Cho hình thoi \(ABCD,O\) là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh \(O\) cắt các cạnh \(AB,BC,CD,DA\) theo thứ tự ở \(E,F,G,H.\) Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
Trả lời bởi giáo viên
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563897889980_22222222.png)
+ Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD; \,OA = OC; OB = OD\) (tính chất).
Mà \(OE;OF;OG;OH\) lần lượt là phân giác \(\widehat {AOB};\,\widehat {BOC};\,\widehat {DOG};\,\widehat {AOD}\) nên ta có \(\widehat {EOB} = \widehat {OHA} = \widehat {BOF} = 45^\circ \).
Suy ra: \(\widehat {HOA} + \widehat {AOB} + \widehat {BOF} = 45^\circ + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ \) nên \(H,O,F\) thẳng hàng.
Tương tự ta có: \(E,O,G\) thẳng hàng.
Xét \(\Delta OEB\) và \(\Delta OGD\) ta có \(OD = OB;\,\widehat {EOB} = \widehat {GOD}\) (đối đỉnh); \(\widehat {EBO} = \widehat {ODG}\) (so le trong) nên \(\Delta OEB = \Delta OGD\left( {g - c - g} \right)\) suy ra \(OE = OG\) (1)
Tương tự ta có: \(\Delta OFB = \Delta OHD\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow OF = OH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành vì có hai đường chéo \(EG;HF\) giao nhau tại trung ddierm mỗi đường.
Lại xét \(\Delta OEB\) và \(\Delta OFB\) có:
+ \(\widehat {EBO} = \widehat {FBO}\) (do \(BO\) là phân giác \(\widehat {ABC}\))
+ Cạnh \(OB\) chung
+ \(\widehat {EOB} = \widehat {BOF} = 45^\circ \)
Nên \(\Delta OEB = \Delta OFB\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow OE = OF \Rightarrow 2OE = 2OF\) hay \(EG = HF\).
Suy ra: hình bình hành \(EFGH\) có hai đường chéo bằng nhau \(EG = HF\) nên \(EFGH\) là hình chữ nhật.
Lại có: \(\widehat {EOB} + \widehat {BOF} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {EOF} = 90^\circ \Rightarrow EG \bot FH\).
Hình chữ nhật \(EFGH\) có: \(EG \bot HF\) nên \(EFGH\) là hình vuông.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng tính chất hình thoi.
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông