Cho tam giác $ABC$, đường trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là trung điểm của $AM,E$ là giao điểm của $BD$ và $AC,F$ là trung điểm của $EC$. Chọn câu đúng trong các câu sau:
Xét tam giác $BEC$ có $BM = MC,EF = FC$ nên $MF$ là đường trung bình của tam giác $BEC$. Do đó $MF{\rm{//}}BE$.
Xét tam giác $AMF$ có $AD = DM,DE//MF$ nên $DE$ là đường trung bình của tam giác $AMF$. Do đó $AE = EF$.
Do đó $AE = EF = FC$ nên \(AE = \dfrac{1}{2}EC\).
Cho tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau ở $G$. Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $GB,GC$. Trong các câu sau câu nào đúng?
Vì tam giác $ABC$ có $AE = EB,AD = DC$ nên $ED$ là đường trung bình, do đó \(ED{\rm{//}}BC,ED = \dfrac{1}{2}BC\).
Tương tự tam giác $GBC$ có $GI = IB,GK = KC$ nên $IK$ là đường trung bình, do đó $IK{\rm{//}}BC,IK = \dfrac{1}{2}BC$.
Suy ra $ED{\rm{//}}IK$ (cùng song song với $BC$); $ED = IK$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2}BC$).
Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân, biết rằng hai đường chéo vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng $10cm$ .
+ Xét hình thang cân $ABCD\left( {AB//CD} \right)$ , hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $O,{\rm{ }}MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ . Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $E$ , với $CD$ tại $F$ .
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BCD\) có:
\(AD = BC\) (gt)
DC cạnh chung
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (gt)
\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta BCD(c.g.c) \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) ( hai góc tương ứng)\( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O\( \Rightarrow OC = OD\)
Mà \(AC = BD\) nên \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại $O$ .
Lại có \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) ( do $AB$ vuông góc với $CD$) nên \(\Delta AOB\) vuông cân tại $O$, do đó $OE$ là đường cao cũng là đường trung tuyến nên \(OE = \dfrac{{AB}}{2}.\)
Tương tự: tam giác $DOC$ vuông cân tại $O$ nên $FO = \dfrac{{CD}}{2}$
Do đó \(FE = \dfrac{{AB + CD}}{2}\)
$MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên \(MN = \dfrac{{AB + CD}}{2}\)
\( \Rightarrow MN = FE = 10cm\) .
Cho tam giác $ABC$ , điểm $D$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AD = \dfrac{1}{2}DC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC,I$ là giao điểm của $BD$ và $AM$. So sánh \(AI\) và \(IM\) .
Gọi $E$ là trung điểm của $DC$ .
Xét tam giác $BDC$ có: $BM = MC,DE = EC$ nên $ME$ là đường trung bình của tam giác$BDC$ . Suy ra $BD//ME$ hay $DI//EM$ .
Xét tam giác $AME$ có $AD = DE,DI//EM$ nên $AI\; = IM$.
Tam giác \(ABC\) có \(AC = 2AB\), đường phân giác \(AD.\) Tính \(BD\) biết \(DC = 8cm.\)
Gọi \(M,E\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,CD\).
Khi đó \(ME\) là đường trung bình của tam giác \(ACD \Rightarrow ME//AD\).
Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BM.\)
Vì \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AC\) mà \(AB = \dfrac{1}{2}AC\left( {gt} \right) \Rightarrow AB = AM\).
Suy ra tam giác \(ABM\) cân tại \(A\) có \(AN\) là phân giác (gt) nên \(AN\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta AMB\).
Hay \(NB = NM\)
Xét tam giác \(BME\) có \(NB = NM;\,ND//ME\) nên \(D\) là trung đểm của \(BE \Rightarrow BD = DE\).
Lại có: \(DE = \dfrac{1}{2}DC\) (do \(E\) là trung điểm \(DC\)) nên \(BD = \dfrac{1}{2}DC = \dfrac{1}{2}. 8 = 4cm.\)
Vậy \(BD = 4cm.\)
Tứ giác \(ABCD\) có \(E,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(BD,AC.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(EF.\) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(A,B,I\) đến \(CD.\) Chọn câu đúng.
Gọi \(K,L\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(E,F\) đến \(DC\).
Suy ra \(AM//EK//IP//FL//BN\).
Xét tam giác \(ACM\) có \(F\) là trung điểm \(AC\) và \(FL//AM \Rightarrow L\) là trung điểm \(CM\)
Suy ra \(FL\) là đường trung bình của tam giác \(ACM \Rightarrow AM = 2FL\) (1)
Xét tam giác \(BDN\) có \(E\) là trung điểm \(BD\) và \(EK//NB \Rightarrow K\) là trung điểm \(DN\).
Suy ra \(EK\) là đường trung bình của tam giác \(BDN \Rightarrow BN = 2EK\) (2)
Xét tứ giác \(EKLF\) có \(EK//FL\) nên \(EKLF\) là hình thang.
Lại có: \(EK//IP//FL;\,IE = IF \Rightarrow PL = PK\).
Suy ra \(IP\) là đường trung bình của hình thang \(EFLK \Rightarrow EK + FL = 2IP\).
\( \Rightarrow 2EK + 2FL = 4IP\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(AM + BN = 4IP\).
Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\), hai đường phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) cắt nhau tại \(I\), hai đường phân giác của góc \(B\) và góc \(C\) cắt nhau tại \(J\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD,{\rm{ }}K\) là trung điểm của \(BC\). Cho biết \(AB = AD = 10cm,BC = 12cm,CD = 20cm\). Tính độ dài các đoạn \(HI,{\rm{ }}IJ\) và \(JK\).
Xét hình thang \(ABCD\) có: \(H\) là trung điểm của \(AD,{\rm{ }}K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(KH\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}KH\parallel CD(1)\\HK = \dfrac{{AB + CD}}{2} = \dfrac{{10 + 20}}{2} = 15cm\end{array} \right.\)
Vì \(AI\) và \(DI\) là hai tia phân giác của góc \(A\) và góc \(D\) nên ta có:\(\widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \dfrac{{\widehat A + \widehat D}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta AID\) có: \(\widehat {AID} = 180^\circ - \left( {\widehat {IAD} + \widehat {IDA}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Suy ra \(\Delta AID\) vuông tại \(I\).
Lại có \(IH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AD\) của tam giác vuông \(AID\) nên \(HI = HD\).
Do đó tam giác \(HID\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HID} = \widehat {HDI}\).
Mà \(\widehat {HDI} = \widehat {IDC} \Rightarrow \widehat {HID} = \widehat {IDC} \Rightarrow HI\parallel DC(2)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\) thẳng hàng hay điểm \(I\) thuộc đường thẳng \(HK\).
Tương tự điểm \(J\) thuộc đường thẳng \(HK\). Do đó bốn điểm \(H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J,{\rm{ }}K\) thẳng hàng.
\(\begin{array}{l}IH = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5cm\\JK = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6cm\\ \Rightarrow {\rm{IJ}} = HK - IH - JK = 15 - 5 - 6 = 4cm\end{array}\).
Vậy \(IH = 5\,cm;\,JK = 6cm;\,IJ = 4cm.\)
