Đường trung bình của tam giác, hình thang

Xét tam giác $ABC$ có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC,BC$ nên $DE,DF,EF$ là ba đường trung bình của tam giác $ABC.$

Vì $E,F,P$ là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CA$ nên $EF;EP;FP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$.

Suy ra $EF = \dfrac{1}{2}AC;\,FP = \dfrac{1}{2}AB;\,EP = \dfrac{1}{2}BC$ $\Rightarrow EF + FP + EP = \dfrac{1}{2}AC + \dfrac{1}{2}AB + \dfrac{1}{2}BC$

$\Leftrightarrow EF + FP + EP = \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right)$ hay chu vi tam giác $EFP = \dfrac{1}{2}$ chu vi tam giác $ABC$.

Do đó chu vi tam giác $EFP$ là $80:2 = 40$.

+ Vì đáy nhỏ ngắn hơn đáy lớn $2\,cm$ nên độ dài đáy nhỏ là $8 - 2 = 6\,cm$.

+ Vì đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên độ dài đường trung bình là $\dfrac{{8 + 6}}{2} = 7\,cm$.

+ Vì $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ nên $IK$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,cm$.

Vậy $IK = 5\,cm$.

+ $M,N$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ $\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}. 3 = 1,5\,cm$.

+ $MB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,\,cm;\,NC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,cm$.

+ Chu vi tứ giác $MNCB$ là $P = MN + BC + MB + NC$$= 1,5 + 1,5 + 1,5 + 3 = 7,5\,cm$.

+ Vì $AB{\rm{//}}EF{\rm{//}}GH{\rm{//}}CD$ nên các tứ giác $EFCD;\,ABHG$ là hình thang.

+ Từ hình vẽ ta có $GH$ là đường trung bình của hình thang $EFCD \Rightarrow HG = \dfrac{{EF + CD}}{2}$.

Hay $\dfrac{{y + 13}}{2} = 15\, \Leftrightarrow y = 2.15 - 13 = 17$

Vậy $y = 17\,$.

+ Lại có $EF$ là đường trung bình của hình thang $ABHG \Rightarrow EF = \dfrac{{AB + HG}}{2}$

$\Rightarrow 13 = \dfrac{{AB + 15}}{2} \Rightarrow x + 15 = 26 \Rightarrow x = 11\,$ hay $x = 11\,$.

Vậy $x = 11\,;\,y = 17\,$ .

Xét tam giác $BEM$ có $BM = MC,EF = FC$ nên $MF$ là đường trung bình của tam giác $BEC$. Do đó $MF{\rm{//}}BE$.

Xét tam giác $AMF$ có $AD = DM,DE//MF$ nên $DE$ là đường trung bình của tam giác $AMF$. Do đó $AE = EF$.

Do đó $AE = EF = FC$ nên $AE = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}. 9 = 3cm$.

Vì tam giác $ABG$ có $AE = EB,IB = IG$ nên $EI$ là đường trung bình, do đó $EI = \dfrac{1}{2}AG$.

Tương tự tam giác $AGC$ có $AD = DC,GK = KC$ nên $DK$ là đường trung bình, do đó $DK = \dfrac{1}{2}AG$.

Suy ra $EI = DK = \dfrac{1}{2}AG = \dfrac{1}{2}. 4 = 2cm$.

+ Xét hình thang cân $ABCD\left( {AB//CD} \right)$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $O,{\rm{ }}MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$. Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $E$, với $CD$ tại $F$.

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BCD$ có:

$AD = BC$ (gt)

DC cạnh chung

$\widehat {ADC} = \widehat {BCD}$ (gt)

$\Rightarrow \Delta ADC = \Delta BCD(c.g.c) \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ ( hai góc tương ứng)$\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại O$\Rightarrow OC = OD$.

Mà $AC = BD$ nên $OA = OB \Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$.

Lại có: $\widehat {AOB} = 90^\circ$ ( do $AB$ vuông góc với $CD$) nên $\Delta AOB$ vuông cân tại $O$ nên  $OE = \dfrac{{AB}}{2}$.

Tương tự: tam giác $DOC$ vuông cân tại $O$ nên $FO = \dfrac{{CD}}{2}$.

Do đó $FE = \dfrac{{AB + CD}}{2}$

$MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $MN = \dfrac{{AB + CD}}{2}$.

$\Rightarrow MN = FE = 15cm$.

