Tính độ dài $DE$ , biết $BC = 30cm,AM = 10cm$ .
Vì $DI = IE$ (cmt) nên $MI$ là đường trung tuyến của tam giác $MDE$ .
\(\Delta MDE\) vuông ( vì $MD,ME$ là tia phân giác của góc kề bù) nên$MI = DI = IE$ .
Đặt$DI = MI = x$ , ta có $\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}$ (cmt) nên $\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{{10 - x}}{{10}}.$ Từ đó x= 6 suy ra $DE = 12cm$ .
Chọn khẳng định đúng.
Vì \(MD\) và \(ME\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {AMB};\,\widehat {AMC}\) nên \(\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{MA}}{{MB}},\dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\)
mà $MB = MC$ nên \(\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{EA}}{{EC}} \Rightarrow DE{\rm{//}}BC\)( định lí Ta-lét đảo).
Vì \(DE{\rm{//}}BC\) nên \(\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}} = \dfrac{{IE}}{{MC}}\) (hệ quả định lý Ta-lét) mà $BM = MC$ nên $DI = IE$ .
Nên cả A, B đều đúng.
Chọn khẳng định đúng.
Vì \(MD\) và \(ME\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {AMB};\,\widehat {AMC}\) nên \(\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{MA}}{{MB}},\dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\)
mà $MB = MC$ nên \(\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{EA}}{{EC}} \Rightarrow DE{\rm{//}}BC\)( định lí Ta-lét đảo).
Vì \(DE{\rm{//}}BC\) nên \(\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}} = \dfrac{{IE}}{{MC}}\) (hệ quả định lý Ta-lét) mà $BM = MC$ nên $DI = IE$ .
Nên cả A, B đều đúng.
Chọn khẳng định đúng.
Vì \(MD\) và \(ME\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {AMB};\,\widehat {AMC}\) nên \(\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{MA}}{{MB}},\dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\)
mà $MB = MC$ nên \(\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{EA}}{{EC}} \Rightarrow DE{\rm{//}}BC\)( định lí Ta-lét đảo).
Vì \(DE{\rm{//}}BC\) nên \(\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}} = \dfrac{{IE}}{{MC}}\) (hệ quả định lý Ta-lét) mà $BM = MC$ nên $DI = IE$ .
Nên cả A, B đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\), \(AD\) là phân giác trong của góc \(A\). Hãy chọn câu sai:
Vì \(AD\) là phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên ta có: \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác).
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{DC}}\) hay B đúng.
Lại có: \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{BD}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\) nên A đúng.
\(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}\) nên D đúng.
Chỉ có C sai.
Cho hình vẽ, biết các số trên hình cùng đơn vị đo. Tỉ số \(\dfrac{x}{y}\) bằng:
Xét tam giác \(ABC\), vì \(AD\) là phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên ta có: \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{4,5}}{6} = \dfrac{3}{4}\).
Cho hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo. Tính giá trị biểu thức \(S = 49{x^2} + 98{y^2}\).
Vì \(AD\) là phân giác \(\widehat {BAC}\) nên ta có:
\(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{3} = \dfrac{{DC}}{4}\).
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{{BD}}{3} = \dfrac{{DC}}{4} = \dfrac{{BD + DC}}{{3 + 4}} = \dfrac{{10}}{7}\)
\( \Rightarrow BD = 3.\dfrac{{10}}{7} = \dfrac{{30}}{7};\) \(DC = 4.\dfrac{{10}}{7} = \dfrac{{40}}{7}\)
Do đó \(x = \dfrac{{30}}{7},y = \dfrac{{40}}{7}\) \( \Rightarrow S = 49{x^2} + 98{y^2}\) \( = 49.{\left( {\dfrac{{30}}{7}} \right)^2} + 98.{\left( {\dfrac{{40}}{7}} \right)^2} = 4100\)
Vậy \(S = 4100\).
Cho \(\Delta ABC\), \(AE\) là phân giác ngoài của góc \(A\). Hãy chọn câu sai:
Vì trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy nên \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}\) hay D đúng.
\(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BE}} = \dfrac{{AC}}{{CE}}\) nên C đúng.
\(\dfrac{{AB}}{{BE}} = \dfrac{{AC}}{{CE}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{AB}}\) nên A đúng.
Chỉ có B sai.
Cho \(\Delta MNP,MA\) là phân giác ngoài của góc \(M\), biết \(\dfrac{{NA}}{{PA}} = \dfrac{1}{3}\). Hãy chọn khẳng định sai:
Theo tính chất đường phân giác ngoài của tam giác ta có: \(\dfrac{{MN}}{{MP}} = \dfrac{{NA}}{{PA}} = \dfrac{1}{3}\) và \(MP = 3MN\) nên B, D đúng.
Ngoài ra: \(\dfrac{{NA}}{{PA}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{NP}} = \dfrac{{NA}}{{PA - NA}} = \dfrac{1}{{3 - 1}} = \dfrac{1}{2}\) nên A đúng.
Chỉ có C sai.
Cho tam giác \(ABC\), \(AC = 2AB\), \(AD\) là đường phân giác của tam giác\(ABC\). Xét các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:
(I) \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\) (II) \(\dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{2}{3}\) (III) \(\dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)
Vì \(AD\) là phân giác của \(\Delta ABC\) nên: \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}\)
Theo bài, ta có: \(AC = 2AB\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\) hay (I) đúng.
Lại có \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{DC + BD}} = \dfrac{1}{{2 + 1}} = \dfrac{1}{3}\) nên (III) sai.
\( \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{BC - BD}}{{BC}}\) \( = 1 - \dfrac{{BD}}{{BC}} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\) hay (II) đúng.
Vậy chỉ có \(2\) khẳng định đúng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6, AC = 8\). Tia phân giác góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D\). Độ dài \(AD\) là:
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Pi-ta-go có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) \( = {6^2} + {8^2} = 100\) \( \Rightarrow BC = 10\).
\(BD\) là tia phân giác góc \(B\) nên \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}\) \( \Rightarrow \dfrac{{DA}}{3} = \dfrac{{DC}}{5}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{{DA}}{3} = \dfrac{{DC}}{5}\)\( = \dfrac{{DA + DC}}{{3 + 5}} = \dfrac{{AC}}{8} = \dfrac{8}{8} = 1\)
\( \Rightarrow DA = 3.1 = 3; DC = 5.1 = 5\).
Vậy \(AD = 3\).
Cho tam giác \(ABC\), \(\widehat A = {90^0}\), \(AB = 15 cm, AC = 20 cm\), đường cao \(AH\)\((H \in BC)\). Tia phân giác của \(\widehat {HAB}\) cắt \(HB\) tại \(D\). Tia phân giác của \(\widehat {HAC}\) cắt \(HC\) tại \(E\). Tính \(HE\)?
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} + {20^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow BC = 25\end{array}\).
Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.AH.BC\)
\( \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{15.20}}{{25}} = 12\)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} = {12^2} + H{B^2}\\ \Rightarrow H{B^2} = 81 \Rightarrow HB = 9\\ \Rightarrow HC = BC - HB = 25 - 9 = 16.\end{array}\)
Vì \(AE\) là phân giác của tam giác \(CAH\) nên:
\(\dfrac{{AC}}{{AH}} = \dfrac{{CE}}{{EH}} \Leftrightarrow \dfrac{{AC}}{{AH}} = \dfrac{{CH - EH}}{{EH}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{20}}{{12}} = \dfrac{{16 - HE}}{{HE}}\)\( \Leftrightarrow 20HE = 12\left( {16 - HE} \right)\) \( \Leftrightarrow 20HE + 12HE = 12.16\)
\( \Leftrightarrow 32HE = 192 \Leftrightarrow HE = 6\left( {cm} \right)\).
Cho tam giác \(ABC,\) \(AB = AC = 10cm, BC = 12cm\). Gọi \(I\) là giao điểm của các đường phân giác của tam giác \(ABC\). Độ dài \(AI\) là:
- Ta có \(AB = AC = 10 cm\)
Suy ra, \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).
- Có \(I\) là giao các đường phân giác của \(\Delta ABC\).
Suy ra, \(AI, BI\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\)
- Gọi \(H\) là giao của \(AI\) và \(BC\).
- Khi đó ta có \(AH\) vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân \(ABC\) (tính chất tam giác cân).
\( \Rightarrow \) \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\) \( \Rightarrow BH = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\;cm\).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} + {6^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow AH = 8\end{array}\)
Vì \(BI\) là phân giác của tam giác \(ABH\) nên:
\(\dfrac{{AI}}{{IH}} = \dfrac{{AB}}{{BH}} = \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AI}}{5} = \dfrac{{IH}}{3}\).
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{{AI}}{5} = \dfrac{{IH}}{3} = \dfrac{{AI + IH}}{{5 + 3}}\) \( = \dfrac{{AH}}{8} = \dfrac{8}{8} = 1\)
\( \Rightarrow AI = 5\left( {cm} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có: \(AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm\). Các đường phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau ở \(I\). Tỉ số diện tích các tam giác \(DIE\) và \(ABC\) là:
Ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{BC}}\) (t/c)\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{4} = \dfrac{{DC}}{6} = \dfrac{{AD + DC}}{{4 + 6}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow AD = 4.\dfrac{1}{2} = 2,DC = 6.\dfrac{1}{2} = 3\).
