Bài tập ôn tập chương 8

+ Kẻ $SK$ vuông góc với $BC$ (\(K \in BC\))

+ Vì tam giác $SBC$  là tam giác cân tại $S$ nên $SK$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow CK = KB = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{3}{2}\;cm\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $SKB$ vuông tại $K:$

\(\begin{array}{l}\;\;\;S{K^2} + K{B^2} = S{B^2}\\ \Leftrightarrow S{K^2} = S{B^2} - K{B^2} = {5^2} - {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{{91}}{4}\\ \Rightarrow SK = \dfrac{{\sqrt {91} }}{2}\;cm.\end{array}\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp đều $S.ABCD$ là: \({S_{xq}} =4.S_{SBC}= 4.\dfrac{1}{2}.BC.SK\)\(=4.\dfrac{1}{2}.3.\dfrac{{\sqrt {91} }}{2} = 3\sqrt {91} \;c{m^2}\)

Lấy H là giao của 2 đường chéo hình vuông $AC$ và $BD,$ khi đó ta có $SH$ là đường cao của hình chóp đều.

+) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABC$ vuông tại $B:$

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {3^2} + {3^2} = 18\\ \Rightarrow AC = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 \;cm\end{array}\)

\( \Rightarrow HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.3\sqrt 2  = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\;cm\) (Vì H là trung điểm AC)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SHC vuông tại H có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\\ \Leftrightarrow S{H^2} = S{C^2} - H{C^2} = {5^2} - {\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{82}}{4} = \dfrac{{41}}{2}\end{array}\)

Vậy \(S{H^2} = \dfrac{{41}}{2}.\)

Lấy H là giao của 2 đường chéo hình vuông $AC$ và $BD,$ khi đó ta có $SH$ là đường cao của hình chóp đều.

+) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABC$ vuông tại $B:$

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {3^2} + {3^2} = 18\\ \Rightarrow AC = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 \;cm\end{array}\)

\( \Rightarrow HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.3\sqrt 2  = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\;cm\) (Vì H là trung điểm AC)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SHC vuông tại H có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\\ \Leftrightarrow S{H^2} = S{C^2} - H{C^2} = {5^2} - {\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{82}}{4} = \dfrac{{41}}{2}\end{array}\)

Vậy \(S{H^2} = \dfrac{{41}}{2}.\)

Quan sát hình vẽ ta thấy hình lăng trụ đứng tam giác có \(5\)  mặt, \(6\) đỉnh và \(9\) cạnh.

Hình 1 là hình lăng trụ có hai đáy là hai lục giác đều, hình 3 là hình chóp tam giác, hình 4 là hình chóp tứ giác.

Hình 2 là hình chóp lục giác vì có đáy là hình lục giác và các cạnh bên giao nhau tại một điểm.

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật nên suy ra \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật $ \Rightarrow {\rm{AA}}' = CC'$ (cùng bằng $BB'$)

Vì \(M \in BD\) mà $BD \subset (ABCD)$ nên  \(M \) thuộc mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Vì hình chóp có số cạnh gấp đôi số cạnh của đa giác ở đáy nên hình chóp có \(8\) cạnh thì đa giác đáy có \(8:2 = 4\) cạnh. Hay đáy là tứ giác.

Thể tích hình lập phương \(V = {6^3} = 216\;c{m^3}\)

Tứ giác $ABCD$ là hình vuông cạnh $8cm$. Nên thể tích hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ là

\( \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO\)\( = \dfrac{1}{3}{.8^2}.10 = \dfrac{{640}}{3}\;c{m^3}.\)

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng là $8.5$ (cm)

Diện tích xung quanh là

\({S_{xq}} = 8.5.5 = 200\;c{m^2}\)

Mỗi mặt bên của hình chóp là tam giác có chiều cao 10 cm và cạnh đáy 20 cm.

Diện tích một mặt bên của hình chóp là $\dfrac{1}{2}.10.20=100\, (cm^2)$

Diện tích xung quanh hình chóp là $S_{xq}=4.100=400\, (cm^2)$

$S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} =$ \(400 + 20.20 = 800\;c{m^2}\)

Kí hiệu như hình vẽ.

