Hình vuông

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$ 

Xét tam giác vuông $FGC$ có

 $\widehat {GFC} = 180^\circ  - \widehat {FGC} - \widehat C = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$ $\Rightarrow \widehat {GFC} = \widehat C$

Suy ra $\Delta FGC$ là tam giác vuông cân tại $G$ $\Rightarrow FG = GC$

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông $EHB$ có

 $\widehat {BEH} = 180^\circ  - \widehat {EHB} - \widehat B = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$$\Rightarrow \widehat {BEH} = \widehat B$

Suy ra tam giác $EBH$ vuông cân tại $H$ $\Rightarrow EH = HB$

Mà $BH = HG = GC(gt)$ nên $FG = EH = HG$

Lại có: $\left. \begin{array}{l}EH \bot BC(gt)\\FG \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow EH{\rm{//}}FG$ ( định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác $EFGH$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}EH = FG(cmt)\\EH{\rm{//}}FG(cmt)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (dhnb)

Mà $\widehat H = 90^\circ$ ( do $EH \bot BC$ ) nên hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Mặt khác $EH = HG(cmt)$ nên hình chữ nhật $EFGH$ là hình vuông.

+ Tam giác $ABC$ cân tại$A$ , $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = 90^\circ$

Xét tứ giác $AMCK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AI = IC(gt)\\MI = IK(gt)\\AC \cap MK = I\,(gt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dhnb).

Lại có: $\widehat {AMC} = 90^\circ (cmt)$ nên hình bình hành $AMCK$ là hình chữ nhật.

+ Ta có:

$AK{\rm{//}}MC$ ( do $AMCK$ là hình chữ nhật), $M \in BC(gt) \Rightarrow AK{\rm{//}}BM$

Mà $BM = MC$ ( do $AM$ là trung tuyến), $AK = MC$ (do $AMCK$ là hình chữ nhật)  nên $AK = BM$ (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác $ABMK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AK = BM(cmt)\\AK{\rm{//}}BM(cmt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $ABMK$ là hình bình hành.

Vì $FG = EH = HG$ nên $HG = \dfrac{{BC}}{3} = \dfrac{9}{3} = 3cm$

Do đó chu vi hình vuông $EFGH$ là $4.HG = 4.3 = \,12\,cm$ .

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$ 

Xét tam giác vuông $FGC$ có

 $\widehat {GFC} = 180^\circ  - \widehat {FGC} - \widehat C = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$ $\Rightarrow \widehat {GFC} = \widehat C$

Suy ra $\Delta FGC$ là tam giác vuông cân tại $G$ $\Rightarrow FG = GC$

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông $EHB$ có

 $\widehat {BEH} = 180^\circ  - \widehat {EHB} - \widehat B = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$$\Rightarrow \widehat {BEH} = \widehat B$

Suy ra tam giác $EBH$ vuông cân tại $H$ $\Rightarrow EH = HB$

Mà $BH = HG = GC(gt)$ nên $FG = EH = HG$

Lại có: $\left. \begin{array}{l}EH \bot BC(gt)\\FG \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow EH{\rm{//}}FG$ ( định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác $EFGH$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}EH = FG(cmt)\\EH{\rm{//}}FG(cmt)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (dhnb)

Mà $\widehat H = 90^\circ$ ( do $EH \bot BC$ ) nên hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Mặt khác $EH = HG(cmt)$ nên hình chữ nhật $EFGH$ là hình vuông.

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$ 

Xét tam giác vuông $FGC$ có

 $\widehat {GFC} = 180^\circ  - \widehat {FGC} - \widehat C = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$ $\Rightarrow \widehat {GFC} = \widehat C$

Suy ra $\Delta FGC$ là tam giác vuông cân tại $G$ $\Rightarrow FG = GC$

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông $EHB$ có

 $\widehat {BEH} = 180^\circ  - \widehat {EHB} - \widehat B = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$$\Rightarrow \widehat {BEH} = \widehat B$

Suy ra tam giác $EBH$ vuông cân tại $H$ $\Rightarrow EH = HB$

Mà $BH = HG = GC(gt)$ nên $FG = EH = HG$

Lại có: $\left. \begin{array}{l}EH \bot BC(gt)\\FG \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow EH{\rm{//}}FG$ ( định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác $EFGH$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}EH = FG(cmt)\\EH{\rm{//}}FG(cmt)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (dhnb)

Mà $\widehat H = 90^\circ$ ( do $EH \bot BC$ ) nên hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Mặt khác $EH = HG(cmt)$ nên hình chữ nhật $EFGH$ là hình vuông.