Suy ra
\(\dfrac{{DI}}{{IB}} = \dfrac{{DC}}{{CB}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{DI}}{{DB}} = \dfrac{1}{3}\);
\(\dfrac{{BE}}{{EA}} = \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{6}{5} \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{BA}} = \dfrac{6}{{11}}\);
\(\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{2}{5}\).
Suy ra \({S_{DIE}} = \dfrac{1}{3}{S_{BDE}},\) \({S_{DBE}} = \dfrac{6}{{11}}{S_{ABD}},\) \({S_{ABD}} = \dfrac{2}{5}{S_{ABC}}\)
\( \Rightarrow {S_{DIE}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{6}{{11}}.\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{{55}}{S_{ABC}}\).
Vậy \(\dfrac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{4}{{55}}\).
Độ dài \(IG\) là:
Do \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(MB = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.15cm = 7,5cm\).
Mà \(BD = 6cm\) nên \(DM = 7,5cm - 6cm = 1,5cm\).
Do \(IG//DM\) nên \(\dfrac{{IG}}{{DM}} = \dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow IG = \dfrac{2}{3}DM = \dfrac{2}{3}.1,5 = 1\left( {cm} \right)\).
Chọn khẳng định sai:
Gọi \(D, M\) là giao điểm của \(AI, AG\) với \(BC\).
Vì \(AD\) là tia phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên \(\dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}\left( {t/c} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{12}} = \dfrac{{DC}}{{18}} = \dfrac{{BD + DC}}{{12 + 18}} = \dfrac{{15}}{{30}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow BD = 12.\dfrac{1}{2} = 6, DC = 18.\dfrac{1}{2} = 9\)
Lại có: \(BI\) là tia phân giác góc \(\widehat {ABD}\) nên \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{12}}{6} = 2\) (tính chất)
\( \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{AD}} = \dfrac{{MG}}{{MA}} = \dfrac{1}{3}\) hay D đúng.
Mà \(AG = 2GM\) (vì \(G\) là trọng tâm)
Nên \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{AG}}{{GM}} = 2\) hay B đúng.
Theo định lí đảo của định lí Ta-let ta có: \(IG//DM \Rightarrow IG//BC\) hay A đúng.
Chỉ có C sai.
Chọn khẳng định sai:
Gọi \(D, M\) là giao điểm của \(AI, AG\) với \(BC\).
Vì \(AD\) là tia phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên \(\dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}\left( {t/c} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{12}} = \dfrac{{DC}}{{18}} = \dfrac{{BD + DC}}{{12 + 18}} = \dfrac{{15}}{{30}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow BD = 12.\dfrac{1}{2} = 6, DC = 18.\dfrac{1}{2} = 9\)
Lại có: \(BI\) là tia phân giác góc \(\widehat {ABD}\) nên \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{12}}{6} = 2\) (tính chất)
\( \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{AD}} = \dfrac{{MG}}{{MA}} = \dfrac{1}{3}\) hay D đúng.
Mà \(AG = 2GM\) (vì \(G\) là trọng tâm)
Nên \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{AG}}{{GM}} = 2\) hay B đúng.
Theo định lí đảo của định lí Ta-let ta có: \(IG//DM \Rightarrow IG//BC\) hay A đúng.
Chỉ có C sai.
Cho \(\Delta ABC\), \(AD\) là phân giác trong của góc $A$ . Hãy chọn câu đúng:
Vì \(AD\) là phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên ta có \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác của tam giác).
Hãy chọn câu đúng. Tỉ số \(\dfrac{x}{y}\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .
Xét tam giác \(ABC\), vì \(AD\) là phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên ta có \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{3,5}}{{7,5}} = \dfrac{7}{{15}}\)
Hãy chọn câu đúng. Tính độ dài \(x,y\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là $cm$ .
Vì \(AD\) là phân giác \(\widehat {BAC}\) nên ta có
\(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{15}}{{20}} = \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DC}} = \dfrac{3}{{4 + 3}} = \dfrac{3}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \dfrac{x}{{28}} = \dfrac{3}{7}\\ \Rightarrow x = 12\,cm\)\( \Rightarrow y = 28 - x = 16\,cm\)
Vậy $x = 12\,cm;\,y = 16\,cm$ .
