Bài tập ôn tập chương 6

Hai tam giác $AOM$ và $ABM$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên  \(\dfrac{{{S_{AOM}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{OM}}{{BM}} \)\(= \dfrac{1}{4} \Rightarrow {S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABM}}\)

Hai tam giác $ABM$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $B$ nên \(\dfrac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \)\(\Rightarrow {S_{ABM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\)

Vậy \({S_{AOM}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.12 = 1\left( {c{m^2}} \right)\)

Lấy $P$ là trung điểm của $CM.$ Vì \(AM = \dfrac{1}{3}AC \Rightarrow MC = \dfrac{2}{3}AC \)\(\Rightarrow MP = PC = \dfrac{1}{3}AC = AM\)

Tam giác $BCM$ có: \(\left\{ \begin{array}{l}NB = NC\,\,(gt)\\PC = PM\,\,(gt)\end{array} \right.\)

Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $BMC$ (định nghĩa).

Suy ra \(NP//BM\)  (tính chất đường trung bình).

Tam giác ANP có  \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MP\,\,\,(cmt)\\OM//NP\,\,\,(do\,\,NP//BM)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AO = ON\) (định lý đảo của đường trung bình).

Theo chứng minh trên ta có OM là đường trung bình của tam giác ANP nên \(OM = \dfrac{1}{2}NP\,\,\,\,(1)\)

NP là đường trung bình của tam giác BCM nên \(NP = \dfrac{1}{2}BM\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM = 4OM \Rightarrow BO = 3OM\) .

Vậy cả A, B đều đúng.

Lấy $P$ là trung điểm của $CM.$ Vì \(AM = \dfrac{1}{3}AC \Rightarrow MC = \dfrac{2}{3}AC \)\(\Rightarrow MP = PC = \dfrac{1}{3}AC = AM\)

Tam giác $BCM$ có: \(\left\{ \begin{array}{l}NB = NC\,\,(gt)\\PC = PM\,\,(gt)\end{array} \right.\)

Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $BMC$ (định nghĩa).

Suy ra \(NP//BM\)  (tính chất đường trung bình).

Tam giác ANP có  \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MP\,\,\,(cmt)\\OM//NP\,\,\,(do\,\,NP//BM)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AO = ON\) (định lý đảo của đường trung bình).

Theo chứng minh trên ta có OM là đường trung bình của tam giác ANP nên \(OM = \dfrac{1}{2}NP\,\,\,\,(1)\)

NP là đường trung bình của tam giác BCM nên \(NP = \dfrac{1}{2}BM\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM = 4OM \Rightarrow BO = 3OM\) .

Vậy cả A, B đều đúng.

Kẻ \(MP \bot EH\,\,\left( {P \in EH} \right),\,\,NQ \bot HF\,\,\left( {Q \in HF} \right)\) ta có: MP và NQ lần lượt là đường trung bình của tam giác HBE và HFC nên \(MP = \dfrac{1}{2}BE,\,\,NQ = \dfrac{1}{2}FC\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta MEH}} = \dfrac{1}{2}MP.EH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BE.EH = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta HBE}}\\{S_{\Delta HNF}} = \dfrac{1}{2}NQ.HF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}CF.HF = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta HCF}}\\{S_{\Delta H{\rm{EF}}}} = \dfrac{1}{2}{S_{AEHF}}\\ \Rightarrow {S_{EMNF}} = \dfrac{1}{2}\left( {{S_{\Delta HBE}} + {S_{\Delta HCF}} + {S_{AEHF}}} \right) \\= \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\,.\dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{4}.6.8 = 12\,\,\left( {c{m^2}} \right).\end{array}\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = \sqrt {100}  = 10\,cm.\)

 Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 36 - B{H^2}.\) 

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ACH$ vuông tại $H$ ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = 64 - H{C^2}.\\ \Rightarrow 36 - B{H^2} = 64 - H{C^2}\\ \Leftrightarrow 36 - B{H^2} = 64 - {\left( {10 - BH} \right)^2}\\\left( {do\,\,\,HC + BH = BC = 10} \right)\\ \Leftrightarrow 28 - 100 + 20BH - B{H^2} + B{H^2} = 0\\ \Leftrightarrow 20BH = 72\\ \Leftrightarrow BH = 3,6\,\,\,cm.\\ \Rightarrow AH = \sqrt {36 - B{H^2}}  = \sqrt {36 - 3,{6^2}}  = 4,8\,\,cm.\end{array}\)

Xét tứ giác $AEHF$ có: \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật (dhnb) \( \Rightarrow AH = EF\,\,\,\) (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau).

