Hình bình hành

Xét tứ giác \(AIHK\) có \(\widehat A + \widehat {AIH} + \widehat {IHK} + \widehat {AKH} = 360^\circ \) (định lý tổng các góc trong tứ giác)

\( \Rightarrow \widehat {AHK} = 360^\circ  - 50^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = 130^\circ \) .

Suy ra \(\widehat {BHC} = \widehat {IHK} = 130^\circ \) (hai góc đối đỉnh)

Vì tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành nên $\widehat {BDC} = \widehat {BHC} = 130^\circ $ (tính chất).

Vậy \(\widehat {BDC} = 130^\circ \) .

Gọi \(BK;\,CI\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) . Khi đó \(BK \bot AC;\,CI \bot AB\) hay \(BH \bot AC;\,CH \bot AB\) (vì \(H\) là trực tâm).

Lại có \(BD \bot AB;\,CD \bot AC\) (giả thiết)  nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với \(AB\) ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với \(AC\) )

Suy ra tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (dhnb).

Gọi \(BK;\,CI\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) . Khi đó \(BK \bot AC;\,CI \bot AB\) hay \(BH \bot AC;\,CH \bot AB\) (vì \(H\) là trực tâm).

Lại có \(BD \bot AB;\,CD \bot AC\) (giả thiết)  nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với \(AB\) ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với \(AC\) )

Suy ra tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (dhnb).

Gọi \(BK;\,CI\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) . Khi đó \(BK \bot AC;\,CI \bot AB\) hay \(BH \bot AC;\,CH \bot AB\) (vì \(H\) là trực tâm).

Lại có \(BD \bot AB;\,CD \bot AC\) (giả thiết)  nên $BD{\rm{//}}CH$ (cùng vuông với \(AB\) ) và $CD{\rm{//}}BH$ (cùng vuông với \(AC\) )

Suy ra tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (dhnb).

Trong hình bình hành:

+ Hình bình hành có các cạnh đối song song.

+ Các cạnh đối bằng nhau.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường  nên D sai.

Dấu hiệu nhận biết:

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi \(AB = CD;AD = BC\).

+ Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB{\rm{//}}CD\); \(AB = CD\).

+ Xét tứ giác \(BEDF\) có \(BE = FD;\,BE{\rm{//}}FD\) (do \(AB{\rm{//}}CD\)) nên \(BEDF\) là hình bình hành.

Từ đó: \(DE = BF\) (tính chất hình bình hành).

Trong hình bình hành \(ABCD\) có: \(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (tính chất), \(\widehat A = 2\widehat B\).

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ  \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ  \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ \)

\( \Rightarrow 2\widehat B + \widehat B = 180^\circ  \Rightarrow 3\widehat B = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat B = 60^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat A = 2\widehat B = 2.60^\circ  = 120^\circ \)

Vậy \(\widehat A = \widehat C = 120^\circ ;\widehat B = \widehat D = 60^\circ \).

Trong hình bình hành \(ABCD\) có: \(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (tính chất), \(\widehat D - \widehat C = {40^0} \Rightarrow \widehat D = \widehat C + 40^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat D = \widehat C + 40^\circ \).

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ\)\(  \Rightarrow 2\left( {\widehat C + \widehat D} \right) = 360^\circ  \Rightarrow \widehat C + \widehat D = 180^\circ \)\( \Leftrightarrow \widehat C + \widehat C + 40^\circ  = 180^\circ  \Rightarrow 2\widehat C = 140^\circ \) \( \Leftrightarrow \widehat C = 70^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat C + 40^\circ  = 70^\circ  + 40^\circ  = 110^\circ \).

Do đó \(\widehat A = \widehat C = {70^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {110^0}\).

Vì \(\widehat {NAM} = \dfrac{1}{2}\widehat A,\widehat {MCN} = \dfrac{1}{2}\widehat C\) mà \(\widehat A = \widehat C\) (góc đối hình bình hành) nên \(\widehat {NAM} = \widehat {MCN}\).

Lại có: \(\widehat {BNC} = \widehat {MCN}\) (so le trong, \(AB\parallel CD\)).

Suy ra \(\widehat {NAM} = \widehat {BNC}\).

Mà hai góc \(\widehat {NAM},\widehat {BNC}\) ở vị trí đồng vị nên \(AM\parallel CN\).

Do \(AB\parallel CD(gt),N \in AB,M \in BC \Rightarrow AN\parallel MC\).

Tứ giác \(AMCN\) có \(AN\parallel CM,AM\parallel CN(cmt)\) nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Vì \(AMCN\) là hình bình hành nên \(AN = CM\) (tính chất) nên A, D đúng.

Vì \(MC//AB \Rightarrow AMCB\) là hình thang nên B đúng.

Vì \(AN//CD \Rightarrow ANCD\) là hình thang.

Chưa đủ điều kiện để \(ANCD\) là hình thang cân nên C sai.

Xét tứ giác \(AIHK\) có \(\widehat A + \widehat {AIH} + \widehat {IHK} + \widehat {AKH} = 360^\circ \) (định lý tổng các góc trong tứ giác).

\( \Rightarrow \widehat {AHK} = 360^\circ  - 40^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = 140^\circ \).

Suy ra \(\widehat {BHC} = \widehat {IHK} = 140^\circ \) (hai góc đối đỉnh).

