\rm{a}}^2}, diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?

Ta có A{\rm{D}}C'B' là hình chữ nhật.
\Rightarrow {S_{A{\rm{D}}C'B'}} = A{\rm{D}}.DC' = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow a.DC' = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow DC' = 2{\rm{a}}
Xét tam giác vuông CC'D ta có:
CC{'^2} + C{{\rm{D}}^2} = C'{D^2} \Leftrightarrow CC{'^2} + {a^2} = {(2{\rm{a}})^2} \Leftrightarrow CC{'^2} = 4{{\rm{a}}^2} - {a^2} = 3{{\rm{a}}^2} \Rightarrow CC' = a\sqrt 3
Vậy diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:
Sxq = 2.p.CC' = 2.\dfrac{{4{\rm{a}}}}{2}.a\sqrt 3 = 4{{\rm{a}}^2}\sqrt 3
Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao là 4cm và độ dài cạnh đáy là 3cm.
Hình chóp tứ giác đều thì có đáy là hình vuông.
Do vậy, hình chóp có diện tích đáy là {3^2} = 9\,\left( {c{m^2}} \right)
Thể tích của hình chóp đều là: V = \dfrac{1}{3}S.h = \dfrac{1}{3}.9.4 = 12\,\left( {c{m^3}} \right)
Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật có bình phương độ dài đường chéo chính là 77 ; kích thước đáy là 4 và 6.
Gọi độ dài đường cao hình hộp chữ nhật là h\,\,\left( {h > 0} \right)
Ta có: {h^2} + {4^2} + {6^2} = 77 \Rightarrow {h^2} = 25 \Rightarrow h = 5 cm.
Vậy diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:
S_{xq} = 2(4 + 6).5 = 100\,\,(cm^2)
Cho hình lăng trụ đứng đáy là hình thoi có hai đường chéo lần lượt là 8cm và 10cm. Tính chiều cao của lăng trụ đứng biết thể tích của lăng trụ đứng là 360c{m^3} .
Diện tích đáy hình thoi là: \dfrac{1}{2}.8.10 = 40(c{m^2})
Vì V = {S_đ}.h \Rightarrow h = \dfrac{V}{{{S_đ}}} nên chiều cao của lăng trụ đứng là: 360:40 = 9(cm)