\( \Rightarrow EF = AH = 4,8\,\,cm.\) 

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = \sqrt {100}  = 10\,cm.\)

 Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 36 - B{H^2}.\) 

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ACH$ vuông tại $H$ ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = 64 - H{C^2}.\\ \Rightarrow 36 - B{H^2} = 64 - H{C^2}\\ \Leftrightarrow 36 - B{H^2} = 64 - {\left( {10 - BH} \right)^2}\\\left( {do\,\,\,HC + BH = BC = 10} \right)\\ \Leftrightarrow 28 - 100 + 20BH - B{H^2} + B{H^2} = 0\\ \Leftrightarrow 20BH = 72\\ \Leftrightarrow BH = 3,6\,\,\,cm.\\ \Rightarrow AH = \sqrt {36 - B{H^2}}  = \sqrt {36 - 3,{6^2}}  = 4,8\,\,cm.\end{array}\)

Xét tứ giác $AEHF$ có: \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật (dhnb) \( \Rightarrow AH = EF\,\,\,\) (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau).

\( \Rightarrow EF = AH = 4,8\,\,cm.\) 

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Xét tam giác $ABD$ ta có: $AO$ và $DM$ là hai đường trung tuyến của tam giác.

Mà \(AO \cap DM = \left\{ N \right\} \Rightarrow \) $N$ là trọng tâm tam giác $ADB.$

\( \Rightarrow AN = \dfrac{2}{3}DM\) (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra  \(NM = \dfrac{{DM}}{3}\) .

+) Hai tam giác $AMN$ và $ADM$ có cùng đường cao hạ từ A nên \(\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ADM}}}} = \dfrac{{MN}}{{DM}} = \dfrac{1}{3}\)

Mà theo câu trước \({S_{\Delta ADM}} = 3\,c{m^2}\)

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{3}{S_{ADM}} = \dfrac{1}{3}.3 = 1\left( {c{m^2}} \right)\)

+) \({S_{ABCD}} = AH.CD = 4.3 = 12\left( {c{m^2}} \right)\)

+) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên \(AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2(cm)\)

Ta có chiều cao từ đỉnh $D$ đến cạnh $AM$ của tam giác $ADM$ bằng chiều cao $AH$ của hình bình hành.

\( \Rightarrow {S_{ADM}} = \dfrac{1}{2}AH.AM = \dfrac{1}{2}.3.2 = 3\left( {c{m^2}} \right)\)

+) \({S_{ABCD}} = AH.CD = 4.3 = 12\left( {c{m^2}} \right)\)

+) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên \(AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2(cm)\)

Ta có chiều cao từ đỉnh $D$ đến cạnh $AM$ của tam giác $ADM$ bằng chiều cao $AH$ của hình bình hành.

\( \Rightarrow {S_{ADM}} = \dfrac{1}{2}AH.AM = \dfrac{1}{2}.3.2 = 3\left( {c{m^2}} \right)\)

Theo định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau

+) Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.

+) Diện tích hình vuông có cạnh a là \({a^2}.\)

+) Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Số đường chéo của hình \(10\)  cạnh là: \(\dfrac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} = 35\) đường.

Số đo góc của đa giác đều 9 cạnh:\(\dfrac{{\left( {9 - 2} \right).180^\circ }}{9} = 140^\circ \)

Ta có:  \({5^2} + {12^2} = 169;\,{13^2} = 169 \Rightarrow {5^2} + {12^2} = {13^2}\)

Do đó đây tam giác đã cho là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là \(5cm\)  và \(12cm.\)

Diện tích của nó là: \(\dfrac{1}{2}.12.5 = 30\left( {c{m^2}} \right)\)

Áp dụng công thức tính tổng số đo các góc trong đa giác n cạnh là :   \(\left( {n - 2} \right){.180^0}\) (với $n \ge 3$), ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {n - 2} \right){.180^0} = 900^\circ \\ \Rightarrow n - 2 = 900^\circ :{180^0}\\ \Rightarrow n - 2 = 5\\ \Rightarrow n = 7\end{array}\)

Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật \(S = a.b\) thì diện tích hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều dài và chiều rộng của nó

Nếu \(a' = 4a;\,\,\,b' = \dfrac{1}{2}b;\,\) thì \(S' = a'.b' = 4a.\dfrac{1}{2}b = \dfrac{4}{2}ab = 2S\)

Do đó diện tích mới bằng \(2\) lần diện tích đã cho.

Chiều dài hình chữ nhật là: \(240:8 = 30(cm)\)

Chu vi hình chữ nhật là: \(2.\left( {30 + 8} \right) = 76(cm)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{HA'.BC}}{{AA'.BC}} + \dfrac{{HB'.AC}}{{BB'.AC}} + \dfrac{{HC'.BA}}{{CC'.BA}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{HA'}}{{AA'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} +  \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 1\,\,\,\,\left( {đpcm} \right).\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.25,5}}{{7 + 10}} = 3(cm)\end{array}\)

Ta có: \({S_{ABCD}} = AH.CD = 6.12 = 72\left( {c{m^2}} \right)\)