Vì tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (theo câu trước) nên \(\widehat {BDC} = \widehat {BHC} = 140^\circ \) (tính chất).

Vậy \(\widehat {BDC} = 140^\circ \).

Gọi \(BK;\,CI\) là các đường cao của tam giác \(ABC\). Khi đó \(BK \bot AC;\,CI \bot AB\) hay \(BH \bot AC;\,CH \bot AB\) (vì \(H\) là trực tâm).

Lại có: \(BD \bot AB;\,CD \bot AC\) (giả thiết) nên \(BD{\rm{//}}CH\) (cùng vuông với \(AB\) ) và \(CD{\rm{//}}BH\) (cùng vuông với \(AC\))

Suy ra tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (dhnb).

Từ đó \(HB = CD;\,CH = BD\) nên D sai (ta chưa đủ điều kiện để chỉ ra được \(HB = HC\)).

Gọi \(BK;\,CI\) là các đường cao của tam giác \(ABC\). Khi đó \(BK \bot AC;\,CI \bot AB\) hay \(BH \bot AC;\,CH \bot AB\) (vì \(H\) là trực tâm).

Lại có: \(BD \bot AB;\,CD \bot AC\) (giả thiết) nên \(BD{\rm{//}}CH\) (cùng vuông với \(AB\) ) và \(CD{\rm{//}}BH\) (cùng vuông với \(AC\))

Suy ra tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành (dhnb).

Từ đó \(HB = CD;\,CH = BD\) nên D sai (ta chưa đủ điều kiện để chỉ ra được \(HB = HC\)).

Nối \(EF;EP,FQ,EM,PM,QN\). Gọi \(O\) là giao của \(QN\) và \(EF\).

Xét tam giác \(CED\) có \(FN\) là đường trung bình nên \(\left\{ \begin{array}{l}FN = \dfrac{1}{2}DE = EQ\\FN//ED\end{array} \right. \Rightarrow NFQE\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(QN\) và \(EF\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra \(O\) là trung điểm của \(QN\) (1) và \(EF\).

Xét tam giác \(ABF\) có \(EM\) là đường trung bình nên \(\left\{ \begin{array}{l}EM = \dfrac{1}{2}BF = PF\\EM//PF\end{array} \right. \Rightarrow EMFB\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(PM\) và \(EF\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(PM\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác \(QMNP\) có hai đường chéo \(QN,PM\) giao nhau tại trung điểm \(O\) mỗi đường nên \(QMNP\) là hình bình hành (dhnb).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC,BD\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AC,BD\) giao nhau tại trung điểm \(O\) mỗi đường, hay \(AO = CO = \dfrac{{AC}}{2}\).

Xét tam giác \(ABD\) có \(BE,AO\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(K\) nên \(K\) là trọng tâm \(\Delta ABD\).

Suy ra \(AK = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{3}AC\)  (1)

Xét tam giác \(CBD\) có \(DF,CO\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trọng tâm \(\Delta CBD\).

Suy ra \(CI = \dfrac{2}{3}CO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{3}AC\)  (2)

Lại có: \(AK + KI + CI = AC \Rightarrow KI = AC - AK - CI\) \( = AC - \dfrac{1}{3}AC - \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}AC\) (3)

Từ (1), 2) và (3) suy ra: \(AK = KI = IC\).

Dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành  nên A đúng.

+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành nên C đúng.

+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành nên D đúng.

Nhận thấy hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân nên B sai.

+ Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi $AB$ //$CD$ ,$BC{\rm{//}}AD$ nên C sai.

+ Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi $\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D$ nên D đúng.

+ A, B sai vì chưa đủ điều kiện để kết luận.

+ Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB{\rm{//}}CD\); \(AD{\rm{//}}BC\) .

+ Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE = FD;\,AE{\rm{//}}FD\) (do \(AB{\rm{//}}CD\)) nên \(AEFD\) là hình bình hành.

+ Xét tứ giác \(BEFC\) có \(BE = FC;\,BE{\rm{//}}FC\) (do \(AB{\rm{//}}CD\)) nên \(BEFC\) là hình bình hành.

+ Xét tứ giác \(AECF\) có \(AE = FC;\,AE{\rm{//}}FC\) (do \(AB{\rm{//}}CD\)) nên \(AECF\) là hình bình hành.

+ Xét tứ giác \(BEDF\) có \(BE = FD;\,BE{\rm{//}}FD\) (do \(AB{\rm{//}}CD\)) nên \(BEDF\) là hình bình hành.

+ Vì \(AECF\) là hình bình hành nên \(AF{\rm{//}}EC \Rightarrow EH{\rm{//}}GF\) ; vì \(BEDF\) là hình bình hành nên \(ED{\rm{//}}BF \Rightarrow EG{\rm{//}}HF\)

Suy ra \(EGHF\) là hình bình hành.

Vậy có tất cả \(6\) hình bình hành: \(ABCD\); \(AEFD\); \(BEFC\); \(AECF\); \(BEDF\); \(EGHF\).

Trong hình bình hành $ABCD$ có: \(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (tính chất), \(\widehat A = 3\widehat B\)

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ  \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ  \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ \)

\( \Rightarrow 3\widehat B + \widehat B = 180^\circ  \Rightarrow \widehat B = 45^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat A = 3\widehat B = 3.45^\circ  = 135^\circ \)

Vậy \(\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ \).