Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ta biểu diễn \(x > 8\) trên trục số như sau:

Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Nên \(\frac{3}{4} - y < 1\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ta có: \( - x - 2 > 4\), chuyển \( - 2\) từ vế trái sang vế phải ta được: \( - x > 4 + 2\)

Nhân cả hai vế với \( - 1\) ta được: \(x <  - 4 - 2\).

Ta có: \(x + 3 < 1 \Leftrightarrow x + 3 + \left( { - 3} \right) < 1 + \left( { - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow x <  - 2\).

Giải bất phương trình ta được: \(2x + 3 \le 9 \Leftrightarrow 2x \le 6 \Leftrightarrow x \le 3\)

Biểu diễn trên trục số ta được:

Ta có:

\(\begin{array}{l}2 + 5x \ge  - 1 - x\\ \Leftrightarrow 2 + 1 \ge  - x - 5x\\ \Leftrightarrow 3 \ge  - 6x\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le x\\ \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge  - \dfrac{1}{2}\).

Thay \(x =  - 3\) vào từng bất phương trình ta được:

Đáp án A: \(2.\left( { - 3} \right) + 1 =  - 5 >  - 5\) (vô lí) nên \(x =  - 3\) không là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án B: \(VT = 7 - 2.\left( { - 3} \right) = 13\), \(VP = 10 - \left( { - 3} \right) = 13\) nên \(13 \le 13\) (đúng) nên \(x =  - 3\) là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án C: \(VT = 3.\left( { - 3} \right) - 2 =  - 11\), \(VP = 6 - 2.\left( { - 3} \right) = 12\) nên \( - 11 \le 12\) (đúng) nên \(x =  - 3\) là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án D: \(VT =  - 3.\left( { - 3} \right) = 9\), \(VP = 4.\left( { - 3} \right) + 3 =  - 9\) nên \(9 >  - 9\) (đúng) nên \(x =  - 3\) là nghiệm của bất phương trình.

Hình vẽ đã cho biểu diễn nghiệm \(x > 3\).

* Giải từng bất phương trình ta được:

Đáp án A:

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - 2 < x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - x < 1 + 2\\ \Leftrightarrow x < 3\end{array}\)

Loại A.

Đáp án B:

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) > x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - 2 > x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - x > 1 + 2\\ \Leftrightarrow x > 3\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án C:

\(\begin{array}{l} - x > x - 6\\ \Leftrightarrow  - x - x >  - 6\\ \Leftrightarrow  - 2x >  - 6\\ \Leftrightarrow x < 3\end{array}\)

Loại C.

Đáp án D:

\(\begin{array}{l} - x \le x - 6\\ \Leftrightarrow  - x - x \le  - 6\\ \Leftrightarrow  - 2x \le  - 6\\ \Leftrightarrow x \ge 3\end{array}\)

Loại D.

Ta có: \(x - 1 = 3m + 4 \Leftrightarrow x = 3m + 5\)

Theo đề bài ta có \(x > 2 \Leftrightarrow 3m + 5 > 2\) \( \Leftrightarrow 3m >  - 3 \Leftrightarrow m >  - 1\).

\(\begin{array}{l}x - \dfrac{{x + 5}}{2} \le \dfrac{{x + 4}}{6} - \dfrac{{x - 2}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x - 3\left( {x + 5} \right)}}{6} \le \dfrac{{x + 4 - 3\left( {x - 2} \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow 3x - 15 \le  - 2x + 10\\ \Leftrightarrow 5x \le   25\\ \Leftrightarrow x \le  5\end{array}\)

Vậy \(x \le  5\)

Nghiệm nguyên lớn nhất là \(x =  5\).

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} < x + {x^2} - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 < x + {x^2} - 3\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) + 4 + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 3x + 7 < 0\\ \Leftrightarrow x <  - \dfrac{7}{3}\end{array}\)

Vậy \(x <  - \dfrac{7}{3}\).

