Bài tập ôn tập chương 4

Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có:

Đáp án A  là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án B  không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì  $a = 0.$

Đáp án C không phải bất phương trình bậc vì có ${x^2}.$

Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

(Trong bài này chúng ta làm theo cách thứ 2) thay $x = 2$  vào từng  bất phương trình:

Đáp án A: $7 - 2 < 2.2 \Leftrightarrow 5 < 4$  vô lý. Loại đáp án A.

Đáp án B: $2.2 + 3 > 9 \Leftrightarrow 7 > 9$ vô lý. Loại đáp án B.

Đáp án C: $- 4.2 \ge 2 + 5 \Leftrightarrow  - 8 \ge 7$ vô lý. Loại đáp án C.

Đáp án D: $5 - 2 > 6.2 - 12 \Leftrightarrow 3 > 0$ luôn đúng. Chọn đáp án D.

Vì $7 > 0$ nên $7\left( {3x + 5} \right) \ge 3 \Leftrightarrow 3x + 5 > 0 \Leftrightarrow 3x >  - 5 \Leftrightarrow x >  - \dfrac{5}{3}.$

+) Đáp án A: $a > b \Leftrightarrow a - 3 > b - 3$

Vậy ý A đúng chọn luôn ý A.

+) Đáp án B: $- 3a + 4 >  - 3b + 4 \Leftrightarrow  - 3a >  - 3b \Leftrightarrow a < b$ trái với giả thiết nên B sai.

+) Đáp án C: $2a + 3 < 2b + 3 \Leftrightarrow 2a < 2b \Leftrightarrow a < b$ trái với giả thiết nên C sai.

+) Đáp án D: $- 5b - 1 <  - 5a - 1 \Leftrightarrow  - 5b <  - 5a \Leftrightarrow b > a$ trái với giả thiết nên D sai.

Giải phương trình: $\left| {2x - 5} \right| = 1$

$TH1:\;2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left| {2x - 5} \right| = 2x - 5 = 1 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3\;\;\left( {tm} \right)$

$TH2:\;2x - 5 < 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left| {2x - 5} \right| =  - 2x + 5 = 1 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\;\;\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 3$ và $\;x = 2$.

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\dfrac{1}{3} - \left| {\dfrac{5}{4} - 2x} \right| = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{5}{4} - 2x} \right| = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{5}{4} - 2x} \right| = \dfrac{1}{{12}}\,\left( * \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}TH1:\;\dfrac{5}{4} - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{5}{8} \Rightarrow \left| {\dfrac{5}{4} - 2x} \right| = \dfrac{5}{4} - 2x\\ \Rightarrow pt\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{5}{4} - 2x = \dfrac{1}{{12}}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{7}{6}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{{12}}\;\;\left( {tm} \right)\end{array}$              

$\begin{array}{l}TH2:\;\;\dfrac{5}{4} - 2x < 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{8} \Rightarrow \left| {\dfrac{5}{4} - 2x} \right| =  - \dfrac{5}{4} + 2x\;\\ \Rightarrow pt\,\left( * \right) \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{4} + 2x = \dfrac{1}{{12}}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right).\;\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{7}{{12}}$ và $x = \dfrac{2}{3}$.

Theo đề bài thì trục số biểu diễn tập nghiệm $x < 6.$

Ta có

+) Đáp án A: $x - 1 \ge 5 \Leftrightarrow x \ge 6$ loại vì tập nghiệm là $x < 6.$

+) Đáp án B: $x + 1 \le 7 \Leftrightarrow x \le 6$ loại vì tập nghiệm là $x < 6.$

+) Đáp án C: $x + 3 < 9 \Leftrightarrow x < 6$ thỏa mãn vì tập nghiệm là $x < 6.$

+) Đáp án D: $x + 1 > 7 \Leftrightarrow x > 6$ loại vì tập nghiệm là $x < 6.$

Ta có: $m(2x + 1) < 8 \Leftrightarrow 2mx + m < 8 \Leftrightarrow 2mx + m - 8 < 0$.