Gọi $E$ là trung điểm của $DC$.

Xét tam giác $BDC$ có: $BM = MC,DE = EC$ nên $ME$ là đường trung bình của tam giác$BDC$ . Suy ra $BD//ME$ hay $DI//EM$.

Xét tam giác $AME$ có $AD = DE,DI//EM$ nên $AI\; = IM$.

Suy ra $AM = 2IM = 2.3 = 6\,cm$.

Gọi $a$ và $b$ lần lượt là độ dài hai đáy nhỏ, đáy lớn của hình thang.

Theo định lí đường trung bình của hình thang suy ra $a + b = 2.20 = 40(cm)$.

Mặt khác theo bài ra $a$ và $b$ tỉ lệ với $2$  và $3$ nên ta có: $\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3}$.

Theo định lý của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{{a + b}}{{2 + 3}} = \dfrac{{40}}{5} = 8$ $\Rightarrow a = 8.2 = 16(cm)$ và $b = 8.3 = 24(cm)$.

Vậy độ dài $2$ đáy của hình thang là $16cm,{\rm{ }}24cm$.

Từ giả thiết ta thấy $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$.

Suy ra $MN = \dfrac{{AB + CD}}{2}$.

+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác nên B đúng.

+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang nên A, D sai.

+ Trong một tam giác có ba đường trung bình nên C sai.

+ Độ dài đường trung bình hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên đáp án B sai.

Vì $E,F,P$ là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CA$ nên $EF;EP;FP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$ .

Suy ra $EF = \dfrac{1}{2}AC;\,FP = \dfrac{1}{2}AB;\,EP = \dfrac{1}{2}BC$ $\Rightarrow EF + FP + EP = \dfrac{1}{2}AC + \dfrac{1}{2}AB + \dfrac{1}{2}BC$

$\Leftrightarrow EF + FP + EP = \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right)$ hay chu vi tam giác $EFP = \dfrac{1}{2}$ chu vi tam giác $ABC$ .

Do đó chu vi tam giác $EFP$ là $32:2 = 16$ cm .

+ Vì đáy nhỏ ngắn hơn đáy lớn $0,8\,cm$ nên độ dài đáy nhỏ là $5 - 0,8 = 4,2\,cm$ .

+ Vì đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên độ dài đường trung bình là $\dfrac{{5 + 4,2}}{2} = 4,6\,cm$ .

+ Vì $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $IK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$$\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,cm$ .

Vậy $IK = 4\,cm$ .

+ $M,N$ là trung điểm của $AB$ và $AC$nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ $\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.2 = 1\,cm$ .

+ $MB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,cm;\,NC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,cm$

+ Chu vi tứ giác  $MNCB$ là $P = MN + BC + MB + NC$$= 1 + 1 + 1 + 2 = 5\,cm$ .

+ Vì $AB{\rm{//}}EF{\rm{//}}GH{\rm{//}}CD$ nên các tứ giác $EFCD;\,ABHG$ là hình thang.

+ Từ hình vẽ ta có $GH$ là đường trung bình của hình thang $EFCD \Rightarrow HG = \dfrac{{EF + CD}}{2}$ $= \dfrac{{12 + 20}}{2} = 16\,cm$ .

Hay $x = 16\,cm$ .

+ Lại có $EF$ là đường trung bình của hình thang $ABHG \Rightarrow EF = \dfrac{{AB + HG}}{2}$

$\Rightarrow 12 = \dfrac{{AB + 16}}{2} \Rightarrow AB + 16 = 24 \Rightarrow AB = 8\,cm$ hay $y = 8\,cm$ .

Vậy $x = 16\,cm;\,y = 8\,cm$ .

Gọi $a$ và $b$ lần lượt là độ dài hai đáy nhỏ, đáy lớn của hình thang.

Theo định lí đường trung bình của hình thang suy ra $a + b = 2.16 = 32(cm)$.

Mặt khác theo bài ra $a$ và $b$ tỉ lệ với $3$  và $5$  nên ta có: $\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5}$ .

Theo định lý của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{{a + b}}{{3 + 5}} = \dfrac{{32}}{8} = 4$ $\Rightarrow a = 4.3 = 12(cm)$ và $b = 4.5 = 20(cm)$.

Vậy độ dài $2$  đáy của hình thang là $12cm,{\rm{ }}20cm$ .