Chọn câu đúng.
Ta có \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Chọn câu sai.
Ta có \({\left( {x + 2y} \right)^2} = {x^2} + 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2}\)\( = {x^2} + 4xy + 4{y^2}\) nên A đúng
\({\left( {x - 2y} \right)^2} = {x^2} - 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2}\)\( = {x^2} - 4xy + 4{y^2}\) nên B đúng, C sai.
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}\) nên D đúng.
Khai triển \(\dfrac{1}{9}{x^2} - \dfrac{1}{{64}}{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
Ta có \(\dfrac{1}{9}{x^2} - \dfrac{1}{{64}}{y^2}\)\( = {\left( {\dfrac{x}{3}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{y}{8}} \right)^2} = \left( {\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{8}} \right)\left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{8}} \right)\)
Khai triển \({\left( {\dfrac{x}{2} - 2y} \right)^2}\) ta được
Ta có \({\left( {\dfrac{x}{2} - 2y} \right)^2} = {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{x}{2}.2y + {\left( {2y} \right)^2}\)\( = \dfrac{{{x^2}}}{4} - 2xy + 4{y^2}\)
Viết biểu thức \(25{x^2} - 20xy + 4{y^2}\) dưới dạng bình phương của một hiệu
Ta có \(25{x^2} - 20xy + 4{y^2} = {\left( {5x} \right)^2} - 2.5x.2y + {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {5x - 2y} \right)^2}\)
Chọn câu đúng.
Ta có \(4 - {\left( {a + b} \right)^2} = {2^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {2 + a + b} \right)\left[ {2 - \left( {a + b} \right)} \right]\)\( = \left( {2 + a + b} \right)\left( {2 - a - b} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(A = 5{\left( {x + 4} \right)^2} + 4{\left( {x - 5} \right)^2} - 9\left( {4 + x} \right)\left( {x - 4} \right),\) ta được
Ta có \(A = 5{\left( {x + 4} \right)^2} + 4{\left( {x - 5} \right)^2} - 9\left( {4 + x} \right)\left( {x - 4} \right)\)\( = 5\left( {{x^2} + 2.x.4 + 16} \right) + 4\left( {{x^2} - 2.x.5 + {5^2}} \right) - 9\left( {{x^2} - {4^2}} \right)\)
\( = 5\left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 4\left( {{x^2} - 10x + 25} \right) - 9\left( {{x^2} - {4^2}} \right)\)
\( = 5{x^2} + 40x + 80 + 4{x^2} - 40x + 100 - 9{x^2} + 144\)
\( = \left( {5{x^2} + 4{x^2} - 9{x^2}} \right) + \left( {40x - 40x} \right) + \left( {80 + 100 + 144} \right)\)
\( = 324\)
Cho \(M = 4{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} - 8\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 12x\) và \(N = 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 4{\left( {3 + x} \right)^2} + 2x\left( {x + 14} \right).\)
Tìm mối quan hệ giữa \(M\) và \(N\)
Ta có \(M = 4{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} - 8\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 12x\)
\( = 4\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - 8\left( {{x^2} - 1} \right) - 12x\)
\( = 4{x^2} + 8x + 4 + 4{x^2} + 4x + 1 - 8{x^2} + 8 - 12x\)
\( = \left( {4{x^2} + 4{x^2} - 8{x^2}} \right) + \left( {8x + 4x - 12x} \right) + 4 + 1 + 8\)
\( = 13\)
\(N = 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 4{\left( {3 + x} \right)^2} + 2x\left( {x + 14} \right)\)\( = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4\left( {9 + 6x + {x^2}} \right) + 2{x^2} + 28x\)
\( = 2{x^2} - 4x + 2 - 36 - 24x - 4{x^2} + 2{x^2} + 28x\)
\( = \left( {2{x^2} + 2{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( { - 4x - 24x + 28x} \right) + 2 - 36\)
\( = - 34\)
Suy ra \(M = 13,N = - 34 \Leftrightarrow 2M - N = 60\)
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x + 1} \right)^2} - 4{\left( {x + 3} \right)^2} = 0\)
Ta có \({\left( {2x + 1} \right)^2} - 4{\left( {x + 3} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.1 + {1^2} - 4\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 - 4{x^2} - 24x - 36 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 20x = 35 \Leftrightarrow x = - \dfrac{7}{4}\) . Vậy có một giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu.
Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.
Ta có $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$\( = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}.3 + {3^2} - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.3} \right) - 3\left( {{x^2} - 1} \right)\)
\( = {x^4} + 6{x^2} + 9 - {x^4} - 3{x^2} - 3{x^2} + 3\) \( = 12\) .
Tìm \(x\) biết \({\left( {3x - 1} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x} \right) = 6\).
Ta có \({\left( {3x - 1} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + {1^2} + 2\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + 11\left( {1 - {x^2}} \right) = 6\)
\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 6x + 1 + 2{x^2} + 12x + 18 + 11 - 11{x^2} = 6\)
\( \Leftrightarrow \left( {9{x^2} + 2{x^2} - 11{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 12x} \right) \)\(= 6 - 1 - 11-18\)
\( \Leftrightarrow 6x = - 24 \Leftrightarrow x = - 4\)
Vậy \(x = - 4\) .
