Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ta biểu diễn $x > 8$ trên trục số như sau:

Bất phương trình dạng $ax + b > 0$ (hoặc $ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0$) trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$, gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Nên $\frac{3}{4} - y < 1$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ta có: $- x - 2 > 4$, chuyển $- 2$ từ vế trái sang vế phải ta được: $- x > 4 + 2$

Nhân cả hai vế với $- 1$ ta được: $x <  - 4 - 2$.

Ta có: $x + 3 < 1 \Leftrightarrow x + 3 + \left( { - 3} \right) < 1 + \left( { - 3} \right)$ $\Leftrightarrow x <  - 2$.

Giải bất phương trình ta được: $2x + 3 \le 9 \Leftrightarrow 2x \le 6 \Leftrightarrow x \le 3$

Biểu diễn trên trục số ta được:

Ta có:

$\begin{array}{l}2 + 5x \ge  - 1 - x\\ \Leftrightarrow 2 + 1 \ge  - x - 5x\\ \Leftrightarrow 3 \ge  - 6x\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le x\\ \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{2}\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x \ge  - \dfrac{1}{2}$.

Thay $x =  - 3$ vào từng bất phương trình ta được:

Đáp án A: $2.\left( { - 3} \right) + 1 =  - 5 >  - 5$ (vô lí) nên $x =  - 3$ không là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án B: $VT = 7 - 2.\left( { - 3} \right) = 13$, $VP = 10 - \left( { - 3} \right) = 13$ nên $13 \le 13$ (đúng) nên $x =  - 3$ là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án C: $VT = 3.\left( { - 3} \right) - 2 =  - 11$, $VP = 6 - 2.\left( { - 3} \right) = 12$ nên $- 11 \le 12$ (đúng) nên $x =  - 3$ là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án D: $VT =  - 3.\left( { - 3} \right) = 9$, $VP = 4.\left( { - 3} \right) + 3 =  - 9$ nên $9 >  - 9$ (đúng) nên $x =  - 3$ là nghiệm của bất phương trình.

Hình vẽ đã cho biểu diễn nghiệm $x > 3$.

* Giải từng bất phương trình ta được:

Đáp án A:

$\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - 2 < x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - x < 1 + 2\\ \Leftrightarrow x < 3\end{array}$

Loại A.

Đáp án B:

$\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) > x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - 2 > x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - x > 1 + 2\\ \Leftrightarrow x > 3\,\,\left( {TM} \right)\end{array}$

Chọn B.

Đáp án C:

$\begin{array}{l} - x > x - 6\\ \Leftrightarrow  - x - x >  - 6\\ \Leftrightarrow  - 2x >  - 6\\ \Leftrightarrow x < 3\end{array}$

Loại C.

Đáp án D:

$\begin{array}{l} - x \le x - 6\\ \Leftrightarrow  - x - x \le  - 6\\ \Leftrightarrow  - 2x \le  - 6\\ \Leftrightarrow x \ge 3\end{array}$

Loại D.

Ta có: $x - 1 = 3m + 4 \Leftrightarrow x = 3m + 5$

Theo đề bài ta có $x > 2 \Leftrightarrow 3m + 5 > 2$ $\Leftrightarrow 3m >  - 3 \Leftrightarrow m >  - 1$.

$\begin{array}{l}x - \dfrac{{x + 5}}{2} \le \dfrac{{x + 4}}{6} - \dfrac{{x - 2}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x - 3\left( {x + 5} \right)}}{6} \le \dfrac{{x + 4 - 3\left( {x - 2} \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow 3x - 15 \le  - 2x + 10\\ \Leftrightarrow 5x \le   25\\ \Leftrightarrow x \le  5\end{array}$

Vậy $x \le  5$

Nghiệm nguyên lớn nhất là $x =  5$.

$\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} < x + {x^2} - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 < x + {x^2} - 3\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) + 4 + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 3x + 7 < 0\\ \Leftrightarrow x <  - \dfrac{7}{3}\end{array}$

Vậy $x <  - \dfrac{7}{3}$.

Ta có: $(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 > {x^2} + 7x - 18 + 25\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 - {x^2} - 7x + 18 - 25 > 0\\ \Leftrightarrow 5 > 0\end{array}$

Vì $5 > 0$ (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm $x \in \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}\dfrac{{12 - 4x}}{9} \ge 0\\ \Leftrightarrow 12 - 4x \ge 0\\ \Leftrightarrow 4x \le 12\\ \Leftrightarrow x \le 3\end{array}$

Từ giả thiết suy ra $A > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 27}}{2} - \dfrac{{3x + 4}}{4} > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( { - x + 27} \right) - \left( {3x + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 54 - 3x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow  - 5x + 50 > 0\\ \Leftrightarrow  - 5x >  - 50\\ \Leftrightarrow x < 10\end{array}$

Vậy với $x < 10$ thì $A > 0$.

Ta có: $B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}} \ge 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ge 0\\3 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 4\\ - x >  - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 3$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \le 0\\3 - x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \le 4\\ - x <  - 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 3\end{array} \right.$ (không có $x$)

Vậy với $2 \le x < 3$ thì $B$ có giá trị không âm.

$P \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} \le 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} - 1 \le 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{{x - 3 - x - 1}}{{x + 1}} \le 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} \le 0$

Vì $- 4 < 0$ nên $\Rightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1$.

* Ta có: $\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} >  - 5$$\Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x + 2} \right) - 5\left( {3x - 7} \right)}}{{20}} > \dfrac{{ - 100}}{{20}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8 - 15x + 35 >  - 100\\ \Leftrightarrow  - 11x >  - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

* Ta có: $\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6$$\Leftrightarrow \dfrac{{6.3x - 10\left( {x - 4} \right) + 5\left( {x + 2} \right)}}{{30}} > \dfrac{{180}}{{30}}$

$\Leftrightarrow 18x - 10x + 40 + 5x + 10 > 180$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow 13x > 130\\\Leftrightarrow x > 10\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Kết hợp $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được: $10 < x < 13$

Nên các số nguyên thỏa mãn là: $x = 11;\,x = 12$.

Vậy có $2$ giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bài toán.

Từ giả thiết suy ra ${x^2} + 2x + 1 > {x^2} - 6x + 13$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 6x - 13 > 0\\ \Leftrightarrow 8x > 12\\ \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{2}\end{array}$

Vậy $x > \dfrac{3}{2}$ là giá trị cần tìm.

Ta có: $\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0$$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]\left( {x - 1} \right) \le 0$$\Leftrightarrow \left[ {x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]\left( {x - 1} \right) \le 0$$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) \le 0$  

Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$ nên $\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x = 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x \le 2$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{2017 - x}}{{15}} + \dfrac{{2018 - x}}{{16}} + \dfrac{{17 + x}}{{2019}} + \dfrac{{18 + x}}{{2020}} \le 4\\\dfrac{{2017 - x}}{{15}} + \dfrac{{2018 - x}}{{16}} + \dfrac{{17 + x}}{{2019}} + \dfrac{{18 + x}}{{2020}} - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2017 - x}}{{15}} - 1 + \dfrac{{2018 - x}}{{16}} - 1 + \dfrac{{17 + x}}{{2019}} - 1 + \dfrac{{18 + x}}{{2020}} - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2002 - x}}{{15}} + \dfrac{{2002 - x}}{{16}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2019}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2020}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{x - 2002}}{{15}} - \dfrac{{x - 2002}}{{16}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2019}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2020}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2002} \right)\left( { - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}}} \right) \le 0\end{array}$

Mà $\dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}} < 0$ nên $x - 2002 \ge 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge {\rm{2002}}$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ là $2002$.