Hình bình hành

Xét tứ giác $AIHK$ có $\widehat A + \widehat {AIH} + \widehat {IHK} + \widehat {AKH} = 360^\circ$ (định lý tổng các góc trong tứ giác)

$\Rightarrow \widehat {AHK} = 360^\circ  - 50^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = 130^\circ$ .

Suy ra $\widehat {BHC} = \widehat {IHK} = 130^\circ$ (hai góc đối đỉnh)

Vì tứ giác $BHCD$ là hình bình hành nên $\widehat {BDC} = \widehat {BHC} = 130^\circ$ (tính chất).

Vậy $\widehat {BDC} = 130^\circ$ .

Gọi $BK;\,CI$ là các đường cao của tam giác $ABC$ . Khi đó $BK \bot AC;\,CI \bot AB$ hay $BH \bot AC;\,CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm).

Lại có $BD \bot AB;\,CD \bot AC$ (giả thiết)  nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với $AB$ ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với $AC$ )

Suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (dhnb).

Gọi $BK;\,CI$ là các đường cao của tam giác $ABC$ . Khi đó $BK \bot AC;\,CI \bot AB$ hay $BH \bot AC;\,CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm).

Lại có $BD \bot AB;\,CD \bot AC$ (giả thiết)  nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với $AB$ ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với $AC$ )

Suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (dhnb).

Gọi $BK;\,CI$ là các đường cao của tam giác $ABC$ . Khi đó $BK \bot AC;\,CI \bot AB$ hay $BH \bot AC;\,CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm).

Lại có $BD \bot AB;\,CD \bot AC$ (giả thiết)  nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với $AB$ ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với $AC$ )

Suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (dhnb).

Trong hình bình hành:

+ Hình bình hành có các cạnh đối song song.

+ Các cạnh đối bằng nhau.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường  nên D sai.

Dấu hiệu nhận biết:

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $AB = CD;AD = BC$.

+ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB{\rm{//}}CD$; $AB = CD$.

+ Xét tứ giác $BEDF$ có $BE = FD;\,BE{\rm{//}}FD$ (do $AB{\rm{//}}CD$) nên $BEDF$ là hình bình hành.

Từ đó: $DE = BF$ (tính chất hình bình hành).

Trong hình bình hành $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D$ (tính chất), $\widehat A = 2\widehat B$.

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ  \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ  \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ$

$\Rightarrow 2\widehat B + \widehat B = 180^\circ  \Rightarrow 3\widehat B = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat B = 60^\circ$

$\Rightarrow \widehat A = 2\widehat B = 2.60^\circ  = 120^\circ$

Vậy $\widehat A = \widehat C = 120^\circ ;\widehat B = \widehat D = 60^\circ$.

Trong hình bình hành $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D$ (tính chất), $\widehat D - \widehat C = {40^0} \Rightarrow \widehat D = \widehat C + 40^\circ$ nên $\widehat B = \widehat D = \widehat C + 40^\circ$.

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$$\Rightarrow 2\left( {\widehat C + \widehat D} \right) = 360^\circ  \Rightarrow \widehat C + \widehat D = 180^\circ$$\Leftrightarrow \widehat C + \widehat C + 40^\circ  = 180^\circ  \Rightarrow 2\widehat C = 140^\circ$ $\Leftrightarrow \widehat C = 70^\circ$

$\Rightarrow \widehat D = \widehat C + 40^\circ  = 70^\circ  + 40^\circ  = 110^\circ$.

Do đó $\widehat A = \widehat C = {70^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {110^0}$.

Vì $\widehat {NAM} = \dfrac{1}{2}\widehat A,\widehat {MCN} = \dfrac{1}{2}\widehat C$ mà $\widehat A = \widehat C$ (góc đối hình bình hành) nên $\widehat {NAM} = \widehat {MCN}$.

Lại có: $\widehat {BNC} = \widehat {MCN}$ (so le trong, $AB\parallel CD$).

Suy ra $\widehat {NAM} = \widehat {BNC}$.

Mà hai góc $\widehat {NAM},\widehat {BNC}$ ở vị trí đồng vị nên $AM\parallel CN$.

Do $AB\parallel CD(gt),N \in AB,M \in BC \Rightarrow AN\parallel MC$.

Tứ giác $AMCN$ có $AN\parallel CM,AM\parallel CN(cmt)$ nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Vì $AMCN$ là hình bình hành nên $AN = CM$ (tính chất) nên A, D đúng.

Vì $MC//AB \Rightarrow AMCB$ là hình thang nên B đúng.

Vì $AN//CD \Rightarrow ANCD$ là hình thang.

Chưa đủ điều kiện để $ANCD$ là hình thang cân nên C sai.

Xét tứ giác $AIHK$ có $\widehat A + \widehat {AIH} + \widehat {IHK} + \widehat {AKH} = 360^\circ$ (định lý tổng các góc trong tứ giác).

$\Rightarrow \widehat {AHK} = 360^\circ  - 40^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = 140^\circ$.

