Phân tích đa thức thành nhân tử: \(5{x^2} + 10xy - 4x - 8y\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,5{x^2} + 10xy - 4x - 8y = \left( {5{x^2} + 10xy} \right) - \left( {4x + 8y} \right)\\ = 5x\left( {x + 2y} \right) - 4\left( {x + 2y} \right) = \left( {5x - 4} \right)\left( {x + 2y} \right)\end{array}\)
Đa thức \(2{a^2}x - 5by - 5{a^2}y + 2bx\) được phân tích thành
Ta có \(2{a^2}x - 5by - 5{a^2}y + 2bx\)\( = \left( {2{a^2}x - 5{a^2}y} \right) + \left( {2bx - 5by} \right) = {a^2}\left( {2x - 5y} \right) + b\left( {2x - 5y} \right)\)\( = \left( {{a^2} + b} \right)\left( {2x - 5y} \right)\)
Điền vào chỗ trống: \(3{x^2} + 6x{y^2} - 3{y^2} + 6{x^2}y = 3\left( {...} \right)\left( {x + y} \right)\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3{x^2} + 6x{y^2} - 3{y^2} + 6{x^2}y = \left( {3{x^2} - 3{y^2}} \right) + \left( {6x{y^2} + 6{x^2}y} \right)\\ = 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 6xy\left( {y + x} \right) = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + 6xy\left( {x + y} \right)\\ = \left[ {3\left( {x - y} \right) + 6xy} \right]\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y + 2xy} \right)\left( {x + y} \right).\end{array}\)
Vậy chỗ trống là \(\left( {x - y + 2xy} \right)\).
Chọn câu đúng.
Ta có \(2{a^2}{c^2} - 2abc + bd - acd = 2ac\left( {ac - b} \right) + d\left( {b - ac} \right)\)\( = 2ac\left( {ac - b} \right) - d\left( {ac - b} \right) = \left( {2ac - d} \right)\left( {ac - b} \right)\)
Chọn câu sai.
Ta có \(ax - bx + ab - {x^2} = \left( {ax - {x^2}} \right) + \left( {ab - bx} \right)\)\( = x\left( {a - x} \right) + b\left( {a - x} \right) = \left( {x + b} \right)\left( {a - x} \right)\) nên A đúng.
*\({x^2} - {y^2} + 4x + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x + 2 + y} \right)\left( {x + 2 - y} \right)\) nên B sai.
* \(ax + ay - 3x - 3y = a\left( {x + y} \right) - 3\left( {x + y} \right) = \left( {a - 3} \right)\left( {x + y} \right)\) nên C đúng.
* \(xy + 1 - x - y = \left( {xy - x} \right) + \left( {1 - y} \right) = x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\) nên D đúng.
Cho \(a{x^2} - 5{x^2} - ax + 5x + a - 5 = \left( {a + m} \right)\left( {{x^2} - x + n} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Tìm \(m\) và \(n\)
Ta có \(a{x^2} - 5{x^2} - ax + 5x + a - 5 = {x^2}\left( {a - 5} \right) - x\left( {a - 5} \right) + a - 5\)\( = \left( {a - 5} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
Suy ra \(m = - 5;\,n = 1\) .
Cho \({x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4 = \left( {x - my + 2} \right)\left( {x - 2y - 2} \right)\) với \(m \in \mathbb{R}\) . Chọn câu đúng
Ta có \({x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4 = \left( {{x^2} - 2.x.2y + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right) - 4\)\( = {\left( {x - 2y} \right)^2} - {2^2} = \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x - 2y + 2} \right)\)
Suy ra \(m = 2\) .
Tìm giá trị của x thỏa mãn \(x\left( {2x - 7} \right) - 4x + 14 = 0\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x\left( {2x - 7} \right) - 4x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x - 7} \right) - 2\left( {2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 7 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{2}\\x = 2\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{7}{2}\)hoặc \(x = 2\).
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\;x(x - 1)\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x = 1;x = - 1\) .
Cho \(x = 10 - y\) . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(N = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + {x^2} + 2xy + {y^2}\) .
Ta có \(N = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + {x^2} + 2xy + {y^2}\)\( = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)
\( = {\left( {x + y} \right)^3} + {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {x + y + 1} \right)\)
Từ đề bài \(x = 10 - y \Leftrightarrow x + y = 10\). Thay \(x + y = 10\) vào \(N = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {x + y + 1} \right)\) ta được
\(N = {10^2}\left( {10 + 1} \right) = 1100\)
Suy ra \(N > 1000\) khi \(x = 10 - y\).
Tính giá trị của biểu thức: \(A = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x - 1\) tại x = 5.