Hình chữ nhật $AMCK$ là hình vuông $\Leftrightarrow AM = MC$

Mà $MC = \dfrac{1}{2}BC(gt)$ nên $AM = MC \Leftrightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC$

Do $AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ nên $AM = \dfrac{1}{2}BC \Leftrightarrow$ tam giác $ABC$ vuông tại$A$ .

Vậy nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì tứ giác $AMCK$ là hình vuông.

+ Tam giác $ABC$ cân tại$A$ , $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = 90^\circ$

Xét tứ giác $AMCK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AI = IC(gt)\\MI = IK(gt)\\AC \cap MK = I\,(gt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dhnb).

Lại có: $\widehat {AMC} = 90^\circ (cmt)$ nên hình bình hành $AMCK$ là hình chữ nhật.

+ Ta có:

$AK{\rm{//}}MC$ ( do $AMCK$ là hình chữ nhật), $M \in BC(gt) \Rightarrow AK{\rm{//}}BM$

Mà $BM = MC$ ( do $AM$ là trung tuyến), $AK = MC$ (do $AMCK$ là hình chữ nhật)  nên $AK = BM$ (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác $ABMK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AK = BM(cmt)\\AK{\rm{//}}BM(cmt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $ABMK$ là hình bình hành.

+ Tam giác $ABC$ cân tại$A$ , $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao.

$\Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = 90^\circ$

Xét tứ giác $AMCK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AI = IC(gt)\\MI = IK(gt)\\AC \cap MK = I\,(gt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dhnb).

Lại có: $\widehat {AMC} = 90^\circ (cmt)$ nên hình bình hành $AMCK$ là hình chữ nhật.

+ Ta có:

$AK{\rm{//}}MC$ ( do $AMCK$ là hình chữ nhật), $M \in BC(gt) \Rightarrow AK{\rm{//}}BM$

Mà $BM = MC$ ( do $AM$ là trung tuyến), $AK = MC$ (do $AMCK$ là hình chữ nhật)  nên $AK = BM$ (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác $ABMK$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}AK = BM(cmt)\\AK{\rm{//}}BM(cmt)\end{array} \right.$

Suy ra tứ giác $ABMK$ là hình bình hành.

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên $ABCD$ là hình vuông thì $AC = BD;AC \bot BD,$ $AC$ và $BD$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi.

Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.

Trong các hình: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân, hình thoi thì hình thoi là hình có hai đường chéo không bằng nhau.

+ Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD; \,OA = OC; OB = OD$ (tính chất).

Mà $OE;OF;OG;OH$ lần lượt là phân giác $\widehat {AOB};\,\widehat {BOC};\,\widehat {DOG};\,\widehat {AOD}$  nên ta có $\widehat {EOB} = \widehat {OHA} = \widehat {BOF} = 45^\circ$.

Suy ra: $\widehat {HOA} + \widehat {AOB} + \widehat {BOF} = 45^\circ  + 90^\circ  + 45^\circ  = 180^\circ$ nên $H,O,F$ thẳng hàng.

Tương tự ta có: $E,O,G$ thẳng hàng.

Xét $\Delta OEB$ và $\Delta OGD$ ta có $OD = OB;\,\widehat {EOB} = \widehat {GOD}$ (đối đỉnh); $\widehat {EBO} = \widehat {ODG}$ (so le trong) nên $\Delta OEB = \Delta OGD\left( {g - c - g} \right)$ suy ra $OE = OG$  (1)

Tương tự ta có: $\Delta OFB = \Delta OHD\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow OF = OH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác $EFGH$ là hình bình hành vì có hai đường chéo $EG;HF$ giao nhau tại trung ddierm mỗi đường.

Lại xét $\Delta OEB$ và $\Delta OFB$ có:

+ $\widehat {EBO} = \widehat {FBO}$  (do $BO$ là phân giác $\widehat {ABC}$)

+ Cạnh $OB$ chung

+ $\widehat {EOB} = \widehat {BOF} = 45^\circ$

Nên $\Delta OEB = \Delta OFB\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow OE = OF \Rightarrow 2OE = 2OF$ hay $EG = HF$.

Suy ra: hình bình hành $EFGH$ có hai đường chéo bằng nhau $EG = HF$ nên $EFGH$ là hình chữ nhật.

Lại có: $\widehat {EOB} + \widehat {BOF} = 45^\circ  + 45^\circ  = 90^\circ$$\Rightarrow \widehat {EOF} = 90^\circ  \Rightarrow EG \bot FH$.

Hình chữ nhật $EFGH$ có: $EG \bot HF$ nên $EFGH$ là hình vuông.