Suy ra $\widehat {BHC} = \widehat {IHK} = 140^\circ$ (hai góc đối đỉnh).

Vì tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (theo câu trước) nên $\widehat {BDC} = \widehat {BHC} = 140^\circ$ (tính chất).

Vậy $\widehat {BDC} = 140^\circ$.

Gọi $BK;\,CI$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Khi đó $BK \bot AC;\,CI \bot AB$ hay $BH \bot AC;\,CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm).

Lại có: $BD \bot AB;\,CD \bot AC$ (giả thiết) nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với $AB$ ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với $AC$)

Suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (dhnb).

Từ đó $HB = CD;\,CH = BD$ nên D sai (ta chưa đủ điều kiện để chỉ ra được $HB = HC$).

Gọi $BK;\,CI$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Khi đó $BK \bot AC;\,CI \bot AB$ hay $BH \bot AC;\,CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm).

Lại có: $BD \bot AB;\,CD \bot AC$ (giả thiết) nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với $AB$ ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với $AC$)

Suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành (dhnb).

Từ đó $HB = CD;\,CH = BD$ nên D sai (ta chưa đủ điều kiện để chỉ ra được $HB = HC$).

Nối $EF;EP,FQ,EM,PM,QN$. Gọi $O$ là giao của $QN$ và $EF$.

Xét tam giác $CED$ có $FN$ là đường trung bình nên $\left\{ \begin{array}{l}FN = \dfrac{1}{2}DE = EQ\\FN//ED\end{array} \right. \Rightarrow NFQE$ là hình bình hành nên hai đường chéo $QN$ và $EF$ giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra $O$ là trung điểm của $QN$ (1) và $EF$.

Xét tam giác $ABF$ có $EM$ là đường trung bình nên $\left\{ \begin{array}{l}EM = \dfrac{1}{2}BF = PF\\EM//PF\end{array} \right. \Rightarrow EMFB$ là hình bình hành nên hai đường chéo $PM$ và $EF$ giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà $O$ là trung điểm của $EF$ nên $O$ cũng là trung điểm của $PM$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác $QMNP$ có hai đường chéo $QN,PM$ giao nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường nên $QMNP$ là hình bình hành (dhnb).

Gọi $O$ là giao điểm của $AC,BD$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AC,BD$ giao nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường, hay $AO = CO = \dfrac{{AC}}{2}$.

Xét tam giác $ABD$ có $BE,AO$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $K$ nên $K$ là trọng tâm $\Delta ABD$.

Suy ra $AK = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{3}AC$  (1)

Xét tam giác $CBD$ có $DF,CO$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm $\Delta CBD$.

Suy ra $CI = \dfrac{2}{3}CO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{3}AC$  (2)

Lại có: $AK + KI + CI = AC \Rightarrow KI = AC - AK - CI$ $= AC - \dfrac{1}{3}AC - \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}AC$ (3)

Từ (1), 2) và (3) suy ra: $AK = KI = IC$.

Dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành  nên A đúng.

+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành nên C đúng.

+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành nên D đúng.

Nhận thấy hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân nên B sai.

+ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $AB$ //$CD$ ,$BC{\rm{//}}AD$ nên C sai.

+ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D$ nên D đúng.

+ A, B sai vì chưa đủ điều kiện để kết luận.

+ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB{\rm{//}}CD$; $AD{\rm{//}}BC$ .

+ Xét tứ giác $AEFD$ có $AE = FD;\,AE{\rm{//}}FD$ (do $AB{\rm{//}}CD$) nên $AEFD$ là hình bình hành.

+ Xét tứ giác $BEFC$ có $BE = FC;\,BE{\rm{//}}FC$ (do $AB{\rm{//}}CD$) nên $BEFC$ là hình bình hành.

+ Xét tứ giác $AECF$ có $AE = FC;\,AE{\rm{//}}FC$ (do $AB{\rm{//}}CD$) nên $AECF$ là hình bình hành.

+ Xét tứ giác $BEDF$ có $BE = FD;\,BE{\rm{//}}FD$ (do $AB{\rm{//}}CD$) nên $BEDF$ là hình bình hành.

+ Vì $AECF$ là hình bình hành nên $AF{\rm{//}}EC \Rightarrow EH{\rm{//}}GF$ ; vì $BEDF$ là hình bình hành nên $ED{\rm{//}}BF \Rightarrow EG{\rm{//}}HF$

Suy ra $EGHF$ là hình bình hành.

Vậy có tất cả $6$ hình bình hành: $ABCD$; $AEFD$; $BEFC$; $AECF$; $BEDF$; $EGHF$.

Trong hình bình hành $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D$ (tính chất), $\widehat A = 3\widehat B$

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ  \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ  \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ$

$\Rightarrow 3\widehat B + \widehat B = 180^\circ  \Rightarrow \widehat B = 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat A = 3\widehat B = 3.45^\circ  = 135^\circ$

Vậy $\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ$.