\(A = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x - 1\) \(\Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 2} \right) + 1} \right]\)
\( \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3 + 1} \right) + 1} \right]\)
\( \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) + 1} \right]\)
\( \Leftrightarrow A = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right]\)
Tại \(x = 5\), ta có: \(A = \left( {5 - 1} \right)\left[ {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + 1} \right] = 4.\left( {{3^2} + 1} \right) = 4.\left( {9 + 1} \right) = 4.10 = 40\)
Vậy \(A = 40\).
Phân tích đa thức \({a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\) thành nhân tử ta được
Ta có \({a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\)\( = \left( {{a^4} + {a^3}} \right) + \left( {{a^3}b + {a^2}b} \right) \)\( = {a^3}\left( {a + 1} \right) + {a^2}b\left( {a + 1} \right) \)\(=\left( {a + 1} \right)\left( {{a^3} + {a^2}b} \right) \)\( = {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\)
Đa thức \({x^2} + x - 2ax - 2a\) được phân tích thành
Ta có \({x^2} + x - 2ax - 2a\)\( = \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {2ax + 2a} \right) = x\left( {x + 1} \right) - 2a\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Cho \({x^2} + ax + x + a = \left( {x + a} \right).\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
Ta có \({x^2} + ax + x + a \)\( = \left( {{x^2} + x} \right) + \left( {ax + a} \right) \)\( = x\left( {x + 1} \right) + a\left( {x + 1} \right) \)\( = \left( {x + a} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Chọn câu đúng.
Ta có \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36\)\( = \left( {{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {9x - 36} \right) \)\( = {x^2}\left( {x - 4} \right) - 9\left( {x - 4} \right) \)\( = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {x - 4} \right)\)\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)\)
Tính nhanh: \(37.7 + 7.63 - 8.3 - 3.2\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,37.7 + 7.63 - 8.3 - 3.2 = \left( {37.7 + 7.63} \right) - \left( {8.3 + 3.2} \right)\\ = 7\left( {37 + 63} \right) - 3\left( {8 + 2} \right) = 7.100 - 3.10\\ = 700 - 30 = 670.\end{array}\)
Chọn câu sai.
Ta có \({x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay \)\(= \left( {{x^2}{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {a{x^2} + ay} \right) \)\(= {y^2}\left( {{x^2} + y} \right) + a\left( {{x^2} + y} \right)\)$ = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)$ nên A đúng.
*) \({a^3} - 4{a^2} + a - 4\)\( = \left( {{a^3} - 4{a^2}} \right) + \left( {a - 4} \right) \)\(= {a^2}\left( {a - 4} \right) + \left( {a - 4} \right) \)\(= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\) nên B đúng.
*) \(m{x^2} - nx - mx + n\)\( = \left( {m{x^2} - nx} \right) - \left( {mx - n} \right)\)\( = x\left( {mx - n} \right) - \left( {mx - n} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {mx - n} \right)\) nên C sai.
*) \({x^2} - 5y + x - 5xy \)\(= \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {5y + 5xy} \right) \)\(= x\left( {x + 1} \right) - 5y\left( {x + 1} \right) \)\(= \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)\) nên D đúng.
Cho \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {7x - 5y} \right)\left( {mx + n} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Tìm \(m\) và \(n\)
Ta có \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {56{x^2} + 63x} \right) - \left( {45y + 40xy} \right) = 7x\left( {8x + 9} \right) - 5y\left( {8x + 9} \right) = \left( {8x + 9} \right)\left( {7x - 5y} \right)\)
Suy ra \(m = 8;\,n = 9\) .
Cho \({x^2} - 4{y^2} - 2x - 4y = \left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y + m} \right)\) với \(m \in \mathbb{R}\) . Chọn câu đúng
Ta có \({x^2} - 4{y^2} - 2x - 4y \)\(= \left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) - \left( {2x + 4y} \right) \)\(= \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) - 2\left( {x + 2y} \right) \)\(= \left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y - 2} \right)\)
Suy ra \(m = - 2\) .
Tính giá trị của biểu thức \(A = {x^2} - 5x + xy - 5y\) tại \(x = - 5,\;y = - 8\):
\(A = {x^2} - 5x + xy - 5y = \left( {{x^2} + xy} \right) - \left( {5x + 5y} \right) = x\left( {x + y} \right) - 5\left( {x + y} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {x + y} \right)\)
Tại \(x = - 5,\;y = - 8\), ta có: \(A = \left( { - 5 - 5} \right)\left( { - 5 - 8} \right) = \left( { - 10} \right)\left( { - 13} \right) = 130\)
