Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Ta có ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Ta có ${\left( {x + 2y} \right)^2} = {x^2} + 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2}$$= {x^2} + 4xy + 4{y^2}$ nên A đúng

${\left( {x - 2y} \right)^2} = {x^2} - 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2}$$= {x^2} - 4xy + 4{y^2}$  nên B đúng, C sai.

$\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}$  nên D đúng.

Ta có $\dfrac{1}{9}{x^2} - \dfrac{1}{{64}}{y^2}$$= {\left( {\dfrac{x}{3}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{y}{8}} \right)^2} = \left( {\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{8}} \right)\left( {\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{8}} \right)$

Ta có ${\left( {\dfrac{x}{2} - 2y} \right)^2} = {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{x}{2}.2y + {\left( {2y} \right)^2}$$= \dfrac{{{x^2}}}{4} - 2xy + 4{y^2}$

Ta có $25{x^2} - 20xy + 4{y^2} = {\left( {5x} \right)^2} - 2.5x.2y + {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {5x - 2y} \right)^2}$

Ta có $4 - {\left( {a + b} \right)^2} = {2^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {2 + a + b} \right)\left[ {2 - \left( {a + b} \right)} \right]$$= \left( {2 + a + b} \right)\left( {2 - a - b} \right)$

Ta có $A = 5{\left( {x + 4} \right)^2} + 4{\left( {x - 5} \right)^2} - 9\left( {4 + x} \right)\left( {x - 4} \right)$$= 5\left( {{x^2} + 2.x.4 + 16} \right) + 4\left( {{x^2} - 2.x.5 + {5^2}} \right) - 9\left( {{x^2} - {4^2}} \right)$

$= 5\left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 4\left( {{x^2} - 10x + 25} \right) - 9\left( {{x^2} - {4^2}} \right)$

$= 5{x^2} + 40x + 80 + 4{x^2} - 40x + 100 - 9{x^2} + 144$

$= \left( {5{x^2} + 4{x^2} - 9{x^2}} \right) + \left( {40x - 40x} \right) + \left( {80 + 100 + 144} \right)$

$= 324$  

Ta có $M = 4{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {2x + 1} \right)^2} - 8\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 12x$

$= 4\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - 8\left( {{x^2} - 1} \right) - 12x$

$= 4{x^2} + 8x + 4 + 4{x^2} + 4x + 1 - 8{x^2} + 8 - 12x$

$= \left( {4{x^2} + 4{x^2} - 8{x^2}} \right) + \left( {8x + 4x - 12x} \right) + 4 + 1 + 8$

$= 13$

$N = 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 4{\left( {3 + x} \right)^2} + 2x\left( {x + 14} \right)$$= 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4\left( {9 + 6x + {x^2}} \right) + 2{x^2} + 28x$

$= 2{x^2} - 4x + 2 - 36 - 24x - 4{x^2} + 2{x^2} + 28x$

$= \left( {2{x^2} + 2{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( { - 4x - 24x + 28x} \right) + 2 - 36$

$=  - 34$

Suy ra $M = 13,N =  - 34 \Leftrightarrow 2M - N = 60$

Ta có ${\left( {2x + 1} \right)^2} - 4{\left( {x + 3} \right)^2} = 0$$\Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.1 + {1^2} - 4\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 0$$\Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 - 4{x^2} - 24x - 36 = 0$

$\Leftrightarrow  - 20x = 35 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{7}{4}$ . Vậy có một giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu.

Ta có $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$$= {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}.3 + {3^2} - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.3} \right) - 3\left( {{x^2} - 1} \right)$

$= {x^4} + 6{x^2} + 9 - {x^4} - 3{x^2} - 3{x^2} + 3$ $= 12$ .

Ta có ${\left( {3x - 1} \right)^2} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x} \right) = 6$$\Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + {1^2} + 2\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + 11\left( {1 - {x^2}} \right) = 6$

$\Leftrightarrow 9{x^2} - 6x + 1 + 2{x^2} + 12x + 18 + 11 - 11{x^2} = 6$

$\Leftrightarrow \left( {9{x^2} + 2{x^2} - 11{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 12x} \right)$$= 6 - 1 - 11-18$

$\Leftrightarrow 6x =  - 24 \Leftrightarrow x =  - 4$

Vậy $x =  - 4$ .

