Biến đổi các phân thức hữu tỉ

ĐKXĐ: $x \ne 0;\,\,y \ne 0;\,\,x \ne y.$

Ta có: $\dfrac{{\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{x}}}{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}}} = \dfrac{{(x + y)(x - y)}}{x}:\dfrac{{y - x}}{{xy}} = \dfrac{{(x + y)(x - y)}}{x}.\dfrac{{xy}}{{y - x}} =  - y(x + y).$

$\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right) = \left( {\dfrac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}.\dfrac{{9{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \dfrac{{ - (x + 1)}}{{3x + 1}}.\dfrac{{(3x + 1)(3x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = \dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}.\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \dfrac{{\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^4} + 1 - {x^4} + x}}{{{x^3} - 1}}:\dfrac{{x(x - 1) - 2({x^2} + x + 1)}}{{{x^3} - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + x}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - x - 2{x^2} - 2x - 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + 1}}{{ - {x^2} - 3x - 2}}\\\,\,\,\,\,\, =  - \dfrac{{x + 1}}{{(x + 1)(x + 2)}}\\\,\,\,\,\,\, =  - \dfrac{1}{{x + 2}}.\end{array}$

Vậy ta cần điền là $- x - 2$.

Ta có: $A = \dfrac{{3x - 2}}{{9{x^2} - 4}}$$= \dfrac{{3x - 2}}{{\left( {3x - 2} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \dfrac{1}{{3x + 2}}$.

Thay $x = \dfrac{1}{3}$ (thỏa mãn điều kiện $x \ne  \pm \dfrac{2}{3}$) vào biểu thức $A = \dfrac{1}{{3x + 2}}$ ta được $A = \dfrac{1}{{3.\dfrac{1}{3} + 2}} = \dfrac{1}{3}$.

Vậy với $x = \dfrac{1}{3}$ thì giá trị biểu thức là $A = \dfrac{1}{3}$.

Phân thức $A = \dfrac{{3x - 2}}{{9{x^2} - 4}}$ xác định khi $9{x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow 9{x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne  \pm \dfrac{2}{3}$.

Phân thức $A = \dfrac{{3x - 2}}{{9{x^2} - 4}}$ xác định khi $9{x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow 9{x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne  \pm \dfrac{2}{3}$.

ĐK: $x \ne \left\{ {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right\}$

Theo câu trước ta có: $N = \dfrac{2}{{1 - 2x}}$.

Để $N > 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{1 - 2x}} > 0$ mà $2 > 0 \Rightarrow 1 - 2x > 0 \Leftrightarrow 2x < 1 \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{2}$.

Kết hợp điều kiện $x \ne \left\{ {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right\}$ ta có $x < \dfrac{1}{2}$.

Ta có $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$$= \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2$

Thay $x = 2020$ (thỏa mãn điều kiện $x \ne 2$ ) vào biểu thức $x - 2$ ta được $2020 - 2 = 2018$ .

Vậy với  $x = 2020$ thì giá trị biểu thức là $2018$ .

ĐK: $x \ne \left\{ {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right\}$

Theo câu trước ta có: $N = \dfrac{2}{{1 - 2x}}$

Xét $N = 4$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{{1 - 2x}} = 4 \Rightarrow 2 = 4\left( {1 - 2x} \right)$$\Leftrightarrow 2 = 4 - 8x \Leftrightarrow 8x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)$

Vậy $x = \dfrac{1}{4}$.

Phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$ xác định khi $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$ .

Phân thức $N = \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{1 - 4{x^2}}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}$

$= \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}$

$= \left( {\dfrac{{2x + 1 - 3 - 2\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}} \right).\dfrac{{x\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2}}}$

$= \dfrac{{2x + 1 - 3 - 4x + 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\dfrac{{2x + 1}}{x}$

$= \dfrac{{ - 2x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\dfrac{{2x + 1}}{x}$

$= \dfrac{2}{{1 - 2x}}$

Vậy $N = \dfrac{2}{{1 - 2x}}$.

Phân thức $\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}$ xác định khi $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$ .

Phân thức $N = \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{1 - 4{x^2}}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}$ xác định khi

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ne 0\\1 - 4{x^2} \ne 0\\2x + 1 \ne 0\\2{x^2} + x \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne  - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne  - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.$.

Theo các câu trước ta có  $B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$ với $x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}$.

Để $B > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} > 0$ mà $- 4 < 0 \Rightarrow x + 2 < 0 \Leftrightarrow x <  - 2$ .

Kết hợp điều kiện $x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}$ ta có $x <  - 2$ .

Phân thức $N = \left( {\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{3}{{1 - 4{x^2}}} - \dfrac{2}{{2x + 1}}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + x}}$ xác định khi

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ne 0\\1 - 4{x^2} \ne 0\\2x + 1 \ne 0\\2{x^2} + x \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne  - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{2}\\x \ne  - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.$.

Theo câu trước ta có  $B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$ với $x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}$.

Ta có $B = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} \Rightarrow x + 2 =  - 8 \Leftrightarrow x =  - 10\,\left( {TM} \right)$.

Vậy $x =  - 10$ .

Điều kiện: $x \ne  \pm 1$

Ta có: $\left| {x - 1} \right| = 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {tm} \right)\\x =  - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.$

Thay $x = 3$ vào $D = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$(theo câu trước) ta được $D = \dfrac{{3 + 1}}{{{3^2} + 1}} = \dfrac{2}{5}$.

Phân thức $B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)$

$= \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\dfrac{{2 - x}}{x}} \right)$

$= \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left[ {\dfrac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}} \right]$

$= \dfrac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x}$

$= \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x} = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$

Vậy $B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$ .

Ta có: $D = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 1}}} \right)$

$= \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)$   Điều kiện: $x \ne  \pm 1$

$= \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{{x - 1 - x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}} \right)$

$= \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}.\dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}$

$= \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{ - 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \dfrac{{{x^2} + 1 + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$ . Vậy $D = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$.

Phân thức $B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)$ xác định khi

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  - 2\\x \ne 0\\{x^2} \ne 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  - 2\\x \ne 0\end{array} \right.$  .