Vậy để bất phương trình $m\left( {2x + 1} \right) < 8$ là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì $2mx + m - 8 < 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì $a \ne 0$  hay $2m \ne 0$ $\Leftrightarrow m \ne 0$

$3x + 7 > x + 9 \Leftrightarrow 3x - x > 9 - 7 \Leftrightarrow 2x > 2 \Leftrightarrow x >1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  $S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 4 = x + 2\\5x - 4 =  - x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 6\\6x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{4} = 1,5\\x = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right..\end{array}$

$\begin{array}{l}\;7,5 - 3\left| {5 - 2x} \right| =  - 4,5\\ \Leftrightarrow 3\left| {5 - 2x} \right| = 7,5 + 4,5\\ \Leftrightarrow 3\left| {5 - 2x} \right| = 12\\ \Leftrightarrow \left| {5 - 2x} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 - 2x = 4\\5 - 2x =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1\\2x = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{9}{2}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{1}{2};x = \dfrac{9}{2}$

Nên tổng các nghiệm của phương trình là $\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{2} = 5.$

$\begin{array}{l}\;\left| {2x - 3} \right| - \left| {3x + 2} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 3} \right| = \left| {3x + 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 3x + 2\\2x - 3 =  - (3x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5\\5x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5\\x = \dfrac{1}{5}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x =  - 5;x = \dfrac{1}{5}$

$2x - 8 \le 13 - 5x \Leftrightarrow 2x + 5x \le 13 + 8 \Leftrightarrow 7x \le 21 \Leftrightarrow x \le 21:7 \Leftrightarrow x \le 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {x/x \le 3} \right\}$

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số

$\left| {x - 1} \right| = 3x - 2$

* Xét $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1 \Rightarrow Pt \Leftrightarrow x - 1 = 3x - 2$$\Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ (KTMĐK)

* Xét $x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1 \Rightarrow PT \Leftrightarrow  - x + 1 = 3x - 2$$\Leftrightarrow 4x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}$ (TMĐK)

Vậy phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{3}{4}$ .

$\begin{array}{l}{(x - 2)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 12x + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ 7}}{{12}}\end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le   \dfrac{7}{{12}}.$

Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = 0.$

$\begin{array}{l}\;x(5x + 1) + 4(x + 3) > 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + x + 4x + 12 > 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5x >  - 12\\ \Leftrightarrow x > \dfrac{{ - 12}}{5}\end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x >  - \dfrac{{12}}{5}.$  

Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $x =  - 2.$

Ta có:
$\begin{array}{l}\;\;\;\dfrac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \dfrac{{x + 2}}{3} + x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3(3x + 5)}}{6} - \dfrac{6}{6} \le \dfrac{{2(x + 2)}}{6} + \dfrac{{6x}}{6}\\ \Leftrightarrow 3(3x + 5) - 6 \le 2(x + 2) + 6x\\ \Leftrightarrow 9x + 15 - 6 \le 2x + 4 + 6x\\ \Leftrightarrow 9x - 2x - 6x \le 4 - 15 + 6\\ \Leftrightarrow x \le  - 5.\end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le  - 5.$

Ta có:

 $\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2(x - 1) - x > 3(x - 1) - 2x - 5\\ \Leftrightarrow 2x - 2 - x > 3x - 3 - 2x - 5\\ \Leftrightarrow x - 2 > x - 8\\ \Leftrightarrow  - 2 >  - 8\end{array}$
Luôn đúng
Vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm.

Xét  $\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0.$

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x >  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 < x < 3.$

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x <  - 4\end{array} \right. \Rightarrow$ Bất phương trình vô nghiệm.

Vậy $- 4 < x < 3.$

Xét $A = \dfrac{{5 - 2x}}{{{x^2} + 4}}$
A có giá trị dương $\Leftrightarrow A > 0.$

Ta có: ${x^2} \ge 0\;\forall x \Rightarrow {x^2} + 4 > 0\;\forall x \Rightarrow A > 0 \Leftrightarrow 5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}.$
Vậy với $x < \dfrac{5}{2}$ thì  A có giá trị dương.