So sánh \(A = 2019.2021.a\) và \(B = \left( {{{2019}^2} + 2.2019 + 1} \right).a\) (với \(a > 0\))
Ta có \(A = 2019.2021.a\)\( = \left( {2020 - 1} \right)\left( {2020 + 1} \right)a = \left( {{{2020}^2} - 1} \right)a\)
Và \(B = \left( {{{2019}^2} + 2.2019 + 1} \right)a = {\left( {2019 + 1} \right)^2}a = {2020^2}a\)
Vì \({2020^2} - 1 < {2020^2}\) và \(a > 0\) nên \(\left( {{{2020}^2} - 1} \right)a < {2020^2}a\) hay \(A < B\) .
Chọn câu đúng về giá trị các biểu thức sau mà không tính cụ thể \(A = 1 + 15\left( {{4^2} + 1} \right)\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right)\) và \(B = {\left( {{4^3}} \right)^5} + {\left( {{4^5}} \right)^3}\)
Ta có \(A = 1 + 15\left( {{4^2} + 1} \right)\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right)\)\( = 1 + \left( {{4^2} - 1} \right)\left( {{4^2} + 1} \right)\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right)\)
\( = 1 + \left[ {{{\left( {{4^2}} \right)}^2} - 1} \right]\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right)\)\( = 1 + \left( {{4^4} - 1} \right)\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right) = 1 + \left[ {{{\left( {{4^4}} \right)}^2} - 1} \right]\left( {{4^8} + 1} \right)\)\( = 1 + \left( {{4^8} - 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right) = 1 + {\left( {{4^8}} \right)^2} - 1 = 1 + {4^{16}} - 1 = {4^{16}}\)\( = {4.4^{15}}\)
Và \(B = {\left( {{4^3}} \right)^5} + {\left( {{4^5}} \right)^3} = {4^{3.5}} + {4^{5.3}} = {4^{15}} + {4^{15}}\)\( = {2.4^{15}}\)
Vì \(A = {4.4^{15}};B = {2.4^{15}} \Rightarrow A = 2B.\)
Cho \(T = - 9{x^2} + 6x - 5\). Chọn khẳng định đúng.
Ta có \(T = - 9{x^2} + 6x - 5 = - 9{x^2} + 6x - 1 - 4\)\( = - 4 - \left( {9{x^2} - 6x + 1} \right) = - 4 - {\left( {3x - 1} \right)^2}\)
Nhận thấy \( - {\left( {3x - 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - 4 - {\left( {3x - 1} \right)^2} \le - 4,\,\forall x\) hay \(T \le - 4\) .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B = 4 - 16{x^2} - 8x\)
Ta có \(B = 4 - 16{x^2} - 8x\)\( = 5 - \left( {16{x^2} + 8x + 1} \right) = 5 - \left[ {{{\left( {4x} \right)}^2} + 2.4x.1 + {1^2}} \right]\)\( = 5 - {\left( {4x + 1} \right)^2}\)
Nhận thấy \({\left( {4x + 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \Rightarrow 5 - {\left( {4x + 1} \right)^2} \le 5\) . Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {4x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{4}\)
Giá trị lớn nhất của \(B\) là \(5\) khi \(x = - \dfrac{1}{4}\) .
Biểu thức \(F = {x^2} - 12x + 34\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
Ta có \(F = {x^2} - 12x + 34 = {x^2} - 2.x.6 + {6^2} - 2\)\( = {\left( {x - 6} \right)^2} - 2\)
Vì \({\left( {x - 6} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \Rightarrow {\left( {x - 6} \right)^2} - 2 \ge -2\) . Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 6} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 6\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(F\) là \(-2\) khi \(x = 6\) .
Biểu thức \(J = {x^2} - 8x + {y^2} + 2y + 5\) có giá trị nhỏ nhất là
Ta có \(J = {x^2} - 8x + {y^2} + 2y + 5\)\( = {x^2} - 2.x.4 + 16 + {y^2} + 2.y.1 + 1 - 12\)\( = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12\)
Vì \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y\) nên \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(J\) là \( - 12\) khi \(x = 2;y = - 1\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K = \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\) là
Ta có \(K = \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3 + 1} \right) = {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {x^2} + 2x + 3\)
\( = {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2\)\( = {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2\)
Ta có \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} \ge 4;\,\forall x\)
Và \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 4 + 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 6\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 = 2\\{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = - 1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(6\) khi \(x = - 1\)
Biểu thức \({\left( {a - b - c} \right)^2}\) bằng
Ta có \({\left( {a - b - c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^2} = {\left( {a - b} \right)^2} - 2\left( {a - b} \right).c + {c^2}\)
\( = {a^2} - 2ab + {b^2} - 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)\) .
Chọn câu đúng.
Ta có ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