Ta có: \((x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 > {x^2} + 7x - 18 + 25\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 - {x^2} - 7x + 18 - 25 > 0\\ \Leftrightarrow 5 > 0\end{array}\)

Vì \(5 > 0\) (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l}\dfrac{{12 - 4x}}{9} \ge 0\\ \Leftrightarrow 12 - 4x \ge 0\\ \Leftrightarrow 4x \le 12\\ \Leftrightarrow x \le 3\end{array}\)

Từ giả thiết suy ra \(A > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 27}}{2} - \dfrac{{3x + 4}}{4} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( { - x + 27} \right) - \left( {3x + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 54 - 3x - 4 > 0\\ \Leftrightarrow  - 5x + 50 > 0\\ \Leftrightarrow  - 5x >  - 50\\ \Leftrightarrow x < 10\end{array}\)

Vậy với \(x < 10\) thì \(A > 0\).

Ta có: \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}} \ge 0\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \ge 0\\3 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 4\\ - x >  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 3\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 \le 0\\3 - x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \le 4\\ - x <  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 3\end{array} \right.\) (không có \(x\))

Vậy với \(2 \le x < 3\) thì \(B\) có giá trị không âm.

\(P \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} \le 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} - 1 \le 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3 - x - 1}}{{x + 1}} \le 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 1}} \le 0\)

Vì \( - 4 < 0\) nên \( \Rightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\).

* Ta có: \(\dfrac{{x + 2}}{5} - \dfrac{{3x - 7}}{4} >  - 5\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x + 2} \right) - 5\left( {3x - 7} \right)}}{{20}} > \dfrac{{ - 100}}{{20}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x + 8 - 15x + 35 >  - 100\\ \Leftrightarrow  - 11x >  - 143\\ \Leftrightarrow x < 13\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

* Ta có: \(\dfrac{{3x}}{5} - \dfrac{{x - 4}}{3} + \dfrac{{x + 2}}{6} > 6\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{6.3x - 10\left( {x - 4} \right) + 5\left( {x + 2} \right)}}{{30}} > \dfrac{{180}}{{30}}\)

\( \Leftrightarrow 18x - 10x + 40 + 5x + 10 > 180\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 13x > 130\\\Leftrightarrow x > 10\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(10 < x < 13\)

Nên các số nguyên thỏa mãn là: \(x = 11;\,x = 12\).

Vậy có \(2\) giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bài toán.

Từ giả thiết suy ra \({x^2} + 2x + 1 > {x^2} - 6x + 13\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 6x - 13 > 0\\ \Leftrightarrow 8x > 12\\ \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(x > \dfrac{3}{2}\) là giá trị cần tìm.

Ta có: \(\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]\left( {x - 1} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]\left( {x - 1} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\)  

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x \le 2\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2017 - x}}{{15}} + \dfrac{{2018 - x}}{{16}} + \dfrac{{17 + x}}{{2019}} + \dfrac{{18 + x}}{{2020}} \le 4\\\dfrac{{2017 - x}}{{15}} + \dfrac{{2018 - x}}{{16}} + \dfrac{{17 + x}}{{2019}} + \dfrac{{18 + x}}{{2020}} - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2017 - x}}{{15}} - 1 + \dfrac{{2018 - x}}{{16}} - 1 + \dfrac{{17 + x}}{{2019}} - 1 + \dfrac{{18 + x}}{{2020}} - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2002 - x}}{{15}} + \dfrac{{2002 - x}}{{16}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2019}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2020}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{x - 2002}}{{15}} - \dfrac{{x - 2002}}{{16}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2019}} + \dfrac{{x - 2002}}{{2020}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2002} \right)\left( { - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}}} \right) \le 0\end{array}\)

Mà \(\dfrac{1}{{2019}} + \dfrac{1}{{2020}} - \dfrac{1}{{15}} - \dfrac{1}{{16}} < 0\) nên \(x - 2002 \ge 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge {\rm{2002}}\)

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của \(x\) là \(2002\).