Tính chất đường phân giác của tam giác

Vì trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hoai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy  nên $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có $\dfrac{{MN}}{{MP}} = \dfrac{{NA}}{{PA}} = \dfrac{3}{4}$

Vì $AD$ là phân giác của $\Delta ABC$ nên:  $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$

Theo bài, ta có: $AC = 2AB$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}$

Vì $BD$ là đường phân giác của $\widehat {ABC}$ nên:

$\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

Suy ra: $\dfrac{{AD}}{{DC + AD}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}$

(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}$

Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB = 15cm.$$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{15}} = \dfrac{{15}}{{15 + 10}}$$\Rightarrow AD = \dfrac{{15.15}}{{25}} = 9\;cm$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại$A$ , ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} + {20^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow BC = 25\end{array}$

Ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.AH.BC$

$\Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{15.20}}{{25}} = 12$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $AHB$ vuông tại$H$ , ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} = {12^2} + H{B^2}\\ \Rightarrow H{B^2} = 81 \Rightarrow HB = 9\\ \Rightarrow HC = BC - HB = 25 - 9 = 16.\end{array}$

Vì $AD$ là phân giác của tam giác $ABH$ nên:

$\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{AH}} = \dfrac{{BD}}{{DH}} \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{AH}} = \dfrac{{BH - DH}}{{DH}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{{12}} = \dfrac{{9 - DH}}{{DH}} \Leftrightarrow 15DH = 108 - 12DH \Leftrightarrow DH = 4\,cm.\end{array}$

- Ta có $AB = AC = 10 cm$

Suy ra $\Delta ABC$ cân tại A.

- Có I là giao các đường phân giác của $\Delta ABC$.

Suy ra $AI, BI$ là đường phân giác của $\Delta ABC$.

- Gọi $H$ là giao của $AI$ và $BC.$

- Khi đó ta có $AH$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao,

vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân $ABC$ (tính chất tam giác cân).

$\Rightarrow$ $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ $\Rightarrow BH = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\;cm$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} + {6^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow AH = 8\end{array}$

Vì $BI$ là phân giác của tam giác $ABH$ nên:

$\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{BH}} = \dfrac{{AI}}{{IH}} = \dfrac{{AH - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{8 - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow 10IH = 48 - 6IH\\ \Leftrightarrow IH = 3\end{array}$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $BHI$ vuông tại $H,$ ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B{I^2} = I{H^2} + B{H^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = {3^2} + {6^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = 45\\ \Rightarrow BI = 3\sqrt 5 \end{array}$

Theo tính chất đường phân giác, ta có

$\dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2},$

$\dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{3}{4}$nên

$\dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{BC}}{4} = \dfrac{{AC}}{3},$

Do đó $\dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{BC}}{4} = \dfrac{{AC}}{3} = \dfrac{{AB + BC + AC}}{{2 + 4 + 3}} = \dfrac{{18}}{9} = 2$.

Vậy $AB = 4\,cm,BC = 8\,cm,AC = 6\,cm.$

Vì $MD$ và $ME$ lần  lượt là phân giác của $\widehat {AMB};\,\widehat {AMC}$  nên  $\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{MA}}{{MB}},\dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}$ 

mà $MB = MC$ nên $\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{EA}}{{EC}} \Rightarrow DE{\rm{//}}BC$( định lí Ta-lét đảo).

Vì $DE{\rm{//}}BC$ nên $\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}} = \dfrac{{IE}}{{MC}}$ (hệ quả định lý Ta-lét) mà $BM = MC$ nên $DI = IE$ .

Nên cả A, B đều đúng.

Vì $DI = IE$ (cmt) nên $MI$ là đường trung tuyến của tam giác $MDE$ .

$\Delta MDE$ vuông  ( vì $MD,ME$ là tia phân giác của góc kề bù) nên$MI = DI = IE$ .

Đặt$DI = MI = x$ , ta có $\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}$ (cmt)  nên $\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{{10 - x}}{{10}}.$ Từ đó x= 6 suy ra $DE = 12cm$ .