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {13^2} - {12^2} = 25\\ \Rightarrow AC = 5\;cm\end{array}\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ đã cho là:

\(V = {S_đ}.h\)  \( = \dfrac{1}{2}AC.AB.BE = \dfrac{1}{2}.5.12.18 = 540\;c{m^2}\)

Xét hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)  có \(A'C = AA'.\sqrt 3  = a\sqrt 3  \Rightarrow AA' = a\)

Vậy thể tích hình lập phương là \(V = {a^3}\) .

Trong mp $\left( {ABCD} \right)$ kẻ $CH$ vuông góc với $AD$ tại $H.$

Khi đó ta có $ABCH$ là hình chữ nhật. \(\left( {do\;\;\widehat A = \widehat B = \widehat H = 90^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow BC = AH = 12\;cm \)\(\Rightarrow H{\rm{D}} = A{\rm{D}} - AH = 16 - 12 = 4\;cm\)

Xét tam giác $HCD$ vuông tại $H$ ta có:

\(H{C^2} + H{{\rm{D}}^2} = C{{\rm{D}}^2} \Leftrightarrow H{C^2} = C{{\rm{D}}^2} - H{{\rm{D}}^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow HC = 3\;cm\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ là:

$V{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABCD}}.h{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABCD}}.AA'$ \( = \dfrac{1}{2}AA'.\left( {BC + AD} \right).CH = \dfrac{1}{2}.3.(12 + 16).6 = 252\;c{m^3}\) \(\) 

Vì tam giác $ABC$  là tam giác đều nên $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác $ABC.$

Gọi chiều dài của cạnh tam giác $ABC$ là $x.\,\,\left( {x > 0} \right)$

\( \Rightarrow BM = MC = \dfrac{x}{2},\;AB = AC = BC = x\)

Xét tam giác vuông $MAC,$ ta có:

\(A{M^2} + M{C^2} = A{C^2} \Leftrightarrow {a^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4} = {x^2} \Leftrightarrow \dfrac{{3{{\rm{x}}^2}}}{4} = {a^2} \Rightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ là:

$V{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABC}}.h{\rm{ }} $ \(=\dfrac{1}{2}.AM.BC.AA' = \dfrac{1}{2}a.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có \(A{\rm{D}}C'B'\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow {S_{A{\rm{D}}C'B'}} = A{\rm{D}}.DC' = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow a.DC' = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow DC' = 2{\rm{a}}\)

Xét tam giác vuông \(CC'D\) ta có:

\(CC{'^2} + C{{\rm{D}}^2} = C'{D^2} \Leftrightarrow CC{'^2} + {a^2} = {(2{\rm{a}})^2} \Leftrightarrow CC{'^2} = 4{{\rm{a}}^2} - {a^2} = 3{{\rm{a}}^2} \Rightarrow CC' = a\sqrt 3 \)

Vậy diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

Sxq \( = 2.p.CC' = 2.\dfrac{{4{\rm{a}}}}{2}.a\sqrt 3  = 4{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 \)

Hình chóp tứ giác đều thì có đáy là hình vuông.
Do vậy, hình chóp có diện tích đáy là \({3^2} = 9\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Thể tích của hình chóp đều là: \(V = \dfrac{1}{3}S.h = \dfrac{1}{3}.9.4 = 12\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Gọi độ dài đường cao hình hộp chữ nhật là \(h\,\,\left( {h > 0} \right)\)  
Ta có: ${h^2} + {4^2} + {6^2} = 77 \Rightarrow {h^2} = 25 \Rightarrow h = 5$ cm.

Vậy diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:
$S_{xq} = 2(4 + 6).5 = 100\,\,(cm^2)$

Diện tích đáy hình thoi là: $\dfrac{1}{2}.8.10 = 40(c{m^2})$

Vì $V = {S_đ}.h \Rightarrow h = \dfrac{V}{{{S_đ}}}$   nên chiều cao của lăng trụ đứng là: $360:40 = 9(cm)$