Ta có $A = 2019.2021.a$$= \left( {2020 - 1} \right)\left( {2020 + 1} \right)a = \left( {{{2020}^2} - 1} \right)a$

Và $B = \left( {{{2019}^2} + 2.2019 + 1} \right)a = {\left( {2019 + 1} \right)^2}a = {2020^2}a$

Vì ${2020^2} - 1 < {2020^2}$ và $a > 0$ nên $\left( {{{2020}^2} - 1} \right)a < {2020^2}a$ hay $A < B$ .

Ta có $A = 1 + 15\left( {{4^2} + 1} \right)\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right)$$= 1 + \left( {{4^2} - 1} \right)\left( {{4^2} + 1} \right)\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right)$

$= 1 + \left[ {{{\left( {{4^2}} \right)}^2} - 1} \right]\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right)$$= 1 + \left( {{4^4} - 1} \right)\left( {{4^4} + 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right) = 1 + \left[ {{{\left( {{4^4}} \right)}^2} - 1} \right]\left( {{4^8} + 1} \right)$$= 1 + \left( {{4^8} - 1} \right)\left( {{4^8} + 1} \right) = 1 + {\left( {{4^8}} \right)^2} - 1 = 1 + {4^{16}} - 1 = {4^{16}}$$= {4.4^{15}}$

Và $B = {\left( {{4^3}} \right)^5} + {\left( {{4^5}} \right)^3} = {4^{3.5}} + {4^{5.3}} = {4^{15}} + {4^{15}}$$= {2.4^{15}}$

Vì $A = {4.4^{15}};B = {2.4^{15}} \Rightarrow A = 2B.$  

Ta có $T =  - 9{x^2} + 6x - 5 =  - 9{x^2} + 6x - 1 - 4$$=  - 4 - \left( {9{x^2} - 6x + 1} \right) =  - 4 - {\left( {3x - 1} \right)^2}$

Nhận thấy $- {\left( {3x - 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow  - 4 - {\left( {3x - 1} \right)^2} \le  - 4,\,\forall x$  hay $T \le  - 4$ .

Ta có $B = 4 - 16{x^2} - 8x$$= 5 - \left( {16{x^2} + 8x + 1} \right) = 5 - \left[ {{{\left( {4x} \right)}^2} + 2.4x.1 + {1^2}} \right]$$= 5 - {\left( {4x + 1} \right)^2}$

Nhận thấy ${\left( {4x + 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \Rightarrow 5 - {\left( {4x + 1} \right)^2} \le 5$ . Dấu “=” xảy ra khi  ${\left( {4x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{4}$

Giá trị lớn nhất của $B$ là $5$ khi $x =  - \dfrac{1}{4}$ .

Ta có $F = {x^2} - 12x + 34 = {x^2} - 2.x.6 + {6^2} - 2$$= {\left( {x - 6} \right)^2} - 2$

Vì ${\left( {x - 6} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \Rightarrow {\left( {x - 6} \right)^2} - 2 \ge -2$ . Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {x - 6} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 6$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ là $-2$ khi $x = 6$ .

Ta có  $J = {x^2} - 8x + {y^2} + 2y + 5$$= {x^2} - 2.x.4 + 16 + {y^2} + 2.y.1 + 1 - 12$$= {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12$

Vì ${\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y$  nên ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge  - 12$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $J$ là $- 12$ khi $x = 2;y =  - 1$ .

Ta có  $K = \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)$$= \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3 + 1} \right) = {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {x^2} + 2x + 3$

$= {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2$$= {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2$

Ta có ${x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2;\,\forall x$  nên ${\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} \ge 4;\,\forall x$

Và ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x$  nên ${\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 4 + 2$$\Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 6$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 3 = 2\\{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x =  - 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $I$ là $6$ khi $x =  - 1$

Ta có  ${\left( {a - b - c} \right)^2}$$= {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^2} = {\left( {a - b} \right)^2} - 2\left( {a - b} \right).c + {c^2}$

$= {a^2} - 2ab + {b^2} - 2ac + 2bc + {c^2}$ $= {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)$ .

Ta có ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$