Biến đổi biểu thức hữu tỉ \(\dfrac{{\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{x}}}{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}}}\) ta được kết quả là:
ĐKXĐ: \(x \ne 0;\,\,y \ne 0;\,\,x \ne y.\)
Ta có: \(\dfrac{{\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{x}}}{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}}} = \dfrac{{(x + y)(x - y)}}{x}:\dfrac{{y - x}}{{xy}} = \dfrac{{(x + y)(x - y)}}{x}.\dfrac{{xy}}{{y - x}} = - y(x + y).\)
Thực hiện phép tính sau \(\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\), ta được kết quả là:
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right) = \left( {\dfrac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}.\dfrac{{9{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \dfrac{{ - (x + 1)}}{{3x + 1}}.\dfrac{{(3x + 1)(3x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = \dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}.\end{array}\)
Trong trường hợp biểu thức \(A\) có nghĩa thì \(B = \dfrac{{\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}}} = \dfrac{1}{{...}}\). Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống.
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^4} + 1 - {x^4} + x}}{{{x^3} - 1}}:\dfrac{{x(x - 1) - 2({x^2} + x + 1)}}{{{x^3} - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + x}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - x - 2{x^2} - 2x - 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + 1}}{{ - {x^2} - 3x - 2}}\\\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{{x + 1}}{{(x + 1)(x + 2)}}\\\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{{x + 2}}.\end{array}\)
Vậy ta cần điền là \( - x - 2\).
Tính giá trị biểu thức khi \(x = \dfrac{1}{3}\).
Ta có: \(A = \dfrac{{3x - 2}}{{9{x^2} - 4}}\)\( = \dfrac{{3x - 2}}{{\left( {3x - 2} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \dfrac{1}{{3x + 2}}\).
Thay \(x = \dfrac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne \pm \dfrac{2}{3}\)) vào biểu thức \(A = \dfrac{1}{{3x + 2}}\) ta được \(A = \dfrac{1}{{3.\dfrac{1}{3} + 2}} = \dfrac{1}{3}\).
Vậy với \(x = \dfrac{1}{3}\) thì giá trị biểu thức là \(A = \dfrac{1}{3}\).
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
Phân thức \(A = \dfrac{{3x - 2}}{{9{x^2} - 4}}\) xác định khi \(9{x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow 9{x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne \pm \dfrac{2}{3}\).
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
Phân thức \(A = \dfrac{{3x - 2}}{{9{x^2} - 4}}\) xác định khi \(9{x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow 9{x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne \pm \dfrac{2}{3}\).
Tìm \(x\) để \(N\) dương.
ĐK: \(x \ne \left\{ {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right\}\)
Theo câu trước ta có: \(N = \dfrac{2}{{1 - 2x}}\).
Để \(N > 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{1 - 2x}} > 0\) mà \(2 > 0 \Rightarrow 1 - 2x > 0 \Leftrightarrow 2x < 1 \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{2}\).
Kết hợp điều kiện \(x \ne \left\{ {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right\}\) ta có \(x < \dfrac{1}{2}\).
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2\)
Thay \(x = 2020\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne 2\) ) vào biểu thức \(x - 2\) ta được \(2020 - 2 = 2018\) .
Vậy với \(x = 2020\) thì giá trị biểu thức là \(2018\) .
Tìm \(x\) để \(N = 4\).
ĐK: \(x \ne \left\{ {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right\}\)
Theo câu trước ta có: \(N = \dfrac{2}{{1 - 2x}}\)
Xét \(N = 4\) \( \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{1 - 2x}} = 4 \Rightarrow 2 = 4\left( {1 - 2x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2 = 4 - 8x \Leftrightarrow 8x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{4}\).
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Rút gọn \(B\) ta được:
Phân thức \(N = \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{1 - 4{x^2}}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}\)
\( = \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}\)
\( = \left( {\dfrac{{2x + 1 - 3 - 2\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} \right).\dfrac{{x\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\)
\( = \dfrac{{2x + 1 - 3 - 4x + 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\dfrac{{2x + 1}}{x}\)
\( = \dfrac{{ - 2x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\dfrac{{2x + 1}}{x}\)
\( = \dfrac{2}{{1 - 2x}}\)
Vậy \(N = \dfrac{2}{{1 - 2x}}\).
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Với giá trị nào của \(x\) thì \(N\) xác định.
Phân thức \(N = \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{1 - 4{x^2}}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}\) xác định khi
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ne 0\\1 - 4{x^2} \ne 0\\2x + 1 \ne 0\\2{x^2} + x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.\).
Tìm \(x\) để \(B\) dương.
Theo các câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
Để \(B > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} > 0\) mà \( - 4 < 0 \Rightarrow x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < - 2\) .
Kết hợp điều kiện \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\) ta có \(x < - 2\) .
Với giá trị nào của \(x\) thì \(N\) xác định.
Phân thức \(N = \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{1 - 4{x^2}}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}\) xác định khi
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ne 0\\1 - 4{x^2} \ne 0\\2x + 1 \ne 0\\2{x^2} + x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.\).
Tìm \(x\) để \(B = \dfrac{1}{2}\) .
Theo câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
Ta có \(B = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} \Rightarrow x + 2 = - 8 \Leftrightarrow x = - 10\,\left( {TM} \right)\).
Vậy \(x = - 10\) .
Tính giá trị biểu thức \(D\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {x - 1} \right| = 2\).
Điều kiện: \(x \ne \pm 1\)
Ta có: \(\left| {x - 1} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {tm} \right)\\x = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Thay \(x = 3\) vào \(D = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\)(theo câu trước) ta được \(D = \dfrac{{3 + 1}}{{{3^2} + 1}} = \dfrac{2}{5}\).
Rút gọn \(B\) ta được:
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)
\( = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\dfrac{{2 - x}}{x}} \right)\)
$ = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left[ {\dfrac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}} \right]$
\( = \dfrac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x}\)
$ = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x} = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$
Vậy \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) .
Rút gọn \(D\) ta được:
Ta có: \(D = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 1}}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\) Điều kiện: \(x \ne \pm 1\)
\( = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{{x - 1 - x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{ - 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{{x^2} + 1 + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\) . Vậy \(D = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Với giá trị nào của \(x\) thì \(B\) xác định.
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) xác định khi
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\\{x^2} \ne 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.\) .