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng $4a$. ($a$ là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có: $4a = 32 \Leftrightarrow a = 8\,cm$. Vậy cạnh hình vuông là $a = 8\,cm$.

Gọi hình vuông $ABCD$ có chu vi là $20\,cm$. Khi đó: $4. AB = 20\,cm \Rightarrow AB = 5cm = AB = CD = DA$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow A{C^2} = {5^2} + {5^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 50$.

Vậy bình phương độ dài đường chéo là $50$.

Tứ giác $AFME$ có: $\widehat A = \widehat {AFM} = \widehat {AEM} = 90^\circ$ nên $AEMF$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $AEMF$ là hình vuông thì $AM$ là phân giác $\widehat {EAF}$.

Mà ta lại có: $AC$ là phân giác $\widehat {DAB}$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Nên suy ra $M \in AC$.

Vì $ABCD$ là hình vuông và $M,N,P,Q$ là trung điểm các cạnh$AB,BC,CD,CA$ nên ta có $AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA = \dfrac{8}{2} = 4cm$.

Từ đó $\Delta AQM = \Delta BMN = \Delta CPN = \Delta DQP\,\left( {c - g - c} \right)$.

Suy ra: ${S_{QAM}} = {S_{MNB}} = {S_{CPN}} = {S_{DPQ}} = \dfrac{{DQ.QP}}{2} = \dfrac{{{8^2}}}{8} = 8$.

Lại có: ${S_{ABCD}} = {8^2} = 64$.

Nên ${S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMQ}} - {S_{MBN}} - {S_{CPN}} - {S_{DPQ}}$$= {8^2} - 4. \dfrac{{{8^2}}}{8} = \dfrac{1}{2}{.8^2} = 32$.

Vậy ${S_{MNPQ}} = 32\,c{m^2}$.

Vì $FG = EH = HG$ nên $HG = \dfrac{{BC}}{3} = \dfrac{{12}}{3} = 4\,cm$.

Do đó chu vi hình vuông $EFGH$ là $4. HG = 4. 4 = \,16\,cm$.

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$.

Xét tam giác vuông $FGC$ có:

$\widehat {GFC} = 180^\circ  - \widehat {FGC} - \widehat C = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$ $\Rightarrow \widehat {GFC} = \widehat C$.

Suy ra: $\Delta FGC$ là tam giác vuông cân tại $G$ $\Rightarrow FG = GC$.

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông $EHB$ có: $\widehat {BEH} = 180^\circ  - \widehat {EHB} - \widehat B = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$$\Rightarrow \widehat {BEH} = \widehat B$.

Suy ra tam giác $EBH$ vuông cân tại $H$ $\Rightarrow EH = HB$.

Mà $BH = HG = GC(gt)$ nên $FG = EH = HG$.

Lại có: $\left. \begin{array}{l}EH \bot BC(gt)\\FG \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow EH{\rm{//}}FG$ (định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác $EFGH$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}EH = FG(cmt)\\EH{\rm{//}}FG(cmt)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (dhnb).

Mà $\widehat H = 90^\circ$ (do $EH \bot BC$) nên hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Mặt khác: $EH = HG(cmt)$ nên hình chữ nhật $EFGH$ là hình vuông.

Suy ra: $EG = HF;\,EG \bot HF$.

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = \dfrac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$.

Xét tam giác vuông $FGC$ có:

$\widehat {GFC} = 180^\circ  - \widehat {FGC} - \widehat C = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$ $\Rightarrow \widehat {GFC} = \widehat C$.

Suy ra: $\Delta FGC$ là tam giác vuông cân tại $G$ $\Rightarrow FG = GC$.

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông $EHB$ có: $\widehat {BEH} = 180^\circ  - \widehat {EHB} - \widehat B = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ$$\Rightarrow \widehat {BEH} = \widehat B$.

Suy ra tam giác $EBH$ vuông cân tại $H$ $\Rightarrow EH = HB$.

Mà $BH = HG = GC(gt)$ nên $FG = EH = HG$.

Lại có: $\left. \begin{array}{l}EH \bot BC(gt)\\FG \bot BC(gt)\end{array} \right\} \Rightarrow EH{\rm{//}}FG$ (định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác $EFGH$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}EH = FG(cmt)\\EH{\rm{//}}FG(cmt)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (dhnb).

Mà $\widehat H = 90^\circ$ (do $EH \bot BC$) nên hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật.

Mặt khác: $EH = HG(cmt)$ nên hình chữ nhật $EFGH$ là hình vuông.

Suy ra: $EG = HF;\,EG \bot HF$.